BuddhaSugata 23 фев 2021 в 09:49

ОТО. Геометрическое представление кривизны пространства в метрике Шварцшильда. Часть 2

15 мин

4.6K

… или один плюс три снова четыре.

Для понимания статьи необходим школьный курс математики, и, может быть, даже достаточен.

В предыдущей статье мы выяснили, что множитель кривизны пространства в метрике Шварцшильда в каждое мгновение может быть представлен как сумма двух перпендикулярных мер (длин), одна из которых зависит от энергии массивного тела, создающего гравитационное поле, а вторая — нет.
В этой статье, я объясню выводы предыдущей статьи, часть которых оказалась неочевидна, а также продолжу развитие идеи «распрямления» искривлённого четырёхмерного пространства-времени через «энергетическую глубину».

Чтобы не скакать по ссылкам, предыдущая статья здесь целиком.

Форма множителя в метрике Шварцшильда давно не давала мне покоя своей изысканной двуличностью, и я решил уделить некоторое время изысканиям возможностей её преобразования. Сама метрика Шварцшильда получается в результате решения ОТО для вакуумного случая (тензор энергии-импульса равен нулю):

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) \cdot c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Она описывает пространственно-временной континуум в окрестностях произвольного компактного массивного объекта. Компактного, значит, девиации формы незначительны в отношении к массе. Проще говоря, круглый и плотный. Обычно здесь приводят в пример чёрную дыру. Никто почему-то не приводит примеров некомпактных объектов. Герметичная палка из пенопласта в открытом космосе на бесконечном удалении от массивных объектов, например, некомпактный объект. Кубический конь на расстоянии, с которого можно разглядеть печаль в его глазах — тоже.

Через объём 3-сферы

Произведём замену:

$M=\frac{E}{c^2}$

Тогда метрика станет такой:

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Замена была нужна только для того, чтобы обратить внимание на четвёртую степень у скорости света, потому что все циферки в формулах имеют значение. Об этом говорит вся история физики — любая эмпирически полученная формула со временем получает теоретическое основание, объясняющее значения всех математических форм, которые в ней содеражатся.
Обычно в представлении этой метрики часть, связанную с физическими константами и массой тела, создающего поле, выражают через радиус Шварцшильда:

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

потому что метрика имеет особенность в этой точке. Здесь время, буквально, останавливается.
Вот так, в таком случае, выглядит вся метрика:

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Но в продолжение рассуждений о физической сути явлений эта двойка:

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

тоже должна быть осмыслена. Поэтому представим так:

$u = \frac{GE}{c^4}$

Это просто половина гравитационного радиуса $inline$ , и размерность у него такая же. Получим:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Напрашивается:

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

Уже неплохо. Зарисуем. Представим $inline$ конечным отрезком, $inline$ — его частью, как показано на рисунке ниже. Очевидно, что $inline$ .

Любопытно, кстати, что из $inline$ следует, что точка $inline$ находится за (под) горизонтом событий объекта энергии $inline$ . Вот так легко она находится, а мы не можем.
Теперь покажем, что отношение вида $inline$ будет выполняться для всех точек, имеющих геометрическое место на перпендикуляре к $inline$ в точке $inline$ :

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

для любых $inline$ и $inline$ .
Говоря проще, разность квадратов $inline$ эквивалентна разности любых величин, проекциями которых на $inline$ являются $inline$ и $inline$ соответственно, при условии, что точка $inline$ у них общая.
Дальше предположим, что $inline$ и $inline$ , наоборот, проекции $inline$ на какие-то оси, то есть пифагорова сумма двух величин, в исходном виде перпендикулярных друг другу. Переводя это в требование, рассмотрим случай $\angle{OCB} = \pi/2$ , для которого верно:

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Доработаем $inline$ аналогично начальной итерации:

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Вот и четвёртая степень. Формула объёма 3-сферы:

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Это я к тому, что если домножить и разделить $inline$ на $\pi^2/2$ :

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

то множитель в метрике Шварцшильда превращается в разность объёмов двух 3-сфер, построенных вокруг двух радиальных проекций точки относительно центра поля, соотнесённой к объёму 3-сферы, образуемой полным расстоянием между точкой и центром поля.
С учётом того, что полный радиус задаётся проекциями, всю эту конструкцию весьма лаконично задают два параметра, один из которых связан с энергией, а второй — нет. Там точно две координаты.

Через угол

Очевидно, что можно выразить значимость поля в точке через плоский угол, выражающий отклонение траектории движения от плоского пространства (в отсутствие гравитационных полей).
Выразим величины $inline$ и $inline$ через угол $\alpha = \angle{OBC}$ : $b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ . Назовём его угол кривизны траектории. Тогда множитель можно выразить очень по-разному:

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

Особенно мне нравится вариант с тангенсами.

