Комментарии 26
Спасибо за попытку и старание, конечно, но тут как раз не очень коротко и метод "упрощения" В виде замены общепринятых терминов на придуманне, как по мне, не рабочий. Если назвать график функции дорогой, а наклон касательной — крутизной дело не сильно упростится.
Я матан учил (ВУЗ, учитель физики), но после прочтения этого места у меня, «как у школьника», возникли вопросы
— почему так?
— в каких обстоятельствах будет так же?
— учитывая «для нашей функции», а как будет для других функций?
спасибо.
(Вообще непонятно, почему сам автор статьи ничего не отвечает. Вопрос-то крайне интересный).
В терминах статьи, при взятии интеграла у крутизны мы получаем исходную формулу дороги. Соответственно первообразная исходной формулы должна показывать дорогу, крутизна которой была бы определена исходной формулой. Причём здесь площадь совершенно не ясно.
Помню чтобы разобраться в этой теме начал читать Фихтенгольца. И где-то на иррациональных числах, случилось некое озарение. Сразу дошло что такое лимиты, а через них дифференциал и интеграл, просто каскадом за короткое время все схлопнулось в простую ясную структуру.
Для нашей функции f(x) = x2 дифференцирование будет выглядеть таким образом: нам нужно перенести двойку из показателя степени влево, перед х, и уменьшить степень х на единицу. То есть, в данном случае степень х станет равна 1: f '(x) = 2x.
Вы делаете ту же самую ошибку, что и все учителя: «тут переносим, тут уменьшаем — дети, запомните формулу», не поясняя главного — почему переносим и почему уменьшаем? Какую идею описывают эти преобразования?
Рекомендую:
О, тут сразу же на картинке dx — конечное малое приращение, что как раз интуитивно. В современной математике это не так, а в физике это стандартный подход. Кстати, и в математике не так давно (в позапрошлом веке, если не ошибаюсь) перешли на абстракцию с бесконечно малым как пределом, что, имхо, и запутало всех не математиков. Такой подход математически более строгий и позволил устранить старые противоречия, вот только совершенно не интуитивен и нарушает всю физику (пришлось физикам доказывать, что есть предел квантования). Не могу вспомнить замечательную книжку по теме, где основанные на конечных малых приращениях доказательства и примеры из работ "древних" (от древних греков до Ньютона) перекладываются на язык современной математики… и сразу Ахиллес не может догнать черепаху, двусторонняя производная Ньютона превращается в монстра и так далее, все очень усложняется и становится контринтуитивным.
Тащемта не ясен Профит. Объяснение в детских терминах вместо нормального определения через предел. Зачем? Потом через те же пределы идёт интеграл, суммы рядов, мат стат. А тут приходится каким-то магическим запоминанием дифференцировать степенную функцию. А для синуса новую магию надо, для экспоненты ещё одну магию. Это не упрощение, это рефакторинг названий переменных. Вместо функций дороги и т.д. человек которому матан нужен в жизни вполне его осознает в стандартные 14-15 лет соответствующие 9-10 классу, как и простейшие дифуры.
К сожалению, я совсем плохо разбираюсь в математике, если не то привёл в пример, то не серчайте. Но мне кажется, что статью можно здорово обогатить, если допилить интерактивный график к ней, например как вот тут:
www.geogebra.org/m/NtY76qTq
Или у нас война и нужно отправить танк в сторону противника. Сколько в него надо залить топлива? Слишком мало — не доедет. Слишком много — и ехать будет тяжелее, а места на вооружение останется меньше. Проверять экспериментально — слишком долго и дорого, да и противник не спит. Вот кто быстрее освоит дифференциальное исчисление — тот и победит в войне.
Годовой доход при плавающей процентной ставке.
Первая картинка — все ж не плоскость, а линия. Плоскость двумерна, подразумевает сразу вторую ось. Да и птица вышла точечная, хорошо хоть не в вакууме.
производная — это функция, показывающая насколько быстро изменяется граффик. В точках экстремумах — изменения равно 0. Если график «падает», значит производная будет отрицательной. Положительной — граффик возрастает)
Вычислить производную можно по указанным правилам в табличке в учебнике.
Такими темпами скоро будем писать на Хабре статьи "Таблица умножения — объясняю на пальцах"
В итоге ничего не понятно.
Что такое интеграл и для чего он нужен? Интеграл нужен для того, чтобы зная, как изменяется какой-то процесс, быстро понять, как именно он в итоге изменится. Например, зная скорость (изменяющуюся!) автомобиля, понять, как далеко он уедет за любое время. Или зная скорость (изменяющуюся!) вытекания воды из бочки, понять, как быстро она опустеет вся. А если скорость вытекания воды ещё и всегда зависит от того, сколько там сейчас воды, то именно для этого нужны дифференциальные уравнения. Это важно, потому что мы часто можем записать формулы/закон только для мгновенной скорости изменения чего-нибудь, а хотим по этому "мгновенному снимку" распознать весь процесс. По капле воды сделать вывод о существовании океана - это как раз про интегрирование.
Что такое производная и для чего она нужна? Производная нужна для того, чтобы имея всю историю изменения какого-то процесса узнать, как быстро он менялся в каждый момент времени. Например, зная объём (изменяющийся!) воды в баке в каждый момент времени, можем посчитать, с какой скоростью из него вытекала вода. Производные тоже важны (хоть и меньше, чем интегралы) потому, что с ними мы можем исследовать поведение какого-то процесса во времени и узнать самые важные "критичные" (экстремальные) точки. Например, имея запись координат автомобиля в каждый момент времени мы можем узнать, в какой момент он превысил скорость.
Производная и интеграл — проще некуда