Математики совершили новое открытие, связанное с додекаэдром

Кажется, под прямой здесь имеется в виду геодезическая, т.е. локально минимальная кривая. Это означает, что в любой достаточно малой окрестности произвольной точки кривой часть этой самой кривой имеет наименьшую длину для любой пары точек, которые она соединяет в этой окрестности. Например, геодезическая на плоскости — это часть прямой, на сфере — часть сечения плоскостью, проходящей через центр шара. Но геодезическая кривая не обязательно соединяет кратчайшим путем две точки — тут ключевое слово «локально». Взять, к примеру, ту же сферу — пусть это будет поверхность Земли. Тогда, чтобы добраться от Москвы до Питера мы захотим двигаться по интуитивно минимальной дуге по поверхности планеты, но если мы пойдем в противоположенном направлении, то затратим на дорогу значительно больше времени, т.к. придется обойти почти весь земной шар. Но оба наших пути образуют две геодезические кривые, соединяющие одни и те же точки. В данном случае на многограннике то же самое, даже проще, чем на сфере, так как на гранях геодезическая — это обычная часть прямой линии, а в окрестности ребра двух смежных граней эта кривая совпадает с кривой на развертке этих граней, а развертка плоская, это и означает ваше замечание про сумму углов (на развертке она, естественно, тоже равна Pi).