Подставим в исходный интервал:

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Всё, как и должно, превращается в плоскую метрику Минковского при $\alpha = 0$ .
Здесь точно должен быть пятый…
Продолжение следует.

Если коротко, то мы представляем метрику Шварцшильда:

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) \cdot c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

где $inline$ — масса тела, $inline$ — интервал, $inline$ — время, $r, \theta, \phi$ — сферические координаты, $inline$ — вселенские константы, так:

$ds^2 = - \frac{V_b - V_d}{V_r} \cdot c^2 dt^2 + \frac{V_r}{V_b - V_d} \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \qquad (1)$

где $inline$ объёмы 3-сфер, заданных радиусами: $inline$ — в псевдоевклидовом пространстве, «энергорадиусом» $inline$ массы гравитирующего тела и их суммой $r = \sqrt{b^2 + d^2}$ ;
и так:

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \qquad (2)$

где $\alpha$ — угол кривизны — угол отклонения траектории объекта от «нормальной» (от её проекции на плоское трёхмерное пространство).
Физически интерпретировать смысл формулы $inline$ можно было бы так: объект, движущийся в «бесконечном вечном» асимптотически плоском пространстве Шварцшильда, приближаясь к массивному объекту, будет испытывать дефицит пространства в направлении центра масс гравтела, словно там из ткани космоса вынули часть 4-объёма, пропорциональную массе гравтела и обратно пропорциональную расстоянию до его центра масс. Важным аспектом при этом является то, что изменение кривизны происходит линейно изменению четырёхмерного объёма — 3-сферы, а не трёхмерного, потому оно и выглядит таким одутловатым в стандартной метрике.
Это достаточно образная трактовка, которая возможно поможет взглянуть на метрику другими глазами. А формулу $inline$ я пока трактовать не буду, потому что по ходу данной статьи она ещё получит свою интерпретацию.
Далее я сперва объясню выводы предыдущей статьи, а затем перейду к развитию темы с представлением метрики через дополнительное измерение.

Часть 1. Выводы предыдущей статьи и пояснения к ним

Выводы предыдущей статьи с пояснениями

Выводы

Из возможности такого представления были сделаны следующие выводы:
1. Из формы множителя видно, что поведение фотона ограничивает видимую зону пятимерного пространства-времени. За её пределами можно спрятать нечто гравитирующее, но невидимое.
2. Наличие второй спрятанной координаты избавляет от парадокса нулевого времени.
3. Раз кривизна пространства вокруг массивного тела может быть всегда разложена на две компоненты, одна из которых связана с энергией тела, а вторая исключительно с пространством, то следующим шагом надо решить уравнения ОТО для вакуумного случая пятимерного пространства-времени.

Ограничение видимой зоны пятимерного пространства

Чтобы наглядно объяснить первый вывод предыдущей статьи, представим множитель кривизны траектории объекта так:

где $inline$ — полное расстояние $inline$ до массивного объекта, $inline$ — величина координаты, не связанной с энергией массивного тела, $inline$ — величина координаты, связанной с энергией массивного тела, «энергетическая глубина».
Единственное отличие от представления в предыдущей статье в том, что для наглядности картинка перевёрнута: переставлены местами величины $inline$ и $inline$ , то есть «энергетическая глубина» как бы отнесена к движущейся точке, вместо самого объекта. На итоговый результат это не влияет, но позволяет наглядно представить множитель $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ , потому что обратные проекции $inline$ и $inline$ на гипотенузу $inline$ являются квадратами косинуса и синуса угла $\angle BOC = \alpha$ соответственно. Иначе говоря:

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{OA^2 - AB^2}{OB^2}$

Таким образом, кривизна движения объекта, находящегося в точке $inline$ относительно массивного объекта в точке $inline$ определяется как отношение разности площадей кругов радиусов $inline$ (синего) и $inline$ (красного) в отношении к кругу радиуса $inline$ .
Движение по осям рекурсивно влияет на обе координаты — измерения неразрывно связаны, и в зависимости от показателя массы движущегося объекта траектория кривой будет изменяться, принимая крайнее положение при $m=0, \ ds^2 = 0$ , то есть для фотона. При этом область возможных траекторий движущихся объектов, обладающих массой, будет находится с одной стороны от траектории фотона $inline$ (в стандартном представлении интервала, для $inline$ — наоборот $inline$ ), будучи ею предельно ограничена.
Таким образом, в обстоятельствах описываемых интервалом, заданным через угол кривизны, пространство всегда можно условно разделить на две области: дофотонную — внутреннюю (ниже обозначена красным: при той же кривизне проходимые расстояния меньше, чем у света), и постфотонную — внешнюю (ниже синим).

