Комментарии 41
1. Статья не содержит очевидной дичи, но написана в «фрическом» стиле, что изрядно отталкивает читателя-математика. Решение тех или иных уравнений в элементарных функциях — это скорее счастливая случайность, а его отсутствие — печальная закономерность. Современная математика на 146% состоит из специальных функций, и это не проблема математики, это проблема несократимой сложности сущего. Появление «новой математики», в которой эта проблема исчезнет… ну, конечно, возможно теоретически. Но в эликсир бессмертия мне верится больше, продуктивнее заняться его поиском.
2. Тригонометрия — это уже очень давно не про геометрию и не про углы. Определение из учебника имеет скорее историческую ценность, опираться на него, чтобы вывести что-то содержательное — бесполезно.
Хотел в свою очередь обратить внимание на предложенную Вами премису:
Решение тех или иных уравнений в элементарных функциях — это скорее счастливая случайность, а его отсутствие — печальная закономерность.
Если её перевернуть, то вот что получается:
Решение тех или иных уравнений в элементарных функциях — это счастливая закономерность, а его отсутствие — это печальная случайность.
Обе премисы в общем-то соответствуют действительности, другое дело, что в наших повседневных задачах мы часто стакиваемся с ситуациями, когда аналитическое решение действительно не было получено из-за чего и складывается такое (возможно) когнитивное искажение.
Я думаю мы оба можем согласиться с тем, что аналитических решений различных задач на сегодняшний день существует бесконечное количество, также как и бесконечное количество задач не имеет такого решения. Другое дело, что мы не пытались оценить порядок этих бесконечностей, а потому в их сравнении полагаемся исключительно на наш повседневный опыт. Поэтому, точно также когда-то существовало бесконечное количество нерешаемых задач типа x^2 + 1 = 0. Но как только было придумано комплексное число, то эта бесконечность нерешаемых превратилась в бесконечность решенных задач. Я убеждён, что непредвзятый математический ум способен соорудить абстракцию, которой по зубам даже уравнения cos(x)=x. В конце концов, это пресловутое уравнение уж точно не выглядит сложным, если иметь ввиду интуитивное понимание сложности.
2. Тригонометрия — это уже очень давно не про геометрию и не про углы. Определение из учебника имеет скорее историческую ценность, опираться на него, чтобы вывести что-то содержательное — бесполезно.
За это замечание отдельно благодарю Вас. Но очень прошу, предложите ссылку на источник, где по Вашему приведено самое современное определение. Надеюсь в будущем я смогу написать статью исходя из этого нового.
Другое дело, что мы не пытались оценить порядок этих бесконечностей, а потому в их сравнении полагаемся исключительно на наш повседневный опыт.
Ну почему же не пытались? Множество аналитических формул в элементарных функциях — счётно и перечислимо, множество вычислимых функций — счётно, но уже неперечислимо, ну а множество произвольных функций из R в R — уже даже не счётно.
ну а множество произвольных функций из R в R — уже даже не счётно
Вы случайно не знаете как это можно доказать?
Мощность этого множества больше континуума. Что тут доказывать-то?
По первому пункту… Ваши игры с бесконечностями выдают плохое знакомство с матаном даже более чем вековой давности (Георг Кантор обнаружил существование разных типов бесконечностей где-то в тысяча девятьсот нулевых годах). Но бОльшая проблема в том, что это рассуждение не просто неверно — оно не имеет отношения к обсуждаемому вопросу. Задачи измеряются не количеством, а важностью, современностью и прочими метриками. Задачи, имеющие решение в элементарных функциях, по большей части были решены до того, как появился на свет мой прадед. Математики «выели» мягкие породы и приступили к хардкорному граниту.
Ваша «убеждённость», что «непредвзятый математический ум» способен то и сё, не основана ни на чём. Такие утверждения — это в любом случае гадание на кофейной гуще, однако если их высказывает человек, прекрасно знакомый с состоянием современной математики и отметившийся какими-то достижениями, к ним ещё можно прислушаться. Ваше же утверждение (с учётом его уверенного тона) является прекрасным примером эффекта Даннинга-Крюгера.
