Тест Соловея–Штрассена
Роберт Соловей и Фолькер Штрассен разработали алгоритм вероятностного тестирования простоты числа, который использует символ Якоби. Определяет числа как составные или вероятно простые. Распознает числа Кармайкла как составные.
Итак, для начала необходимо ввести нужные понятия.
Квадратичный вычет. Если число p — простое и 0 < a < p, то число a является квадратичным вычетом по модулю p, если существуют значения x такие, что
x2 = a (mod p).
Для того, чтобы число a было квадратичным вычетом по модулю n, оно должно быть квадратичным вычетом по модулю всех простых делителей n. Например, если n = 7, то квадратичные вычеты равны 1, 2 и 4.
12 = 1 = 1 mod 7,
22 = 4 = 4 mod 7,
32 = 9 = 2 mod 7,
42 = 16 = 2 mod 7,
52 = 25 = 1 mod 7,
62 = 36 = 1 mod 7.
И наоборот, в следующих уравнениях не существует значений x, которые их удовлетворяют.
x2 = 3 mod 7,
x2 = 5 mod 7,
x2 = 6 mod 7.
Итак, числа 3, 5 и 6 являются квадратичными невычетами по модулю 7.
Если число p — нечетное, то существует ровно (p – 1)/2 квадратичных вычетов по модулю p и столько же квадратичных невычетов по модулю p. Если n — произведение двух простых чисел p и q, то существует ровно (p – 1)(q – 1)/4 квадратичных вычетов по модулю n.
Связь между простыми числами и квадратичными вычетами устанавливается с помощью символов Лежандра и Якоби.
Символ Лежандра, который обозначается как L(a, p) — это функция, определенная, если a — любое целое число, а p — простое число, превышающее 2. Символ Лежандра может принимать значения 0, 1 и –1.
L(a, p) = 0, если a делится на p.
L(a, p) = 1, если a — квадратичный вычет по модулю p,
L(a, p) = –1, если a — квадратичный невычет по модулю p.
Сжато, эти факты записываются так:
L(a, p) = a^((p – 1)/2) mod p.
Алгоритм вычисления символа Лежандра.
1. Если a = 1, то L(a, p) = 1.
2. Если число a четное, то L(a, p) = L(a/2, p)*((-1)^((p^2-1)/8)).
3. Если число a — нечетное и a != 1, то L(a, p) = L(p mod a, a)*((–1)^((a–1)*(p–1)/4)).
Символ Якоби, который обозначается как J(a, n) — это обощение символа Лежандра на составные модули. Это функция, определенная для всех целых чисел a и нечетных целых чисел n. Символ Якоби может принимать значения 0, 1 и –1.
Символ Якоби можно задать следующим образом.
1. Символ Якоби определен только для нечетных чисел n.
2. J(0, n) = 0.
3. Если n – простое число, то J(0, n) = 0, если a делится на n.
4. Если n – простое число, то J(0, n) = 1, если a — квадратичный вычет по модулю n.
5. Если n – простое число, то J(0, n) = –1, если a — квадратичный невычет по модулю n.
6. Если n – составное число, то J(a, n) = J(a, p1)*...*J(a, pm), где p1,..., pm — разложение n на простые множители.
Алгоритм вычисления символа Якоби.
1. J(1, n) = 1.
2. J(a*b, n) = J(a, n)*J(b, n).
3. J(2, n) = 1, если (n^2 – 1)/8 является четным, и –1 в противном случае.
4. J(a, n) = J((a mod m), n).
5. J(a, b1*b2) = J(a, b1)J(a, b2).
6. Если gcd(a, b) = 1 и, кроме того, числа a и b являются нечетными, то
6.1. J(a, b) = J(b, a), если (a – 1)*(b – 1)/4 является четным числом.
6.2. J(a, b) = –J(b, a), если (a – 1)*(b – 1)/4 является нечетным числом.
Если n — простое число, то символ Якоби эквивалентен символу Лежандра.
Символ Якоби нельзя использовать для проверки, является ли число a квадратичным вычетом по модулю n (кроме случая, когда число n — простое). Если J(a, n) = 1 и n — составное число, то число a не всегда является квадратичным вычетом:
J(7, 143) = J(7, 11) * J(7, 13) = (–1)*(–1) = 1,
хотя не существует целых чисел x таких, что x2 7 (mod 143).
Алгоритм Соловея–Штрассена
1. Выберите случайное число a, меньшее p.
2. Если gcd(a, p) != 1, то число p – составное и тест можно не продолжать.
3. Вычислите j = a^((p–1)/2) mod p.
4. Вычислите символ Якоби J(a, p).
5. Если j != J(a, p), то число p точно не является простым.
6. Если j = J(a, p), то вероятность того, що число p не является простым, не превышает 50%.
Число a, которое не указывает явно, что число p не простое, называется свидетелем. Если число p — составное, то вероятность того, що случайное число является свидетелем, составляет не менее 50%. Вероятность того, что составное число пройдет t испытаний, равняется 1/(2^t).