Из изложенного логически вытекает отрицательность интервала $inline$ привычного вида для объектов в синей части, и как следствие его пространственно-подобность. Однако, это следствие ограниченной применимости интервала четырёхмерного пространства-времени для описания континуума большей размерности.
Если мысленно увязать ось $inline$ с явлением энергии, то синюю область можно попробовать трактовать как часть плоского пространства, которая однако вследствие гравитации имеет такую энергетическую плотность, что электромагнитные волны её «обтекают», и делают тем самым ненаблюдаемой.
Совсем утрировано: все объекты с более «кривыми» траекториями, чем у света, будут видимы, а менее «кривые» — нет. При этом для того, чтобы оказаться скрытыми, им совершенно необязательно двигаться быстрее света — проходить большее пространство за то же время — находится правее прямой, соответствующей $inline$ в точке. Им достаточно находится ниже этой прямой, и они останутся скрыты гравитационным искривлением, взаимодействуя с гравитирующим объектом «легче», чем свет.
Завершу эту главу фантазией, предположив, что в тёмное пространство под «синим подолом» гравитационного поля можно было бы спрятать, например, пару гораздо более энергоёмких поколений частиц (II и III), таких неустойчивых в нашем 4-континууме.
Если большое количество такого рода частиц разместить компактно, то такое скопление при наблюдении проявляло бы свойства тёмной материи — само создавало гравитационное поле, оставаясь при этом вне фотонного пространства — невидимым.
Естественно, это всего лишь недоказанные наброски большими мазками. Догадки, которые должны быть высказаны уже только затем, чтобы выявить противоречивость подхода в целом на раннем этапе. А также, вопреки своей возможной ложности в деталях, они могут, наоборот, подстегнуть чей-то интерес к подходу.

Ненулевое время в особенной точке метрики

Здесь предлагаю для начала взглянуть на изменение угла кривизны в динамике:

Если условно представить движение объекта в гравитационном поле поворотом относительно плоского трёхмерного пространства наблюдателя, то исходное количество движения останется прежним, изменится только его конфигурация.
Я хочу сказать, что гравитационное поле можно представить «пожирателем» движения фундаментальных частиц, словно оно является воронкой «в никуда», поворачивая их перемещение из наблюдаемого пространства в невидимом направлении, определённо связанном с наблюдаемым нами явлением энергии.
Причём, говоря «поворачивая», я, естественно, не подразумеваю поворот в обычном, наблюдаемом пространстве. Гравитационное поле забирает часть движения частиц, как если бы те вращались и могли быть охарактеризованы частотой вращения — комплексной составляющей, а гравитационное поле было берегом, который поджимает заходящие на него волны — меняет количество движения вдоль, переводя его в движение поперёк. Увеличивает мнимую составляющую, уменьшая вещественную.
Таким образом, в предлагаемой парадигме континуума расширенной мерности движение не исчезает и не растягивается/сжимается. Оно «перетекает» из плоского наблюдаемого пространства $inline$ в перпендикулярном направлении совокупно определённом ранее как единая ось $inline$ , хоть полноценной осью, изоморфной остальным, судя по всему, не является. Однако ставка на аналогичное представление времени сто лет назад сыграла, хоть ось времени также не совсем обычна, поэтому продолжим пилить в этом месте.
Изменение относительного положения движущегося объекта в пространстве рекурсивно влияет на характеристику его дальнейшего движения так, как если бы на каждый «тик» $inline$ часть движения переходила из наблюдаемого плоского пространства в перпендикулярном ему направлении или наоборот — в зависимости от направления.
Соответственно, точка $r_{s} = 2 GE / c^4$ (угол кривизны $\alpha = \pi / 4$ ) является граничным условием для безмассового объекта, при котором количество наблюдаемого движения объекта становится равно количеству движения изымаемого полем, что реконфигурирует собственное движение объекта в нечто иное, но прекращения движения последнего в пространстве $inline$ при этом всё же не происходит. Движение остаётся, мы его просто не видим.
Время объекта не останавливается, а энергия — количество движения — не становится бесконечной.

