Введение
Довольно часто при разработке игр возникает необходимость находить точку пересечения прямых, отрезков, лучей и т.д. О том, как реализовать это максимально простым способом, в этой статье.
Популярные способы и их критика
Возможно, многие вспомнят способ из школьной алгебры — составить уравнения двух прямых, приравнять их правые части, найти x, и подставить его в уравнение прямой, чтобы найти y (Подробнее здесь).
Однако данный способ становится достаточно громоздким при написании кода (возможно поэтому вы сейчас читаете эту статью), к тому же, он не является универсальным: если одна из прямых параллельна оси Y, мы получим ошибку деления на ноль при вычислении углового коэффициента, и нам придётся прописать код на этот случай; если две прямые перпендикулярны осям, требуется повозиться с обработкой и этого случая. Такой код становится длинным и некрасивым.
В поисках более элегантного решения данной проблемы я наткнулся на весьма интересные способы, основанные на векторном умножении ( habr.com/ru/post/267037 ) и ray castinging'е ( ru.wikipedia.org/wiki/Ray_casting#Концепция ). Но на мой взгляд, они неоправданно сложные в вычислительном плане. Поэтому представляю вашему вниманию (и критике) мой способ.
Мой способ
Задача
Даны координаты двух отрезков. Нужно узнать, пересекаются ли отрезки, и если да, в какой точке. Для этой цели напишем функцию.
Решение
Условные обозначения для исключения недопониманий: a — вектор a, a(y) — проекция вектора a на ось Y, a{x1,y1} — вектор a, заданный координатами x1,y1.
Представим наши отрезки в виде двух векторов: a{x2-x1; y2-y1} и b{x3-x4; y3-y4}. Обратите, внимание, что вектор b имеет противоположное от ожидаемого направление. Введём вектор c{x3-x1; y3-y1}. Заметим, что a*k+b*n=c, где k,n — некоторые коэффициенты. Таким образом, получаем систему уравнений:
a(x)*k+b(x)*n=c(x)
a(y)*k+b(y)*n=c(y)
Наша задача сводится к нахождению этих коэффициентов (правда сказать, достаточно найти лишь один из них).
Предлагаю домножить обе части нижнего уравнения на q= -a(x)/a(y). Так после сложения двух уравнений, мы сразу избавимся от k. Нахождение n сведётся к решению обыкновенного линейного уравнения. Важно обратить внимание, что у n может не быть решения.
Внимательный читатель заметит, что при a(y)=0, мы получим ошибку. Пропишем ветвление на этапе нахождения a(y). Этот случай ещё проще, ведь мы сразу получаем уравнение с одной неизвестной.
Рекомендую попробовать вывести n самостоятельно, так будет понятнее, что откуда берётся в коде ниже.
Зная n, можно найти точку пересечения, для этого мы отнимем от координаты точки (x3,y3) вектор b*n
Собираем воедино
float dot[2]; // точка пересечения
bool cross(float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3, float x4, float y4) {
float n;
if (y2 - y1 != 0) { // a(y)
float q = (x2 - x1) / (y1 - y2);
float sn = (x3 - x4) + (y3 - y4) * q; if (!sn) { return 0; } // c(x) + c(y)*q
float fn = (x3 - x1) + (y3 - y1) * q; // b(x) + b(y)*q
n = fn / sn;
}
else {
if (!(y3 - y4)) { return 0; } // b(y)
n = (y3 - y1) / (y3 - y4); // c(y)/b(y)
}
dot[0] = x3 + (x4 - x3) * n; // x3 + (-b(x))*n
dot[1] = y3 + (y4 - y3) * n; // y3 +(-b(y))*n
return 1;
}Данная функция принимает координаты вершин и возвращает значение 1, если прямые отрезков (именно прямые) пересекаются, иначе 0. Если же вам нужны координаты вершин, вы сможете взять их из массива dot[].
Важно: при введении двух совпадающих прямых, алгоритм выводит отсутствие пересечения. Алгоритм находит точку пересечения прямых, на которых лежат отрезки, поэтому точка может оказаться за пределами отрезка (что вам придётся дополнительно проверить в уже своём коде).
Применим функцию:
int main() {
if (cross(1,1,7,2, 7,3,5,6)) {
std::cout << dot[0] << " " << dot[1] << std::endl;
}
else {
std::cout<<"Not cross!"<<std::endl;
}
return 0;
}Послесловие
Хоть я и не встретил этот способ в процессе гугления своей проблемы и вывел алгоритм самостоятельно, я не претендую на его полную оригинальность (и правильность). Поэтому добро пожаловать в комментарии!