2. Синусы-косинусы определяются в матане через ряды, либо в комплане через экспоненту.
извините, а почему не решение уравнения:
f(x) = -f''(x)
f(0) = 1
У меня, как у человека на математику не забивавшего и даже интересовавшегося \ интересующегося, но всё-таки математического образования и соответствующего бэкграунда не имеющего сложилось мнение, что «базово» тригонометрические ф-ии это решения диф.уравнений.
Вы говорите, что «базово» тригонометрические ф-ии это разложение в ряд.
Почему?
Это, кстати, не так сложно.
Перепишем ОДУ второго порядка
f′′ = –f
в систему:
f′ = –g, g′ = f
и рассмотрим свойство выражения:
f² + g². Мы знаем только как меняется скорость наших функций f и g, так что давайте посмотрим на скорость изменения этой суммы:
(f² + g²)′ = 2ff′ – 2gg′ = –2fg + 2gf = 0.
Нулевая скорость изменения этих выражений говорит о том, что эта сумма является константой. Выбрав такие начальные условия, чтобы f(0) = 1, а g(0)=0 получаем, что эта константа равна единице.
Кроме того, можно показать, что что если какое-либо из решений системы имеет хотя бы один максимум, то обе эти функции должны иметь бесконечное множество минимумов и максимумов, причём экстремальное значение одной функции обязательно соответствует нулю другой.
Насчет современных определений синуса и косинуса. И ошибок в статье.
Во-первых, когда вы говорите про прямоугольные треугольники, вы говорите про прямые углы. Надо отметить, что прямость угла — это свойство метрики и расстояния, а не треугольника. Так что неверно рассматривать один и тот же треугольник в разных метриках (часть их которых для p < 1 метриками вовсе не являются) и считать для него косинусы и синусы.
У косинуса угла есть еще одно определение, которое гораздо лучше обобщается на случай других метрик (или, вообще говоря, норм, потому что определение угла между векторами есть смысл вводить только в нормированном пространстве). Итак, если у вас есть два вектора u и v, косинус угла между ними — это (u, v)/sqrt((u, u) * (v, v)). Где (u, v) — это скалярное произведение, связанное с вашей нормой следующим образом: норма вектора u — это sqrt((u, u)).
В пространствах l_p, которые обсуждаются в вашем посте, нет подходящего скалярного произведения, которое бы порождало исходную норму. Так что это просто бессмысленно с точки зрения математики вводить понятие угла между векторами.
На самом деле понятие угла или, если быть более точным, понятие ортогональности — это очень сильное ограничение на класс нормированных пространств. Оказывается, что такие понятия можно определять только на Гильбертовых и пред-Гильбертовых пространствах. И все они оказываются изометрически изоморфными друг другу, если у них совпадают размерности. Так что другого определения косинуса угла, кроме того, которое уже существует нет и стараться его придумать или обобщить нет смысла.
быстро поймёте, что предоставленных Вам школьных знаний явно не хватает
Я в школьное время любил читать справочник Бронштейна-Семендяева ).
На лабораторке по прикладной математике нам дали посчитать какие-то интегралы, мне было лениво писать программу интегрирования, я разложил в ряд, проинтегрировал ряд и сложил обратно, что было конечно читингом.
С уважаемым Sirionом по поводу фрического стиля не согласен — ИМХО нормальная популярная статья.
Лесенка расстояния Манхэттена, при бесконечно малых шагах, визуально прбилизится к прямой гипотенузы, но численно оно так же останется суммой по модулю, а не корню из двух квадратов… как после этого верить учителям?!: о)
Разгадка как раз в Вашем комментарии.
Так, что в метрике расстояния манхеттена не существует теоремы Пифагора. Как и прямоугольных треугольников и вообще углов.