Решение уравнений ОТО для пятимерного пространства

Вначале я попытался пойти этим путём. С позволения сказать, в штыковую атаку. Но несколько недиагональных компонент в тензоре Риччи получились отличными от нуля (из-за взаимного влияния координат на неизвестные функции), и я не знал, что с этим дальше делать. Насильно приравнять нулю, и получить требуемую форму взаимодействия искомых функций, дало интересный результат, но, кроме этого допущения, логически получалось, что дополнительное измерение, будучи связанным с энергией, имело все шансы оказаться включением правой части уравнений — составной частью тензора энергии-импульса (ТЭИ), и тогда его введение в геометрическую левую часть вряд ли сохраняло бы тождества.
В итоге, глядя на косую симметрию в метрике Шварцшильда и на угловую форму мультипликатора в метрике Фридмана, я подумал, а не получилось ли так, что на существующем этапе развития физической теории использование римановой геометрии дало чрезвычайно изящное представление о гравитационном поле в виде ОТО — настолько прекрасное, что оно намертво вплело парадигму изгибаемого, неевклидового пространства-времени в умы нескольких поколений физиков. Окажись она ложной не в математическом выражении, но в самой сути представления явлений природы, и стагнация развития теоретической физики, запертой в «тензорной ловушке», была бы обеспечена.
Забегая вперёд, выскажу догадку, что если всё-таки развернуть ТЭИ через геометрическое представление тотально, то его можно будет перенести в левую часть, и свернуть с формами пространственного тензора в более развитую, сложную, но в то же время и более лаконичную, форму расширенной мерности.
Однако, чтобы сделать это необходимо попытаться понять суть происходящих процессов называемых явлением гравитации заново. С какой-то другой, неизученной стороны.
Показанный в предыдущей статье принцип демонстрирует возможность ежемгновенного разложения искривления пространства вокруг массивного компактного объекта на ортогональные компоненты, что даёт нам возможность сделать шаг назад, к евклидовой геометрии, и посмотреть с этой позиции на явление гравитации как на поведение объектов внутри евклидова пространства увеличенной размерности, как если бы гравитация была явлением деформирующим сами объекты и их наблюдаемое поведение (относительность времени), а пространство и время при этом оставляла абсолютными (что даёт в перспективе отличный мостик обратно к энергии и её сохранению).
Подход в лоб не сработал, и я пошёл в обход.

Дополнительная ось в пространстве Минковского

Невидимое окно, в которое вытекает движение, выраженное объёмом $inline$ в объёмном представлении кривизны, возникает на горизонте объекта и зовёт в себя провалиться, тем неотвратимее, чем выше его относительная «важность» (масса к массе) против объекта и расстояние, читай, пространство, которое их разделяет.
Если объект склоняется к этому окну не только в видимом пространстве, но и незримо начинает участвовать в некотором дополнительном движении, по мере приближения соотносясь с мерой внутреннего движения объекта собственной — участвуя в «потоке», и отдавая на это часть собственного движения из видимого пространства, то из другого среза видимого пространства такой процесс выглядел бы как искривление времени, хотя в самом деле являлся его перераспределением.
Скажу проще. Кусок четырёхмерного объёма $inline$ , чьё возникновение в объёмном представлении кривизны в метрике Шварцшильда:

$\frac{V_b - V_d}{V_r} = | V_d = 0 | = 1$

обуславливает её отклонение от псевдоевклидовой метрики, то есть, собственно, и отвечает за возникновение этой самой кривизны континуума, в четырёхмерной (3-пространство и время) версии последнего вырезается на каждый «тик» $inline$ , и разжиженные остатки пространства-времени стягиваются в центр, склеиваясь краями, чтобы не было видно дыры.
Я же просто предлагаю попробовать дать этой катаракте собственное измерение, чтобы уже перестать натягивать четырёхмерную сову на пятимерный, как минимум, глобус.
В дополнение к трём осям $(\rho, \theta, \phi)$ (для удобства сразу представим его в сферических координатах) введём ось $inline$ .
В предыдущей статье мы увидели, что радиальное смещение объекта в гравитационном поле в любой момент времени может быть представлено пифагоровой суммой двух величин:

$display$

одна из которых — $inline$ — не связана с энергией массивного тела (в отсутствие $inline$ оставляет пространство-время плоским), а другая — $inline$ — связана.
Теперь, чтобы двигаться дальше, представим составляющую $inline$ частью оси $inline$ , а $inline$ — частью оси $\rho$ , так, чтобы квадрат вектора $\vec{r}$ был равен:

$r^2 = \rho^2 + \imath^2 w^2$

где $\rho$ — радиальная координата наблюдаемого псевдоевклидова пространства, а $inline$ — дополнительная ось энергетического характера.
Как минимум, чтобы не получать $inline$ при дифференцировании последнего.
Мы представляем $\vec{r}$ вектором в двухмерном псевдоевклидовом пространстве $( \rho, w)$ с метрикой в общем случае:

$g_{\mu \nu} = \left( \matrix{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \right)$

что позволит нам далее работать с ним, как с комплексным числом.

Двухмерная радиальная координата

Определив $\vec{r}$ как вектор в псевдоевклидовом пространстве $( \rho, w)$ , мы определим базовые векторы пространства Минковского как векторы вещественной и мнимой осей.
Ось $\rho$ будет вещественной, её единичным вектором будет $\hat{h}$ .
Мнимой осью будет количество требуемого (изымаемого из наблюдаемого пространства) гравитацией движения объекта (как своего рода эвфемизм для $inline$ , ведь именно наличие энергии массы создаёт поле) — элементарной частицы или их совокупности — $inline$ . Для обозначения единичного вектора этой оси мы введём несколько необычное для мнимой единицы обозначение $\hat{v} = \sqrt{-1}$ , чтобы далее не путать со стандартным набором $\imath, \jmath, k$ мнимых единиц в кватернионе, с которым столкнёмся в третьей статье цикла.
Таким образом метрика нашего двухмерного подпространства, в которое раскладывается радиальная координата, получится:

