Как стать автором
Обновить

Комментарии 23

Хотел задать автору вопрос, но потом увидел, что статья переводная. Может кто-нибудь знает, как выглядят малые колебания подвешенных цепей и есть ли для них простое описание?
Думаю, надо копать куда-то в сторону волнового уравнения. Есть ещё гравитационные волны (не те, что от чёрных дыр, а те, что на поверхности воды) и изгибные гравитационные волны — возможно, последнее именно то, что вам нужно.

Подумал немного. Можно рассмотреть волновое уравнение для вашей цепи с закрепленными концами в невесомости:

Utt = c^2*Uxx

где U(x,t) — вертикальная координата каждой точки цепи, зависящая от горизонтальной координаты x и времени t. c — скорость распространения в ней упругих колебаний (т.е. звука). Utt — вторая частная производная по времени, Uxx — вторая частная производная по координате.

Закрепление цепи даёт граничные условия U(0,t)=0, U(1,t)=0. Задавшись начальным отклонением U(x,0)=f(x), можно решить это уравнение аналитически («методом разделения переменных») и получить решение в виде бесконечного ряда с синусами, коэффициенты при которых соответствуют разложению в ряд Фурье функции f(x).

Для учёта гравитации необходимо ввести в это уравнение константный член:

Utt = c^2*Uxx + g

где g — константа. Уравнение становится неоднородным, но так как неоднородность очень простая, то аналитические решения тоже существуют. Для получения решения следует решить сначала однородное уравнение, приведённое первым по тексту, а далее провести ещё некоторые манипуляции. Рекомендую книгу «Араманович И.Г, Левин В.И. Уравнения математической физики», там всё подробно и понятно рассматривается, и приведены готовые решения для простых случаев, подобного рассматриваемому.

Для пущего реализма нужно будет потом добавить в уравнение ещё и диссипативный (диффузионный) член, чтобы колебания затухали.

UPD: на странице 75, параграф 4, у Арамановича рассматривается пример — нахождение колебаний струны, на которую действует сила тяжести — как раз ваша задача. Приводится общее решение в виде ряда. Можно брать и вычислять.
Там вроде сила натяжения вдоль цепи меняется: возле концов больше, в нижней точке провисания — меньше. Соответственно скорость волны тоже должна меняться. Предположим, производная натяжения по длине мала, тогда (наверное) решение можно представить как пакет бегущих волн. Интересно, как будут меняются компоненты этого пакета, какие там могут быть еще явления.
Да, вы правы, вопрос надо исследовать.

Похоже, колебания висящей цепи нельзя адекватно описать неоднородным волновым уравнением, которое применимо к струне. Струна всегда натянута, и любое отклонение её формы от прямой есть следствие растяжения. Цепь же можно считать нерастяжимой, а отклонения от прямой обусловлены тем, что цепь длиннее, чем расстояние между точками подвеса.

Сейчас попробую найти или вывести диф. уравнение в частных производных для описания колебаний цепи.
Задача о колебаниях идеальной нерастяжимой цепи не имеет физического смысла. Для колебаний физическая система должна «проскакивать» положение равновесия и возвращаться к нему с обеих сторон. Но в случае нерастяжимой цепи положение равновесия проскочить нельзя. Если в момент принятия цепью формы цепной линии у неё ещё осталась кинетическая энергия — то это приведёт к бесконечным напряжениям в цепи, т.е. никакой материал этого не выдержит.

Вспоминается задача по статике №136 из «Сборника задач по общему курсу физики» Стрелкова, Сивухина и др.: "Анализируя результат задачи 135, можно прийти к следующему неожиданному выводу: любой канат можно разорвать сколь угодно малой силой. Действительно, представьте канат натянутым и закрепленным на концах; тогда достаточно приложить к середине каната перпендикуляр­ную к нему небольшую силу, чтобы создать сколь угодно большое натяжение каната. Почему же все-таки канат нельзя разорвать сколь угодно малой силой?" И решение заключается в том, что канат растягивается.

Цепь обязана растягиваться хотя бы немного. Но тогда она, в окрестностях положения равновесия, превращается в струну. Осталось только поставить и решить задачу колебаний струны, которая длиннее, чем расстояние между точками закрепления, и имеет форму цепной линии в положении равновесия.
Наверное, вам стоит пересмотреть свои выводы. Дело в том, что есть естественный контрпример к вашим рассуждениям. Возьмем конструкцию из N последовательно соединенных нерастяжимых массивных одинаковых шарниров и подвесим ее с провисанием за крайние точки. Любой угол изгиба такой конструкции можно на немного изменить и это никак не приведет к ее разрушению. Если особым образом устремить N к бесконечности (уменьшая при этом массу и длину шарниров обратно пропорционально N), то конструкцию как по статике так и по динамике колебаний в пределе перейдет в идеальную цепную линию.
Похоже, вы правы. Кстати, я вот ещё нашел интересную информацию в книге «Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики». В главе XIV рассматривается и решается задача на малые колебания нити, подвешенной за один конец. Физическое рассмотрение задачи приводит к самому обычному волновому уравнению, которое далее решается известными методами.

