Comments 26
Мне кажется, что начинать ту фразу фразу "Из рисунка понятно" - это было издевательство над простыми смертными :)
В логике, имхо, есть шероховатость - мы делаем бесконечное число преобразований. Бесконечность часто плодит всякие логические аномалии (взять, к примеру, парадокс Банаха-Тарского). Не зря же работу с бесконечностями в математике вытащили в отдельные дисциплины и придумали всякие пределы, алеф-нули и прочее. Бесконечности часто генерируют бардак.
Навскидку, построения всяких фигур с помощью циркуля и линейки тоже можно, если не поломать, то серьёзно помять, если допустить, что мы делаем бесконечное количество операций. Хотя бы из-за возможности разложения некоторых величин в бесконечные ряды.
Предположу, например, что можно взять обычную 2D-сферу (которая поверхность 3D шара), и положить, что она такого радиуса, что расстояние между двумя любыми точками на этой сфере больше количества всех вещественных чисел (а еще лучше, скажем, алеф-1), причём в любых единицах измерения (есть нюансы с применением термина "количество" здесь, но предположим, что мы как-то договорились о процедуре сравнения мощности множества и расстояния на сфере). При этом дыр нет - это всё ещё сфера. И всё, на такой сфере тоже веселье начнётся с топологией. Бесконечности они такие.
Нет, что-то непонятно. "нужно подойти к ним сколь угодно близко, ближе любого наперед заданного значения" — это не доказательство.
Например проводим петлю так, чтоб она до первой развилки была на растоянии 1мм от "рога". До второй развилки ведём её на расстоянии 0.5мм, до третьей — на расстоянии 0.25мм и так далее. Она и подойдёт в итоге "сколь угодно близко, ближе любого наперед заданного значения", и потом снимется, да? Или нет? А почему нет?
Потому-что эта "сфера" - фрактал, и никакого отношения к 2D или 3D это безобразие не имеет. Очевидно, что рогатая сфера самоподобна, а значит у нее дробная размерность, и обычные фокусы с веревочкой здесь не прокатят - чтобы ее снять, у нее должна быть бесконечная длина (если посмотреть на ее форму в момент снятия, понятно что она тоже должна выписывать фрактальную кривую, а ее длина бесконечна).
А что нам мешает принять верёвочку растягивающейся, в т.ч. бесконечно? Ведь мы начали с того, что фигуры могут тоже трансформироваться?
ничего не мешает, кроме того, что чтобы ее снять с этих лосяшных рогов, это должна быть уже не веревочка, а объект размерности на 1 меньше, чем размерность этого рогатого чуда. Если-бы она была-бы веревочкой, у нее была-бы размерность 1, а здесь - какая-то фигня размерностью 1 с копейками. Если вы в курсе, расскажите, как работать в топологии (где размерности целые по определению), с фракталами с их дробными размерностями. Я честно говоря не в курсе, погуглил - а там какие-то непонятные мне слова (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864112002477), из которых я понял только то, что фракталы в топологии - это проблема, она нетривиальна, и сейчас изучается.
Судя по определению, с топологической точки зрения эта "сфера" - объект размерности 2, а не 3, как кажется сначала (ее топологическая размерность не может превышать ее фрактальную размерность). В этом и проблема, по-моему.
Я вообще не специалист в топологии, просто удивило, почему верёвочку нельзя растянуть... Ведь если можно снять верёвочку с рогов, когда они только начали расти, растягивая верёвочку, то её можно снять и после каждой дельты прироста рогов...
Но с другой стороны пока стягиваем верёвку — можно ещё рогов нарастить!
Но если серьёзно:
Представьте, что мы не снимаем верёвку, а именно стягиваем её в точку (что равносильно). Причём не в абы какую — а в точку точно на середине одной из подошв (срезов) самых вложенных "рогов". Причём не просто рогов: одну из цепочек рогов — ту самую, на которой мы стягиваем мы делаем строго из прямых цилиндров, которые перпендикулярно торчат из среза "родительского рога".
Теперь представьте (если у вас ещё к этому моменту представлялка не сломалась) мы этот праздник жизни проецируем на плоскость. Точнее — на плоскость самого первого, самого большого цилиндрического рога.
Когда количество рогов конечно — то мы точно можем указать на этой плоскости проекцию точки куда сожмётся кольцо.
А вот когда рогов бесконечно много — то эта точка будет особой, выколотой. В ней будет неопределённость вида бесконечность минус бесконечность.
И проблема не столько в том, что верёвочку "снять нельзя", а в "особости" этой точки: для внешнего пространства сферы — она особая, а для внутренней нет. Т.е. топология внутреннего и внешнего пространства разная.
Вообще, сомнительное дело, конечно, на рукомахательном уровне такое обсуждать. Но суть дела в том, что петелька всегда должна оставаться на положительном расстоянии от поверхности этой рогатой сферы. А куда сходится ваша последовательность? 1/2, 1/4, 1/8 сходится к нулю. Так что не обойтись без соприкосновения с поверхностью, если угодно, потому что потребуется бесконечное число шагов.