$g_{\mu \nu} = \left( \matrix{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \right) = \left( \matrix{ \hat{h}^2 & 0 \\ 0 & \hat{v}^2 } \right)$

Тогда состояние поля, создаваемого некоторым массивным объектом, в любой точке расширенного таким образом пространства можно представить как разность квадратов расстояния до центра объекта в плоском 3-пространстве и некоторой «энергетической глубины», которую требует поле в виде своего рода контрибуции — движения, изымаемого из плоского наблюдаемого пространства, объекта, перемещающегося с наличием радиальной компоненты:

$\vec{r}^2 = g_{\mu \nu} \cdot x^\mu \cdot x^\nu = \vec{\rho}^2 + \vec{w}^2 = \hat{h}^2 \cdot \rho^2 + \hat{v}^2 \cdot w^2$

В представленном таким двухмерным образом подпространстве $( \rho, w )$ , мы можем описать произвольный вектор $\vec{r}$ через векторную сумму:

$\vec{r} = \vec{\rho} + \vec{w} = \hat{h} \cdot \rho + \hat{v} \cdot w$

что численно является эквивалентом комплексного числа, потому позволяет далее работать с вектором $\vec{r}$ , как с комплексным числом $r \in \mathbb{C}$ :

$\vec{ r } = \hat{ h } \cdot \rho + \hat{ v } \cdot w = |r| \cdot ( \hat{ h } \cdot \cos \alpha + \hat{ v } \cdot \sin \alpha) = |r| \cdot e^{ \hat{ v } \cdot \alpha } = e^{ x + \hat{ v } \cdot \alpha } = r$

с той лишь разницей, что скалярный квадрат вектора $\vec{r}$ будет ограничен действительной частью $r^2 = \rho^2 - w^2$ :

$\vec{r}^2 = (\hat{h} \cdot \rho + \hat{v} \cdot w)^2 = (|r| \cdot \hat{h} \cdot \cos \alpha + |r| \cdot \hat{v} \cdot \sin \alpha)^2 = \\ = |r|^2 \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = |r|^2 \cdot \cos 2\alpha = \Re(r^2)$

где $|r|^2 = \rho^2 + w^2$ — квадрат модуля $inline$ .
То есть он будет лишён мнимой составляющей, которая присутствует в общем случае:
$r^2 = |r|^2 \cdot e^{ 2 \hat{v} \alpha } = |r|^2 \cdot \cos 2\alpha + \color{red}{\hat{ h } \cdot \hat{ v } \cdot |r|^2 \cdot \sin 2\alpha}$ , потому что в метрике, предусматривающей $\hat{ h } \perp \hat{ v }$ , их скалярное произведение $\hat{ h } \cdot \hat{ v } = 0$ .
Таким образом, мы можем работать с вектором $\vec{ r }$ как с комплексным числом с условием исключения мнимой части его квадрата при переходе к подпространству, заданному метрикой.

Комплексное представление множителя в расширенном пространстве

Теперь проверим как изменится выражение множителя метрики Шварцшильда при переходе от определения $\vec{r}$ на евклидовой плоскости (в предыдущей статье) к $inline$ как комплексному числу перед переходом к псевдоевклидовой метрике $(\rho, w)$ :

$\begin{array}{rlcl} ] & \Xi & = & 1- 2 \cdot \frac{GE}{c^4 r}; \\ ] & \vec{u} & = & \frac{GE}{c^4} = e^{z_1} = e^{x_1 + \imath \alpha}, \ \vec{u}, z_1 \in \mathbb{C}; \\ ] & \vec{r} & = & e^{z_2} = e^{x_2 + \imath \alpha} = |r| \cdot e^{\imath \alpha}, \ \vec{r}, z_2 \in \mathbb{C}: \quad \Xi = 1 - 2 \cdot \frac{\vec{u}}{\vec{r}}; \\ & \Xi & = & 1 - 2 \cdot \frac{\vec{u}}{\vec{r}} + \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} = \left( \frac{\vec{r} - \vec{u}}{\vec{r}} \right)^2 - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} = \\ & & = & \left( \frac{\vec{r} - \vec{u}}{\vec{r}} \right)^2 + \frac{\vec{a}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{u}^2}{\vec{r}^2} - \frac{\vec{a}^2}{\vec{r}^2}, \quad \vec{a} \in \mathbb{C} : \\ ] & \Re(r) & = & ( \vec{r} - \vec{u} ) + \vec{a}; \\ ] & \Im(r) & = & (\vec{u} - \vec{a}) / \imath = - (\vec{u} - \vec{a}) \cdot \imath: \\ & \vec{r} & = & \Re(r) + \Im(r) \cdot \imath \\ \exists & e^{\imath \alpha}, \quad \vec{a} & \perp & \vec{r}: \\ & \Re^2(r) & = & ( \vec{r} - \vec{u} )^2 + \vec{a}^2; \\ & \Im^2(r) & = & - \vec{u}^2 - \vec{a}^2 : \\ & \Xi & = & \frac{\Re^2(r)}{\vec{r}^2} + \frac{\Im^2(r) }{ \vec{r}^2}; \\ ] & \vec{\rho} & = & \Re(r); \\ ] & \vec{w} & = & \Im(r): \\ & \Xi & = & (\vec{\rho}^2 + \vec{w}^2 ) / \vec{r}^2 = \\ & & = & |\vec{r}|^2 / \vec{r}^2 = \\ & & = & e^{-2 \alpha \imath} \end{array}$

