Комментарии 54
А ведь еще в начале прошлого века великий Курт Гёдель предвидел это и строго доказал, что даже в арифметике у нас не хватает ума, чтобы выразить все ее законы без противоречий.
Так-то теоремы Геделя о «нашем уме» ничего не говорят, они о другом, но для рекламы 1С-Битрикса и вполне сгодятся.
Прочитал два раза, ища проблемы аксиоматики Пеано.
Если не считать авторского отсебячного постскриптума, все нормально вроде.
Буду признателен, если вы кратко укажите все-таки квинтэссенцию комментов. Всё это читать и выискивать что-то неизвестное времени нет.
Во-вторых, сделать из второй теоремы Геделя о неполноте вывод об ущербности человеческого мозга, это… скажу просто — не вижу логики в подобном выводе абсолютно.
В-третьих, кто вам сказал, что арифметика Пеано должна быть полной? Кому она это должна? Вам?
В-четвертых, каждую секунду каждая окружающая вас вещь, каждая пронзающая вас электромагнитная волна доказывает что у математики никакого кризиса нет.
Потому что математика — царица всех наук (с)
Кстати, а земля круглая?
Еще один «косяк»: иррациональность фундаментальных констант — pi, e
Вам не нравится иррациональность pi, e?
Вы похожи на Пифагора. Ему тоже не нравилась иррациональность pi. Очень по этому поводу переживал. Но в современной математике иррациональность этих величин, вроде, никакого негатива человечеству не несет.
По поводу статьи не могу ничего сказать. Так как как разработчик привязан к своим языкам, знаю когда какой применять, и встать на вашу — заказчика — сторону, чтобы оттуда сверху окинуть всю проблему взглядом, просто не могу.
Ну смотря что Вы называете точкой отсчёта. Иррациональность некоторых чисел — естественное положение дел.
Скажем, Вы решаете уравнение x^2 = a и привыкли, что у него два корня, когда справа — положительное число, являющееся точным квадратом (например, для a = 9, решения будут x1 = -3, x2= 3). Решая уравнение геометрически, используя теорему Пифагора, Вы обнаружите, что "решение" это длина гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами равными a (т.е., sqrt(a)). Если Вы возьмёте a = 2, и используете теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике со стороной 1, вы быстры обнаружите, что гипотенуза должна быть "неопределённой в рациональных числах" длины sqrt(2). Предмет существования этого числа (при существовании единицы) после этого не должен быть вопросом, ведь Вы начертили отрезок гипотенузы, верно? Дальше Вы легко обнаружите, что sqrt(2) не может быть рациональным, ведь в рациональных числах x^2 = 2 не решается, о чём, как Вы ниже и написали, знали ещё древние греки. Скажите, где у меня в рассчётах точка отсчёта? Ведь длина стороны у нас переменная. Если же речь про аксиомы, то последние лишь указывают на то, что должно быть и так верно для Вашей модели (иначе и модель не применима, и мы говорим ни о чём)
Трансцендентные числа — pi и e туда входят. Это следующая ступень иррациональности — "не быть алгебраическим числом".
P.S. Вас, возможно, позабавит факт, что e^(i * pi) = -1, где i — мнимая единица, и эти числа покажутся Вам красивее, чем Вы раньше думали о них. (Я имею в виду Ваше "косяк")
ведь Вы начертили отрезок гипотенузы, верно
А где мы начертили, в каком базисе? Ортонормальном, двумерном. А в другом если. Например в машине опорных векторов в некоторых случаях переходят в искривленное многомерное пространство через kernel-trick (иногда бесконечномерное) — интересно там что будет. Не зря же и Лобачевский и Риман перетаскивали геометрию в миры, где сумма углов треугольника не равнялась 180 градусам. И, кстати, Риман то нашел как искать число простых чисел, поменяв точку отсчета — перешел к комплексным числам. Я просто не математик, могу ошибаться, ища аналогии, простите если что.
Большинство математических доказательств понимает большое количество людей, которые занимаются темой, так что не стоит так сильно переживать, на мой взгляд. Какие-то доказательства заменят на доказательства попроще, какое-то упрощение придёт как аналогия из другого раздела и т.п. Вообще, некоторые вещи просто трудно сразу проверить, вот хорошая аналогия: код написанный разработчиком тоже не сразу из тестирования выходит. :)
Мне кажется, Вы просто привыкли к линейному ходу истории и своей жизни, а прогресс пока описывается другой функцией, вот у Вас и диссонанс, что всё выйдет из-под контроля скоро.