Странная все-таки эта сфера. Переусложнение для ответа на простой вопрос. Достаточно было бы ответить на вопрос: если взять график кривой y=1/x, который как бы стремится к 0 по мере роста x, можно ли "в бесконечности" протащить веревочку в "щели" между осью x и графиком. Мне кажется что можно, ведь график лишь стремится к 0, но никогда не касается его, значит веревочка всегда пролезет (если толщину веревочки тоже можно уменьшать сколь угодно бесконечно).
Иначе говоря, доказать, что объекты (пространства) гомеоморфны - значит предъявить некоторую величину (инвариант), для них одинаковую.
Нет, наоборот же. Доказать, что они негомеоморфны, можно, предъявив инвариант, который на них принимает разные значения. И число компонент связности (кусков), из которых состоят наши объекты - это тоже гомотопический инвариант, так что почему он в тексте противопоставлен односвязности, не совсем понятно.
Если представить, что рога растут не бесконечно, а притормозили на каком-то этапе, то мы легко перекинем верёвочку через вершины последних рогов и стянем в точку. То есть эта штука подобна сфере, если бы не игры с бесконечностью. Если относиться к бесконечности как к процессу, то верёвочка должна перелетать через вершины рогов быстрее, чем они растут.
А вообще рога тут придуманы для устрашения, запутывания и впечатления оппонента. Чтобы он сразу испугался и сдался. Можно было бы на поверхности сферы растить другие сферы, а на каждой ещё сферы - топологически это то же, что и рога.Но мысленно перебрасывать верёвочку через бесконечно растущие друг на друге сферы проще, чем через рога :-) И большинство людей сделали бы это :-)
В общем, через бесконечный лес фрактальных рогов перебросить верёвочку мысленно можно, это вопрос лишь воображения :-) На бесконечность рогов надо ответить бесконечностью действий по переброске верёвочки через их вершины, и всё получится :-)
Исправьте ваш собственный рисунок "рогов" от руки. Он не соответствует вашему описанию и тем более не соответствует дальнейшим изображениям "рогатой" сферы. У вас красные рога не скрещиваются с зелёными "замком". Они просто находятся перед ними.
Какой-то странный контрпример (или его описание в этой статье). Мы не можем стянуть петлю в точку потому что: "Ааааа, вы только поглядите какой сложный и страшный рисунок! Зуб даю, что нельзя петлю стянуть!".
Апелляция к бесконечности выглядит как какой-то шарлатанский трюк.
Кажется я нашел исходник статьи, журнал Квант 1990 года:
http://kvant.mccme.ru/1990/06/rogataya_sfera_aleksandera.htm
И в этой статье какое-то произвольное манипулирование исходными условиями. Почему-то создавать новые "рога" можно "неограниченно". А петля с чего-то вдруг обязательно должна коснуться поверхности сферы, как будто у нас куда-то пропала возможность бесконечно делить любое пространство на более мелкие, но тем не менее не пустые пространства. И видимо у обсуждаемой петли есть толщина, из-за которой мы не сможем протолкнуть её через некую, бесконечно далёкую пару "рогов".
Я не специалист в топологии, но очень странно в её контексте выглядят в этой статье обсуждения расстояний и их соотношение. Какое это имеет значение? Как захотели так и растянули кривую/поверхность/область. Конкретные величины расстояний и их взаимное отношение не имеют значения, главное что бы выполнялись ограничения накладываемые на трансформации.
А я все думаю, откуда мне это название смутно знакомо
А можете пояснить этот момент?
Любая петля внутри кривой С стягивается в одну точку, а во внешней части есть петля, которая не стягивается (если "опоясать" область С)
В принципе, это понятно и даже интуитивно. Но раньше по тексту было
Более общее утверждение, получившее название теоремы Шенфлиса гласит, что две области, на которые делит плоскость замкнутая кривая, устроены одинаковым образом.
Если я правильно все понял, то 'устроены одинаковым образом' значит, что либо обе обладают односвязностью, либо обе ей не обладают.
Но тогда рисунок и его интуитивное понимание противоречат теореме. Ведь внутренняя область односвязна, а внешняя - нет.
Внешняя область имеет отверстие, образованное областью С, поэтому она уже отличается по своим свойствам от С. Тем не менее она, по моему, односвязная, т.к. любые две точки этой области можно соединить непрерывной кривой, которая не пересекает границы области.
Если я правильно все понял, то 'устроены одинаковым образом' значит, что либо обе обладают односвязностью, либо обе ей не обладают.
Это автор начудил. Теорема не об этом, а о том что как бы не выглядила линия С, даже если она имеет ненулевую площадь, всё равно она типологически — круг. Т.е. есть внутренняя ограниченная односвязанная и внешняя неограниченная двусвязная области.
Т.е. равны все возможные варианты линии С, а не области на которые она делит пространство.
С соответственно со "сферами" это не работает, потому что есть "рогатая сфера" (ключевые слова "дикая кривая", "дикий узел", "дикая сфера"), у которой внешнее пространство не такое, как у сферы обычной.
Классная статья!
Скажите, уважаемый автор, а какая цель у вас и вашего телеграмм канала?
Рогатая сфера Александера — дикая конструкция, которая стала одним из символов топологии