Любую пару скалярных чисел $inline$ можно представить парой таких коллинеарных векторов $( \vec{r}; \vec{u} ) \in \mathbb{C}$ в псевдоевклидовой плоскости, чтобы угол поворота (кривизны) $\alpha = \mathtt{ Arg(\vec{r}) }$ задавал его действительную и мнимую части как обратные проекции векторов $(\vec{r} - \vec{u})$ и $\vec{u}$ на оси, соответственно.
Наглядно (показано в первом квадранте, для четвёртого — отрицательного угла $\alpha$ — естественно, тоже работает):

Переворот дополнительной оси $inline$ из действительного во мнимое пространство позволил нам выразить радиальную компоненту метрики Шварцшильда гораздо элегантнее:

$\frac { dr^2 }{ 1 - 2 \cdot \frac{ GE }{ c^4 \cdot r}} = e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 \rightarrow (1)$

Это, как минимум, красиво.

Время

Множитель темпоральной компоненты при переносе вектора $\vec{r}$ на псевдоевклидову плоскость «перевернулся», но для компоненты в целом это ничего не меняет — хоть аргумент стал отрицательным, $\cos$ — чётная функция.

$\begin{array}{ccl} e^{-2 \hat{v} \alpha } \cdot dt^2 & = & \left[ \hat{h} \cdot \cos (-\alpha) + \hat{v} \cdot \sin (-\alpha) \right]^2 \cdot dt^2 = \\ & = & \left[ \cos^2 \alpha + \hat{ v }^2 \cdot \sin^2 \alpha \right] \cdot dt^2 \end{array}$

Именно это свойство времени подспудно подтолкнуло меня к мысли о его абсолютности — как бы взаимно не располагались две другие части расширенной метрики, время объекта в континууме наблюдателя всегда меняется одинаково. Оно «тратится» на перемещение, в каком бы направлении не происходило движение, и как бы ни выражалось.
Подробнее об этом в третьей статье цикла.

Радиальная компонента

Очевидно, что $e^{ 2 \alpha \imath }$ — часть самого вектора $\vec{r} = |r| \cdot e^{ \alpha \imath }$ , тогда нам остаётся только дополнить её модулем $inline$ , чтобы сломать окончательно:

$(1) \rightarrow e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 = \frac{ |r|^2 \cdot e^{ 2 \alpha \imath } \cdot d\vec{r}^2 }{ |r|^2 } = \left( \frac{ \vec{r} \cdot d\vec{r} }{ |r| } \right)^2 \rightarrow (2)$

Для $\vec{r} = \hat{h} \cdot \rho + \hat{v} \cdot w$ верным будет $d\vec{r} = d(\hat{h} \cdot \rho + \hat{v} \cdot w) = \hat{h} \cdot d\rho + \hat{v} \cdot dw$ , тогда в общем случае:

$\vec{r} \cdot d\vec{r} = \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw + \color{red}{\hat{h} \cdot \hat{v} \cdot \rho \cdot dw + \hat{h} \cdot \hat{v} \cdot w \cdot d\rho}$

Но для используемой метрики, в частности:

$\vec{r} \cdot d\vec{r} = \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw$

Lавая возможность представить произведение множителя метрики Шварцшильда на радиальную компоненту, подстановкой:

$(2) \rightarrow \left( \frac{ \vec{r} \cdot d\vec{r} }{ |r| } \right)^2 = \left( \frac{ \hat{h}^2 \cdot \rho \cdot d\rho + \hat{v}^2 \cdot w \cdot dw }{ |r| } \right)^2 = \hat{h}^4 \cdot \cos^2 \alpha \cdot d\rho^2 + \hat{v}^4 \cdot \sin^2 \alpha \cdot dw^2$

И вот «энергоглубина», выделенная в отдельную координату $inline$ , изящно отвалилась «по шву» от плоского пространства.

