В математике существует очень интересная тема, которая носит название "расслоение Хопфа". В 1931 году Хайнц Хопф опубликовал свою работу об открытой им в топологии конструкции, получившей в истории название "Hopf fibration" - расслоение Хопфа. Суть этой конструкции, была основана на геометрических разработках Уильяма Кингдона Клиффорда.

В поле зрение физиков-теоретиков, однако, она впервые попала лишь сорок с лишним лет спустя, в 1970-е годы, из-за прямых и непосредственных математических взаимосвязей между расслоением Хопфа и калибровочными симметриями в квантовой теории поля.

В данной небольшой статье рассмотрены некоторые основные моменты связанные с моим сайтом на котором рассматривается визуализация расслоения Хопфа.

В 1981 мне повезло участвовать в разработке достаточно простого вычислителя с небольшим набором команд. Мой руководитель делал основную работу. Он определил набор команд, сделал сопряжение с внешней по отношению к вычислителю аппаратурой и решил множество других вопросов. Мне он поручил разработать дешифратор команд, тактовый генератор, генератор одиночного импульса для отладки схемы и еще что‑то ( после того как прошло столько лет уже не помню).

Суть заключается в следующем. Кроме того, что было поручено сделать мне, мой руководитель, зная очень хорошо номенклатуру электронных блоков, уже используемых на нашем предприятии, скомпоновал с большими ухищрениями часть вычислителя из них. Эти блоки были сделаны профессионально с элементами впаянными на печатные платы. Но для моей части работы готового блока не было. Поэтому после разработки схемы, в которую входило 30 или 40 (уже забыл) микросхем 133 серии, я распаял эти микросхемы и сделал все соединения «внахлест».

Сразу может возникнуть вопрос — почему не попробовать сделать печатную плату и под новый блок. Самый простой и на 90% правильный ответ заключается в том, что под экспериментальное устройство лучше обойтись без создания печатных плат так как возможны ошибки в принципиальной схеме. Но это не полный ответ.

А сейчас внимание! Я познакомился с работой отдела в котором на нашем предприятии создавались печатные платы для сложных электронных устройств с несколькими десятками микросхем. Как оказалось это чрезвычайно нудный, кропотливый и длительный процесс. Даже для многих радиолюбителей процесс разработки печатной платы с гораздо меньшим количеством даже не микросхем а транзисторов или ламп не самое приятное дело. Здесь я имею в виду не процесс травления платы, а именно разводку соединений на ней.

В 1921 году Отто Штерн приехал в город Франкфурт, где познакомился в уроженцем этого города и сотрудником местного университета Вальтером Герлахом, вместе с которым они в том же году и провели прославивший их опыт. Впоследствии выяснилось, что почти всю математику описывающую, спин отдельного электрона, можно вывести из этого эксперимента. Читая описание эксперимента, такой вывод совершенно не кажется очевидным. Хотя бы, например, с какой стати в математике спина электрона появляются комплексные числа?

Чтобы прояснить связь математики спина с экспериментом Штерна‑Герлаха (Ш‑Г) мной была сделана его программная модель. При описании спина электрона очень часто используется сфера Блоха. В программной модели эксперимент Ш‑Г, можно сказать, был совмещен со сферой Блоха. При таком подходе можно визуально увидеть геометрию некоторых соотношений описывающих спин электрона. Увидеть несколько интерактивных программ можно в браузере на сайте Bloch sphere online.

При создании данного сайта использовалась главным образом школьная математика. В основном тригонометрия и простейшие действия с комплексными числами, а также формула Эйлера. Также для понимания материала требуются первоначальные сведения о матрицах.

Как производится возведение числа в степень, когда в качестве показателя степени выступает матрица, рассматривается непосредственно в тексте на сайте.

При рассмотрении примеров из четвертой части требуется понимание того, чем являются собственные числа и собственные векторы. Но четвертая часть фактически является факультативным дополнением к первым трем частям и читать ее необязательно.

Ранее мной на хабре была опубликовна статья в которой приводились интерактивные программы визуализирующие в браузере эксперимент Штерна-Герлаха, кваннтовый спин, сферу Блоха и вращения квантового спина.

Примерно через две недели я опубликовал еще одну статью. В этой статье я высказал свое недоумение по поводу изображения сферы Блоха в википедии, на большинстве сайтов, статьях и в книгах. Прочитав немногочисленные комментарии к этой последней статье на хабре я решил более развернуто пояснить свою позицию.

Может появиться вопрос почему меня заинтересовало, на мой взгляд, это неправильное изображение. Ответ заключается в том, что всякий раз как я его видел, мне казалось, что я неправильно пониманию математику описывающую спин электрона. Я просмотрел множество сайтов, статей в интернете и книг (в подавляющем числе англоязычных) и хотя и не во всех, но в большинстве из них я видел это, мягко говоря, странное изображение вектора квантового состояния |ψ〉 на сфере Блоха. Это отняло у меня большое количество времени и замедлило понимание математики, которая лежит в основе описания квантового спина электрона. Но только когда я сделал свои программы визуализации и численные результаты, отображаемые в этих программах, оказались полностью совпадающими с численными результатами полученными другими людьми, я понял, что по всей видимости прав в своем неприятии этого изображения (например можете посмотреть программу сделанную для отображения сферы Блоха в University of St Andrews Bloch sphere.)

Недавно я опубликовал на HABR'е статью про визуализацию кваннтового спина и сферы Блоха. После некоторых размышлений решил опубликовать в дополнении к этой статье следующий текст.

В настоящее время в интернете можно найти сайты с визуализацией некоторых квантовых процессов. Я решил сделать свой сайт с визуализацией квантового спина. Расскажу, как появилось желание сделать этот сайт и что на нем находится.

Трехмерную графику можно реализовать в браузере не только применяя WebGL или
библиотеки созданные на основе WebGL, но и путем простой отрисовки на 2D-холсте используя для этого функции HTML5 Canvas.

Существует множество книг, статей и информации в интернет о том как использовать холст
HTML5 Canvas для отображения рисунков, графиков и даже анимации в некоторых браузерных играх.

Однако практически никогда не рассматривается возможность непосредственного использования холста для отображения трехмерных объектов.

Остановимся на этом чуть подробнее.

Если создается трехмерная компьютерная игра, например 3D-шутер, то разработчики стараются сделать ее как можно более реалистичной и используют для этого графические ускорители. В этом случае без соответствующих программных инструментов обойтись не удастся. Для таких игр в браузере есть прямой смысл использовать WebGL и Three.js. Самое главное, что с помощью шейдеров предназначенных для этих программных инструментов можно осуществить реалистичное освещение сцены и находящихся на сцене объектов.

Но если требуется просто показать трехмерный объект со всех сторон, то можно обойтись без WebGL и шейдеров. Например некоторые программы CAD/CAM предназначены только для моделирования формы объектов и не предполагают использования реалистичного освещения.

На сайте Canvas и геометрия я последовательно и очень подробно объясняю как используя исключительно HTML5 Canvas можно создать изображения 3D-моделей многогранников.

При использовании для отображения в браузере библиотеки ThreeJS в качестве первого примера обычно выступает куб или какой-либо другой простейший объект, и он создается при помощи предустановленных специальных классов BoxGeometry или SphereGeometry. Затем обычно рассматривается использование импортируемых готовых моделей и работа с ними.

Но иногда требуется создать трехмерный объект для отображения в браузере полностью с нуля – только используя аналитическую геометрию. В данной статье рассматривается именно такой подход к построению интерактивно настраиваемых моделей и последующего их отображения в браузере.