В попытке решить его АНАЛИТИЧЕСКИ, то есть получить так называемое closed-form solution или ответ в виде конечной композиции чисел. Кстати, попробуйте сами! Потупив минут 15 над этим уравнением вы быстро поймёте, что предоставленных Вам школьных знаний явно не хватает (наверное) чтобы решить это уравнение, а сложные вышматовские штучки делают решение и вовсе недосягаемым.Ряды отменили что ли?
Неплохая статья, правда! Но, как любитель математики не могу не прокомментировать этот пассаж:
Однако я отношусь к той касте отбитых любителей математики, которые считают, что если такие чрезвычайно просто сформулированные задачи испытывают проблемы с решением, то у самой сути разработанной математики есть какие-то проблемы и их неплохо было бы решить (попутно разработав новый аппарат).
Проблемы с решением этой задачи кроются не столько в математике, сколько в формулировке самой задачи. Что такое "конечная форма" и "аналитическое решение"? В какой именно конечной форме ищется решение, в каком поле? И тут открывается классный путь в теорию полей и трансцедентных чисел, на мой взгляд, не менее увлекательный, чем экскурс по миру метрик!
Что же до "зависимости тригонометрических функций от метрики", соглашусь с комментарием выше: тригонометрические функции, синусы и косинусы, фундаментальнее геометрии, из которой они вышли. Они являются решением важных дифференциальных уравнений (линейных второго порядка), образуют ортонормированный басис в гильбертовом пространстве (поэтому работает преобразование Фурье), кроме того, внутренняя структура этих функций глубоко связана с группой, образуемой операцией умножения в поле комплексных чисел. А то, что через них напрямую выражаются отношения в прямоугольном треугольнике, является свойством Евклидовой геометрии, а это лишь одна из многообразия возможных геометрий.
Я пишу это не чтобы позанудствовать, а чтобы показать, сколько ещё интереснейших направлений исходит от этой задачи в различные области математики!
Логичное определение «угла» – длина (с учётом метрики) пути по единичной «окружности» от оси ординат.
А вот формулы приведения становятся неочевидными. Всё-таки евклидова метрика существенно отличается от прочих тем, как в ней осуществляются повороты.
Интересно, что позже я обнаружил, что это квадрат тангенса обычного угла.
Интересно, что позже я обнаружил, что это квадрат тангенса обычного угла.
А что тут интересного? Все 4 дополнительных треугольника на картинке подобны исходному, а значит их отношение катетов равно тангенсу. Чтобы "перейти" от d1 к d2, надо 2 раза сменить "малый" катет на "большой" — отсюда и квадрат.
Так вот, в обоих случаях получаем «длину окружности» 8 (как в военное время — пи может достигать четырёх :-D).
Для p=1 графики синуса и косинуса выглядят так \/\/\/\ (треугольный сигнал), тангенс, соответственно, состоит из кусков гипербол.
Для p=infinity графики квазисинуса и квазикосинуса тоже кусочно-линейные, но посложнее — трапецеидальный сигнал. Например, квазикосинус для аргумента от 0 до 1 равен 1, дальше от 1 до 3 линейно падает до -1, от 3 до 5 равен -1, от 5 до 7 линейно растёт до 1, от 7 до 8 равен 1, и далее по кругу. Как синусоида, нарисованная по границам и диагоналям клеточек в тетради. Квазитангенс визуально похож на обычный, но составлен из кусочков прямых и гипербол.
Интересно, кстати, посмотреть зависимость «длины окружности» от p. Лень брать бумажку, но подозреваю, что минимум будет для p=2.
~
«а что такое косинус?»Это, кстати, неплохой вопрос для выяснения уровня знания математики у собеседника. Или, более свободный вариант — «с чем у вас ассоциируется косинус»?
А статья оборвалась на самом интересном месте — что, собственно, следует из других вариантов косинусов.
Как видите, нормировку удалось найти, но для этого пришлось вспомнить азы дифференциальной геометрии.
Подпольная тригонометрия различных метрик