Угловые координаты

Чтобы преобразовать угловые координаты, выразим квадрат вектора $\vec{r}$ с учётом поворота на угол кривизны:

$\begin{array}{ccl} \vec{r}^2 & = & \hat{h}^2 \cdot |r|^2 \cdot\cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot |r|^2 \cdot \sin^2 \alpha = \\ & = & ( \rho^2 + w^2 ) \cdot (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha - \rho^2 \cdot \sin^2 \alpha + w^2 \cdot \cos^2 \alpha = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha - \frac{ \rho^2 \cdot w^2 }{ |r|^2 } + \frac{ w^2 \cdot \rho^2 }{ |r|^2 } = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha - w^2 \cdot \sin^2 \alpha = \\ & = & \rho^2 \cdot \cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot w^2 \cdot \sin^2 \alpha \end{array}$

Преобразование интервала

Теперь мы можем разделить координаты во всём интервале полностью:

$\begin{array}{ccl} ds^2 & = & \left( 1 - \frac{ GE }{ \mathtt{ c }^4 r } \right) \cdot dt^2 - \left( 1 - \frac{ GE }{ \mathtt{ c }^4 r } \right)^{-1} \cdot dr^2 - r^2 \cdot d\theta^2 - r^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 - \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } - \\ & - & \color{green} { \cos^2 \alpha \cdot d\rho^2 - \cos^2 \alpha \cdot \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } - \\ & - & \color{blue}{ \sin^2 \alpha \cdot dw^2 + \sin^2 \alpha \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 } - \color{green} { \cos^2 \alpha \cdot \left[ d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\theta^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } - \\ & - & \color{red}{ \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{blue}{ \sin^2 \alpha \cdot \left[ - dw^2 + w^2 \cdot d\theta^2 + w^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } = \\ & = & \cos^2 \alpha \cdot \left[ \color{red}{ dt^2 } - \color{green} { d\rho^2 - \rho^2 \cdot d\theta^2 - \rho^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 } \right] - \\ & - & \sin^2\alpha \cdot \left[ \color{red}{ dt^2 } - \color{magenta}{ \hat{?}^2 } \color{blue}{ \cdot dw^2 - w^2 \cdot d\theta^2 - w^2 \cdot \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 } \right] \rightarrow ? \\ & \rightarrow & \cos^2 \alpha \cdot \color{green}{ ds_\rho^2 } - \sin^2 \alpha \cdot \color{blue}{ ds_w^2 } \end{array}$

Вот так поворот. Был бы, если бы не перевёрнутый знак перед $inline$ (маджента). Именно такая возможность представления формы метрики Шварцшильда не давала мне покоя, но почему возникает ошибка?
Как бы по-идиотски это не звучало, она возникает, потому что мы выносим не тот «минус один», который, будучи вынесенным, даст положительное значение при $inline$ , а тот, который оставит $inline$ отрицательным, как и оба других слагаемых угловых координат.
Для того, чтобы разобраться в этой математике, нам потребуется ввести дополнительный вектор $\hat{ u }^2 = -1, \ \hat{ u } \in \Im$ мнимой оси комплексного пространства, который задаёт 3-пространство относительно времени в стандартном интервале, например, в метрике Минковского:

$ds^2 = dx_0^2 + \hat{ u }^2 \cdot \left[ dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 \right]$

Тогда введённый ранее вектор $\hat{ v }^2 = -1, \hat{ v } \in \Im$ будет ему всегда перпендикулярен $\hat{ u } \perp \hat{ v }$ по определению.
Но, как известно, математики для двух мнимых осей нет, только для трёх, поэтому введём сразу ещё один базовый мнимый вектор $\hat{ w }^2 = -1, \hat{ w } \in \Im$ , и определим результаты взаимных операций над ними аналогично кватернионам:

$\hat{ u }^2 = \hat{ v }^2 = \hat{ w }^2 = \hat{ u } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ w } = -1, \\ \hat{ u } \cdot \hat{ v } = \hat{ w }, \ \hat{ v } \cdot \hat{ w } = \hat{ u }, \ \hat{ w } \cdot \hat{ u } = \hat{ v }, \\ \hat{ v } \cdot \hat{ u } = - \hat{ w }, \ \hat{ w } \cdot \hat{ v } = - \hat{ u }, \ \hat{ u } \cdot \hat{ w } = - \hat{ v }$

Тогда интервал метрики Шварцшильда с мнимыми векторами в явном виде будет:

$\begin{array}{ccl} ds^2 & = & \color{red}{ (\cos^2 \alpha + \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha ) \cdot dt^2 } + \\ & + & \color{green}{ \hat{u}^2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } + \\ & + & \color{blue}{\hat{u}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot \left( \hat{v}^4 \cdot dw^2 + \hat{ v }^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } = \\ & = & \color{red}{ \cos^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{green}{ \hat{u}^2 \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } + \\ & + & \color{red}{ \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot dt^2 } + \color{blue}{ \hat{u}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot \left( \hat{v}^4 \cdot dw^2 + \hat{ v }^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] \right) } = \\ & = & \cos^2 \alpha \cdot \color{green}{ ds_\rho^2 } + \\ & + & \sin^2 \alpha \cdot \color{magenta}{ \hat{ v }^2 } \cdot \left( \color{red}{ dt^2 } + \color{blue}{ (-\hat{ w })^2 \cdot dw^2 + (- \hat{ u })^2 \cdot w^2 \cdot \left[ d\theta^2 + \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 \right] } \right) \end{array}$