P.S. Как мозг устроен мы тоже не знаем, люди на работу придут, а что там происходит внутри — уууу, опасные кожаные мешки, — вот где ящик Пандоры! :)
Переносить ее на другие системы и теории нельзя. Проводить интерпретации с нематематическими структурами и человеческим миром, как минимум, странно, а так-то, глупо.
Кто сказал? :-) Математика — это физика работы нашего мозга, нашего сознания. Если в ней такие фундаментальные проблемы, значит и в мозге тоже.
В статистике Вы наоборот, ищете вероятность (функцию распределения, нахождение одной будет эквивалентно нахождению другой) и находите её свойства с некоторыми доверительным интервалом (перефразируя: с некоторой вероятностью, Вы нашли не то, что искали). Но и там есть всегда начальные допущения, Вы не для любых данных можете проворачивать любые методы мат. статистики.
В общем, я к тому это всё, что, мне кажется, не стоит разбрасываться такими «ничего не доказано, тут может быть что угодно, вероятность же». В этой области математики слово «возможно» имеет более строгий смысл, чем в повседневности.
Omega — множество элементарных событий, их 6, i-ое будет значит, что выпало число i (i из {1, 2, 3, 4, 5, 6}). назовём их w_i. F — множество неэлементарных событий, это подмножество множества всех подмножеств Omega, часто оно выбирается как просто множество всех подмножеств. Таким и для кубика выберем, в нём будет 2^6 элементов: одно {} (пустое), 6 одноэлементных {w_i} множеств, 15 двухэлементных {w_i, w_j} где i <> j, 20 трёхэлементых, 15 4-ёхэлементных, 6 пятиэлментных, и последнее — единственное — 6-ти элементное, равное всему Omega. А P — это мера, по сути функция, которая F сопоставляет число от 0 до 1. Когда Вы хотите узнать вероятность множества A из F, Вы просто складываете отдельные вероятности элементарных событий (элементов A) из A. Аксиомы в данном случае просто требуют, что бы P({w_i, w_j}) = P({w_i}) + P({w_j}) (i <> j) (вообще, сколько не будь элементов, это должна быть сумма всех вероятностей элементарных событий),
например,
P(«выпало чётное») = P(«выпало 2, 4 или 6») = P(«выпало 2») + P(«выпало 4») + P(«выпало 6»),
согласитесь, это разумное требование.
Для правильного кубика с равновероятным выпадением сторон, это нетрудно проверить.
Также есть два правила P(Omega) = 1, что значит, что какое-то событие да произойдёт и P({}(пустое)) = 0, что тоже логично, ведь, интуитивно, вероятность, что не выпало ничего после броска — нулевая. ;)
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%96%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B0
:)
- Математика — это язык, на котором написана книга природы. (Г. Галилей)
- Математика – царица наук, арифметика – царица математики. (К.Ф. Гаусс)
- Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)
- Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться. (Платон)
- Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы. (Д.И. Писарев)
- Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен)
- Полет – это математика. (В. Чкалов)
- В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)
- Химия – правая рука физики, математика – ее глаз. (М.В. Ломоносов)
- Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер)
- Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оптика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)
- Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. (М.В. Ломоносов)
- Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Вейерштрасс)
- Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский)
- Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)
- Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. (И. Гете)
- Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики". (Ж. Фурье)
- … Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)
Вы вот говорите о кризисе в математике, хотя никакого кризиса в общем-то нет, наука бурно развивается и множество гипотез находят опровержение или доказательства.
Например, тот факт, что существует утверждение, которое нельзя ни доказать ни опровергнуть ещё не означает, что кому-то может потребоваться подобную вещь объяснять. Представьте, что кто-то сказал грамматически верное предложение, но с незнакомыми словами, нужно ли определять его истинность, имеет ли это смысл? Есть и другие примеры «необъясненных» вещей, такие как существование множества, находящегося по мощности между счётными натуральными и вещественным континуумом. Тем не менее, это не стоит называть «проблемами аксиоматики», потому что на проблему (в смысле «противоречия», а не задачи) не указывает. Да и всегда найдётся что-то новое, построенное на старом.
Выше Вы просили дать своё определение математики,
моё кустарное определение: математика это наука о взаимоотношениях идеальных объектов, заданных аксиомами. Всегда на основе этих объектов можно построить другие объекты, индукцией или аналогией, для них можно найти альтернативную аксиоматику, дающую объекты изоморфные построенным. Всегда найдётся что-то неизученное/вновь открытое. Так что единого набора аксиом всего и вся Вы и не встретите никогда. Да и не нужно (хотя за Вас не отвечаю).
P.S. В рациональные и целые числа не надо верить, существует строгое построение, основанное на аксиоматике Пеано и факторизации множества пар целых чисел по отношению эквивалентности, связанному с основным свойством дроби.
Сбор требований к программному проекту — без купюр