Так что есть шанс, что колебания нити, подвешенной в двух концах, тоже описываются «обычным» волновым уравнением.

Разве это не просто уравнение параболы через 2 точки, коэффициенты найти используя интеграл по длине ( должна быть равно l)?

Нет, цепная линия — это не парабола.

Математически может быть и нет, но на вид очень похоже

Сделал небольшой тест — www.youtube.com/watch?v=4XVrHkLQaYk

Если бы такая цепь была в игре, то выглядело бы довольно правдоподобно
Ну вот автор статьи утверждает, что человеку цепная линия приятнее для глаза. Я, как и вы, сомневаюсь (о чем написал комментарием ниже). Для проверки утверждения автора надо сделать много разных рендеров (вроде иллюстраций к статье), показать большой выборке человеков, вычислить доверительный интервал… думаю, никто не будет заморачиваться.

Хм. Еще в институте преподаватель рассказывал историю, фабулой которой было производство большого зеркала для телескопа во вращающейся ванне с расплавленным стеклом. Там тоже получалась цепная линия (в сечении) как приближение параболы — и этого хватало астрономам (годах в 70-х). Так вот, если астрономам для исследований хватает цепной линии вместо параболы, то имеет ли смысл для игр заморачиваться с цепной линией вместо параболы?

В каком смысле цепная линия присутствует во вращающейся ванне? g постоянна и направлен вниз, центростремительное ускорение растет пропорционально радиусу, результирующий вектор инерциальной гравитации v имеет компоненты гор = ω^2 * r, верт = — g. Эквипотенциальная поверхность (поверхность вдоль которой жидкости нет «желания» течь) должна быть всюду ортогональна v. Проверьте, что касательный вектор к параболе f ( r ) = (1/2g) * ω^2 * r^2 имеет компоненты гор = 1,
верт = (ω^2)/g и тем самым ортогонален к вектору инерциальной силы v.
Ртутная вращающаяся ванна — это идеальный телескоп.

Простите, а у вас ртуть имеет одинаковую угловую скорость вращения везде и не зависит от r?

Я предполагал именно это. Вы хотите какое-то безроторное поле скоростей предложить? Тогда вообще что-то наподобие торнадо получиться, но для этого придется дно подальше убрать и не знаю, что там с вязкостью сделать.

Я, честно говоря и раньше не знал, а сейчас и подавно забыл. Но представляется, что если это условно-сферическая ванна, то угловая скорость ртути должна уменьшаться к центру, возможно отсюда и цепная линия (а вязкость играет роль коэффициента в ней). Ну может и препод ошибся, но он вроде уважаемый математик был...

Если вихрь (в безроторном поле), то угловая скорость к центру наоборот должна расти
Безвихревые вихри

Траектории жидких частиц вокруг оси (штриховая линия) идеального безвихревого вихря. (См. Анимацию )
В отсутствие внешних сил вихрь обычно довольно быстро развивается в направлении безвихревой схемы потока [ необходима цитата ], где скорость потока u обратно пропорциональна расстоянию r. Безвихревые вихри также называют свободными вихрями .

en.wikipedia.org/wiki/Vortex
upd: всё-таки я не прав и во вращающейся ванной поверхность принимает в точности форму параболоида (и угловая скорость тоже постоянная). Тут andy_p выложил секретные уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах. И если посмотреть случай для стабилизированной жидкости (dVfi / dt = 0) вязкость сокращается, а решением является парабола y( r ) = Vfi( R )^2 * r^2/ (2gR^2)
неправильное свисание цепных линий само по себе создаёт эффект «зловещей долины».

Дожили. К чему только не приписывают уже "долину", но к проводам...

Однако все кривые цепных линий похожи, потому что все они являются версиями друг друга с разным масштабом
Но это же неправда, и формула (1) это демонстрирует — в противном случае там только один параметр остался бы после сокращения. Это правда только для параболы и прочих xn, т.е. a·(b·x)2 = a·b2·(x2). Разве что только чем меньше множитель в аргументе cosh-а, чем ближе она к параболе.
и наоборот

Цепные линии обладают и ещё одним любопытным свойством. Они являются формой, позволяющей квадратам перемещаться без колебаний их центров (см. анимацию ниже).
И это тоже неправда, легко доказывается через формулу квадрата в полярных координатах — там не будет cosh в формуле.
По-моему для создания игр проще написать инструмент физической симуляции таких проводов, и последующие их запекание в точки вне рантайма. Тогда и уравнения не придется выводить и рассчитывать, будут уже готовые данные
Зарегистрируйтесь на Хабре , чтобы оставить комментарий

Публикации

Истории