Можно менять направление тройки $\hat{ u } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ w } = -1 \rightarrow \hat{ w } \cdot \hat{ v } \cdot \hat{ u } = -1$ с левого на правое, можно выносить $\hat{ v }^2$ (маджента) направо — операции некоммутативны. Как ни крути, на языке кватернионов перед всеми пространственными слагаемыми в последней строке будет квадрат мнимого вектора.
Тогда, приняв, что $ds_\rho^2 = \hat{h}^2 \cdot dt^2 + \hat{u}^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\theta^2 + \rho^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 \right)^2$ — квадрат проекции вектора $d\vec{ s } \in \psi$ , принадлежащего расширенному комплексному пространству $\psi ( \hat{h}, \vec{r} (\hat{u}, \hat{v}, \hat{w}), \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^6 \ \dagger$ ), на условно плоское пространство наблюдателя $\psi_\rho ( \hat{h}, \hat{u}, \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^4$ , а $inline$ — по аналогии, квадрат проекции этого же вектора внутрь подпространства $\psi_w ( \hat{h}, \hat{v}, \hat{w}, \hat{\theta}, \hat{\phi} ) = \mathbb{R}^5$ , то движение объекта в гравитационном поле может быть представлено как чистый поворот:

$ds'^2 = \cos^2 \alpha \cdot ds_\rho^2 + \hat{v}^2 \cdot \sin^2 \alpha \cdot ds_w^2 = \left( e^{\hat{v} \alpha} \cdot d\vec{s} \right)^2 = \left( \mathbf{v} \cdot d\vec{s} \right)^2 \quad \quad (3)$

где $\mathbf{v} = e^{ \hat{v} \alpha } = \cos \alpha + \hat{v} \cdot \sin \alpha$ — ротор, нормализованный вектор поворота. Пока только как индуктивный эскиз — от частного к общему.
В третьей статье цикла я постараюсь обобщить модель интервала из тех черт, которые проступили по ходу проведённого изыскания, и других известных свойств явлений природы. Так, чтобы поворотами приводить интервал к известным частным случаям.
$\dagger$ — минимальное количество осей для формализации шесть: время $\hat{h}$ , трёхсоставная радиальная ось $\vec{r} ( \hat{ u }, \hat{ v }, \hat{ w } )$ , две угловые оси $\hat{ \theta }, \hat{ \phi }$ .
Простыми словами геометрия траектории объекта в сферически симметричном гравитационном поле может быть представлена как поворот четырёхмерного плоского (псевдоевклидова) пространства-времени относительно дополнительных, пятой и шестой мнимых осей.

Заключение

Сначала я подумал, что, возможно, если детально разобраться с единицами измерения угла кривизны $\alpha$ , расчёт относительных траекторий массивных тел через $inline$ стал бы гораздо проще и точнее. И к этому несомненно стоит вернуться.
Но, ввиду просматривающейся тенденции, я решил уделить время гораздо более интересному направлению развития теории:
1. Специальная теория относительности. Взаимное движение объектов разных кинетических энергий может быть представлено как движение в континуумах, повёрнутых друг относительно друга (буст).
2. Общая теория относительности. Решение Фридмана. Масштабный фактор расширения Вселенной может быть представлен как угол поворота относительно дополнительной, ненаблюдаемой оси.
3. Общая теория относительности. Решение Шварцшильда. Изменение интервала, соответствующее движению объекта в гравитационном поле, можно представить как поворот относительно дополнительных ненаблюдаемых осей.
Я подумал, что неплохо было бы составить мат. модель, которая обобщала бы все эти повороты. Подобная генерализация, впрессованная в контуры известных вакуумных решений и СТО, могла бы «случайно» наследовать ряд свойств необходимых, чтобы соответствовать и другим наблюдаемым физическим эффектам. Возможно, она позволила бы взглянуть под другим углом на многие известные явления природы, и дать им интерпретацию. Это, кроме того, что она позволила бы легко обсчитывать комбинированные движения как сумму поворотов. Да много чего ещё там вкусного может быть — дух захватывает от этой перспективы.
А с «Геометрическим представлением кривизны в метрике Шварцшильда» локально я вроде закончил.
Читателей очень прошу, кому не лень, проверить математику. Я её люблю, она взаимна, но она — царица, а я всего лишь человек — могу ошибаться.

Теги:

Хабы: