Открыть список
Как стать автором
Обновить

Комментарии 346

Теперь я понимаю отношение Альфреда Нобеля к математике.
Просто кривая статья, видать снова политика вмешалась. Я хорошо когда-то разбирался в этой теме, но из статьи сам бы в конец во всем запутался. Чтобы понять доказательство Геделя, нужно иметь небольшую культуру формальных логических рассуждений: остальное буде просто.
А есть нормальное объяснение? а то эта игра слов приводит к разочарованию.

Надо раскуривать мат. логику. Без хорошего математического аппарата и умения жонглировать аксиоматиками, это так и останется игрой слов.
К сожалению, не могу посоветовать конкретный учебник, но копать надо явно в эту сторону:)

я так понял, что это что-то типа рекурсивного парадокса есть утверждение А=«невозможно доказать невыводимость» и получается что невозможно доказать невыводимость А.
Есть такое объяснение (не совпадающее с оригинальным, если где-то нужно чуть подробнее описать — не стесняйтесь):
1. Задача остановки не разрешима. То есть нету алгоритма, который берет на вход описание алгоритма и отвечает на вопрос остановится он на пустом входе или нет. В самом деле, если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить «диагональную» функцию, которая с i-ой отличается на входе i.
2. Утверждение «алгоритм останавливается» формализуется в любой достаточно богатой системе (и это самая технически сложная часть, если использовать «минимальный необходимый» формализм, но если взять чуть более богатый, чем необходимый минимум, то это довольно просто).
3. Если есть перечислимая система аксиом, в которой были бы доказуемы все истинные утверждения этой модели, то проблема останова была бы разрешима. В самом деле — либо «эта программа останавливается на пустом входе», либо «эта программа не останавливается на пустом входе» — истинное утверждение. Если для любой программы доказуемо ровно одно из них — мы решили проблему остановки.

PS forany.xyz/a-227 — еще один достаточно хороший материал, лекция для старших школьников (кроме другой ссылки на Успенского, которую я дал ниже по дискуссии)
  1. Задача остановки не разрешима. То есть нету алгоритма, который берет на вход описание алгоритма и отвечает на вопрос остановится он на пустом входе или нет. В самом деле, если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить «диагональную» функцию, которая с i-ой отличается на входе i.

Вы не могли бы поподробнее по поводу невозможности алгоритма и диагональной функции? В русской вики-статье о проблеме остановки дано доказательство, но у меня сомнения в его корректности.

Да, конечно.

1. Заметим, что если умеем решать проблему остановки на пустом входе, то умеем решать на любом входе. В самом деле: пусть мы хотим узнать останавливается ли А на входе х. Рассмотрим композицию двух алгоритмов — один берет пустой вход и выдает х, а второй наш алгоритм А (который читает выход первого алгоритма и выдает то, что считает нужным выдать). Это композиция останавливается тогда и только тогда, когда останавливается А на входе х.
2. Построим диагональную всюду определенную функцию. f(A) = 1, если A не останавливается на входе А и f(A) = A(A) + 1, если останавливается.
Это какая-то вычислимая функция (если проблема остановки разрешима). Посмотрим на f(f) — это какое-то значение (так как функция всюду определенная), но если f(f) определено, то f(f) = f(f) + 1, а так не бывает.

Но ведь это доказывает несуществование только этой специально выбранной функции. Почему принимается, что анализатор должен быть именно таким и только таким?
Почему не принять за анализатор другую функцию, которая выдает 1 если алгоритм не останавливается и 0 в противном случае?

Я, вроде, нигде не пользовался явной формой анализатора.
Мне всего лишь было важно алгоритмически определить останавливается A(A) или нет.
Для Вашего анализатора алгоритм для f будет выглядеть вот так:
f(A):
Если Анализатор(А,А) = 1 { вернуть 1 }
Иначе { вернуть А(А) + 1 }
f(f) = f(f) + 1, а так не бывает.
конечно не бывает. у вас же f(f) = А(f) + 1, а не f(f) + 1.
Т.к. функция f — зацикливается сама на себе, то никакого противоречия нет.
конечно не бывает. у вас же f(f) = А(f) + 1, а не f(f) + 1.

f(A) = A(A) + 1, если подставить f в качестве аргумента: f(f) = f(f) + 1

если взять искомый оракул, и добавить ему зацикливание на самом себе, то никакого противоречия не будет.
если взять искомый оракул, и добавить ему зацикливание на самом себе, то никакого противоречия не будет.

Противоречие в том, что, согласно начальному предположению, никакого зацикливания нет. Но из того, что его нет, следует, что оно есть, т.к. f(f) = f(f) + 1 определенно зацикливается.

начальное положение относится к «оракулу на любых алгоритмах». Я же этот оракул модифицировал так, что мой оракул сам на себе выдает 1.
И этот оракул спокойно вашу задачу решает.
Если есть алгоритм, который решает проблему останова для всех программ кроме одной (как-то конкретно полученной из своего собственного кода?), то из него легко построить алгоритм, который решает проблему останова для всех возможных алгоритмов: достаточно проверять вход на равенство этому «exceptional» входу, если не равен вызывать ослабленный алгоритм проверки на остановку, если равен — давать ответ.
да я обеими руками за! Больше алгоритмов хороших и разных!
Так собственно предположив, что есть алгоритм, который решает проблему останова для почти всех программ (для всех кроме одной?) мы получили противоречие.
извините, но нет — противоречие получается только для алгоритма, который пытаются сделать самоприменимым.

По-простому: в брадобреях — никаких парадоксов нет, они просто работают. Но если поставить определенные условия, то возникнет "парадокс брадобрея. То что из наличия такого парадокса — ктото строит отрицание брадобреев, это довольно странное явление ИМХО…
Программы, которые что-то делают с программами (не обязательно только с собой, обычно со всеми программами) — это часть жизни.

Например, компиляторы или статические анализаторы — они ровно из этой серии.

Для доказательства неразрешимости проблемы останова используется приведение к противоречию, но парадоксов и противоречий в самой проблеме останова никаких нет.


Для любой машины Тьюринга, пытающейся решить проблему остановки (назовём её H), существуют программы, которые не останавливаются, но H не может доказать, что они не останавливаются, и не может доказать, что они останавливаются, и не может определить когда нужно прекратить попытки доказательства. Всё. Парадоксов тут нет. Просто существуют такие странные программы для машины Тьюринга.


И такие программы есть в явном виде. См. https://www.scottaaronson.com/blog/?p=2725


Машина Тьюринга, о которой там говорится, работает вечно (если теория SRP непротиворечива), но доказать или опровергнуть это невозможно, если исходить только из ZFC.

Эм, и что? Это никак не устраняет противоречие. Какая разница, как вы модифицировали оракул? Нам важен оригинальный, немодифицированный. Возможности его модификации никак и ни на что не влияют в доказательстве.

ну вы же модифицируете оригинальный оракул, почему остальным нельзя модифицировать и делать выводы на основании своих модификаций?

Так модифицируйте на здоровье. Важно, можно ли из существования такой модификации сделать какой-то вывод. Из существования вашей модификации никакой вывод не делается. А из существования оригинальной модификации делается вывод, что оракула не может существовать.
И наличие каких-либо других модификаций никак на этот результат не влияет — оракула не существует и существовать не может. Конец.


извините, но нет — противоречие получается только для алгоритма, который пытаются сделать самоприменимым.

Так если алгоритм, который решает проблему остановки, существует — то он гарантированно самоприменим, просто по определению. Если же он к себе неприменим — значит, он проблему остановки не решает.

единственного оракула которого не существует — самоприменимого.
Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.
Так смотрите — если есть программа, которая умеет решать проблему остановки для всех программ кроме одной, то можно построить программу, которая уже для всех-всех программ дает правильный ответ: если вход совпадает с исключительным входом — просто написать ответ, если вход не совпадает — воспользоваться оракулом.
и что из этого?
Парадоксами вы запретите только свою модификацию оракула, а не оригинал.
Я запрещаю оригинальному оракулу быть вычислимым.

Потому что если оригинальный оракул вычислим, то и модифицированный (в силу того, что модификация вычислимая) — тоже вычислим.

А модифицированный оракул уже никак не может быть вычислимым по обсужденным выше причинам.
стоп-стоп, модификацию вы сами сделали невычислимой (ну или у вас можно вычислять бесконечные циклы, я не знаю).

для примера:
1) вычислима ли f(х) = 1? да
2) вычислима ли g(х) = while(х < 1){x = f(x);}? да
3) вычислима ли h(х) = while(х < 1){x = f(x) — 1;} ??? ой

и теперь из невычислимости (3) вы делаете выводы об (1)
В каком именно переходе появляется невычислимость?

Рассмотрим функцию двух строк S(f, x) = 1, если f (точнее, программа записанная строкой f) останавливается на входной строке x, и 0 иначе.

Это тот самый оракул, невычислимость которого мы хотим доказать.
Пусть он вычислим.
Тогда функция g(f) = f(f) + 1, если S(f,f)=1 и 0 иначе — тоже вычислимая. Алгоритм ее вычисления (с использованием оракула) очень простой:
1. Вычисли S(f,f).
2. Если S(f,f) = 1, то вычисли f(f) и верни f(f) + 1 (поскольку S(f,f) = 1 это вычисление заканчивается)
3. Если S(f,f) = 0, то верни 0.

Если оракул вычислим, то g — это тоже вычислимая функция (еще и всюду определенная). Значит, F(g,g) = 1. И g(g) = g(g) + 1. Откуда получается противоречие.
а можно у вас спросить определение F(x,y)?
S(f,x) — вижу
g(f) — вижу
F(x,y) — не вижу…

UPD: Заранее скажу, что оракул выдает S(f, f) = 0
UPD2: причем всегда выдает 0, независимо от того, что там в реальности вычисляет f — считайте это такой хитрой оптимизацией его работы.
UPD3: для интереса можно усилить f: «S(f,f) всегда равно 0 ТОЛЬКО если внутри f есть вызовы функции S(x,y)»
Опечатался, S(g,g) должно быть.

Откуда такое странное ограничение на оракул?
На самом деле, даже S(x, 0) не вычислимая функция, как обсуждалось раньше.

Потому что пользуясь только ею (как функцией одного аргумента) можно построить полный S(x, y): рассмотрим алгоритм x' устроенный следующим образом — он игнорирует свой вход и запускает x на входе y. Очевидно, что S(x,y) = S(x', 0). Т.е. умея вычислять S(x', 0) мы умеем вычислять полный S.

Как вы определяете вот это "кроме себя"? Это любой алгоритм который не содержит вызовы к самому себе, т.е. какие-то обертки тоже нельзя? А если такой же алгоритм но модифицированный так, что это не влияет на результат? это уже другой?

так оракул же и определяет.
модифицировать вы его можете как угодно.
Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.

Уточню. Оракул — это черный ящик с магией внутри, который решает алгоритмически неразрешимую проблему. Например, оракул, решающий проблему остановки машин Тьюринга. Подать этот оракул на вход самому себе невозможно, потому что он принимает на вход машины Тьюринга, но сам машиной Тьюринга не является.


Существование такого оракула непротиворечиво, но неизвестно можно-ли реализовать его в нашей вселенной. Так что "Все остальные оракулы [...] существуют" означает существование в платоническом мире математических идей, а не в виде реального устройства.

Тогда, как я понимаю, мы приходим к Гёделю. Т.к. это и есть тот самый объект про который нельзя ничего доказать в рамках нашей теории.

единственного оракула которого не существует — самоприменимого.
Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.

Совсем нет. Тот факт, что программа не применяется к самой себе, сразу гарантирует, что она не применяется к огромному классу программ, с ней не совпадающих.


При этом определить применяется или нет — нельзя, это тоже алгоритмически неразрешимая задача. Соответственно, толку от такого оракула нет, он указанной задачи не решает.

я ребенку объяснял так:
берем листок в клетку, обводим квадрат 2х2 клетки.
Ставим в левом нижнем квадрате точку, из точки проводим три луча так, чтобы они пересекали остальные 3 квадрата.
Квадраты — это какие-то утверждения, лучи — это наши аксиомы и то что мы с их помощью можем доказать, а луч, пересекающий квдрат — значит «доказывает» это утверждение. (повторяю — это всё аналогия для младшего школьного возраста. Не пытайтесь применить в реальной математике :) )
Теперь смотрим — что у нас есть? В нашем квадрате 2х2 все утверждения «доказаны». Красота.
Также мы можем видеть, что куча других утверждений вне этого квадрата тоже могут быть «доказаны».
Обведем вокруг нашего квадрата квадрат 5х5. Мда, не во все клеточки этого квадрата попадают наши лучи — т.е. «существуют утверждения, про которые мы не можем доказать ни их ложь, ни их справедливость». Добавим лучей так, чтобы они проходили через эти квадраты. Снова будет красота.
Однако для квадрата 20х20 снова появятся «дырки»… в общем — я думаю не нужно быть семи пядей во лбу, чтобы понять, что какбы мы плотно не рисовали свои линии, если отойти достаточно далеко, то всегда найдется такая предательская клеточка, по которой наши линии не пройдут.
Вот Гедель это самое про аксиомы и доказал. Только строго математически.
Только бывают нетривиальные исчисления в которых все истины доказываются :)

Например, натуральные числа только с нулем и операцией +1, если я правильно помню, ровно такие.
Насколько я понимаю всё, что включает в себя арифметику Пеано (аксиоматика натуральных чисел) попадает под условия Геделя. И её полноту и непротиворечивость долго пытались доказать.

На самом деле достаточно даже более слабой арифметики Робинсона для неполноты.

Арифметику Пеано не полна, но это не значит, что нельзя доказать ее непротиворечивость используя при помощи большего набора аксиом, что в принципе и сделали с помощью теории множеств — iphras.ru/uplfile/logic/log08/Li8__Nagorniy.pdf
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Из более интересного такова арифметика Пресбургера, например. Или какая-нибудь QF-EUFLA.

Здравствуйте. А нет ли в условиях теорем скрытого условия о бесконечности и что делать, когда обнаружится, что Вселенная конечна и по границам и по времени существования и что ей правит Метапрограмма
Тогда это будет уже не важно.

Граница — это одна и та же определенность, соединяющая и разделяющая два нечто. Одно из этих нечто — Вселенная, а второе что? Это второе нечто также необходимо отнести к Вселенной, если последняя означает все, что нас окружает. А это значит, что границ у Вселенной нет.

Одно из этих нечто — Вселенная, а второе что?

А второе неопределяемое, у нас нет и не будет достаточной информации для размышления об этом, но в границах Вселенной все познаваемо, В Каббале, например, то что Вне обозначено приставкой Без, А любые границы-это форма содержания, Как тело человека, Вселенная и человек созданы на одних и тех же принципах. Условно говоря Гедель работает в рамках Евклида, а в замкнутой системе -его теоремы бессмысленны.

Есть очень неплохая книга: Гедель, Эшер, Бах. Там, в частности, рассматривается доказательство теоремы Геделя.
Не скажу, что очень просто, но, если захотеть, то, думаю, можно разобраться без математического образования.

Мягко говоря не очень простое. У меня образование техническое, я за эту книгу дважды брался, прочел, но так и не могу сказать что понял доказательство. Какое-то двойственное чувство, по отдельности отступления и диалоги понятны, но все вместе — никак.

Допустим, у нас есть некоторая формальная теория Т. Например, этой теорией может быть арифметика — т.е. объекты данной теории будут числами.
Далее допустим, что можно Т погрузить "саму в себя" — т.е. мы утверждения о Т и ее формулах кодируем объектами внутри самой Т. Характер кодировки при этом для нас не существенен — геделевская нумерация лишь один из возможных подходов. Важно лишь, что кодировка существует.


Теперь рассмотрим формулу "данная формула невыводима". Если такая формула в Т может быть построена — то, очевидно, эта формула будет искомой, т.к. ее выводимость либо выводимость ее отрицания приводит к противоречию.


Так вот, записать эту формулу напрямую в Т мы не можем, теория просто не имеет средств для того чтобы записать эту формулу вот в таком виде как есть. Правила, по которым строятся формулы теории, не позволяют самореференцию.
Тут-то нам на помощь и приходит наше "погружение"-кодировка. Мы рассматриваем все формулы Т с одной свободной переменной и и перенумеровываем их, т.о. каждойму числу ставится в соответствие формула, а каждой формуле — число. будем обозначать это как F(n) = x, где х — формула, а n — соответствующее число, при этом т.к. х имеет одну свободную переменную то мы можем записать подстановку как F(n)(k) = x(k), где k — некоторое число и x(k) — соответственно, уже замкнутая формула. Далее мы можем определить предикат P, который обозначает выводимость, и записать формулу ~P(F(n)(n)) (ака "формула F(n)(n) не является выводимой") — у этой формулы есть свободная переменная n, т.о. сама эта формула соответствует некоторому числу m, т.е.: F(m) = ~P(F(n)(n)), теперь мы просто подставляем в эту формулу m и получаем искомую замкнутую формулу, которой соответствует интерпретация "эта формула невыводима". Действительно, F(m)(m) = ~P(F(m)(m))

Т.е получается из любой формулы с свободным аргументом x(k) можно такое сконструировать?

Непротиворечивых арифметик можно создать бесконечно много, в них 2+2 может быть и 1, и 10, и рандом и вообще чего угодно и это корректно

Вопрос в том, а что там вообще происходит в вашей Вселенной с 2+2?
Если в Вашей Вселенной 2+2=4, то Вы делаете AriphmeticBuilder.setMainUniverceRule(«2+2=4»).build(); и получаете арифметику, которая работает с предметами в такое мире, где 2+2=4. В нашем мире вроде если к двум предметам положить ещё 2, то видно что предмета 4, так что можно пока так наблюдается использовать эти конфиги и этот экземпляр арифметики

Вот когда Вы ставите конфиг про 2+2=4 — это и есть аксиома в терминах математики, она просто настройка, связывающая эту матеметическую модель с Вселенной
Да есть. По крайней мере одно из них подробно изложено в книге «Введение в метаматематеку» Клини. Эта книга в мире считается классикой изложения геделевской конструкции, даже лучше, чем в оригинальной статье, потому что писалась намного позже и с доработками всех маститых логиков тех времен. У человека, закончившего вуз, займет 2 -3 месяца чтения по вечерам, но я предупреждаю: после вы уже никогда не станете прежними.
Если сделать много допущений и всё очень сильно упростить, то получится вот так:

Пусть у нас есть система, в которой есть утверждения, причём эти утверждения мы умеем записывать в виде чисел (сериализовывать), и они могут быть либо истинными, либо ложными, и зависят от входного аргумента (есть операция подстановки). Мы хотим доказать, что в рамках такой системы невозможно определить утверждение G(f, x), которая берёт утверждение f, и подставляя в него x «возвращает true», если f(x) выводится из наших аксиом, как true, и false, если f(x) выводится, как false.

Например, пусть у нас есть числа, которые мы умеем складывать и сравнивать. Тогда мы можем сформилировать утверждения f0 «x+1=1+x», f1 «x=0» и f2 «x+1=2+x». Тогда G(f0, 5) будет true, G(f1, 0) будет true, G(f1, 1) будет false, G(f2, 0) тоже будет false.

Теперь сформулируем утверждение H(f) как «NOT G(f, f)». Если попытаться вычислить G(H, H), то мы получим противоречие: G(H, H) = H(H) = NOT G(H, H).
Доказательство свелось к конструированию обобщённого парадокса «это утверждение ложно». Если это утверждение действительно ложно, то оно истинно, а если оно истинно, то оно ложно — парадокс. А для обобщения Гедель ввёл систему нумерации, чтобы можно было убедиться что подобных парадоксов можно вывести бесконечно много.
Доказательство свелось к конструированию обобщённого парадокса «это утверждение ложно».

Только не "это утверждение ложно", а "это утверждение невыводимо". Соответственно — если оно выводимо, то ложно, что противоречит корректности теории (можно вывести ложное утверждение). Если же оно невыводимо — то истинно, при этом мы и получаем истинное, но невыводимое утверждение. При этом парадокса никакого нет.

Да, спасибо за исправление, я увёл в сторону с парадоксом. Надо было сказать «по аналогии с парадоксом». Действительно, он доказывает что можно создать бесконечное количество невыводимых утверждений, а не парадоксальных.

Впрочем я думаю что и парадоксальных утверждений можно создать такое же точно бесконечное количество, как и невыводимых. :)

Почему теперь? И как относился Нобель к математике?

Относился не очень, и сознательно не включил математику в список дисциплин, за которые вручают премию имени его. По слухам, из-за того, что какой-то математик успешно приударил за Нобелевской женой.

Он не был женат :) И нет никаких свидетельств того, что он относился к математике "не очень".
Я задал вопрос dvserg скорее интересуясь, каким образом данная статья прояснила для него вопрос об отношении Альфреда Нобеля к математике.

Sergey_Kovalenko habr.com/ru/post/512518/#comment_21892222 примерно выразил мысль.
Математика хоть и царица наук, но периодически ее теории и выкладки вводят в замешательство ("Однако сказать, что „набор аксиом неполон“, это то же самое, что сказать „существует истинная формула, которую нельзя доказать“). Про А. Нобеля фраза носила скорее шутливый оттенок.

То, что математика вводит кого-то в замешательство, совершенно не пошатывает ее положение на "троне". Скажу больше: любая достаточно сложная теория вводит в замешательство большинство людей. И это свидетельствует не о слабости/недостатке теории, а скорее об ограниченных возможностях ее понимания для этого большинства.

И не все считают математику наукой. Есть второе название -инструмент.
Поясню. Некоторые считают что Наука:
1) Изучает то, что имеется в нашей Вселенной. То чего там нет, но хочется чтобы было (торсионные поля, к примеру) изучает паранаука.
2.) Результат научного исследования проверяем и повторяем.

И с первым, и со вторым в математике плохо. Со вторым -особенно.
А ещё некоторые считают, что математика — это язык. А наука от слова «научить». Так что противоречий нет.
Тоже неплохо.
Язык может быть инструментом. Противоречий нет
И с первым, и со вторым в математике плохо. Со вторым -особенно.

Что именно плохо в математике с проверяемостью и повторяемостью?
У вас результат умножения одних и тех же чисел каждый раз разный?

Я здесь оставлю habr.com/ru/post/511556

Если коротко, то математика стала настолько сложна, что истинность новых теоретических построений сложно проверить, если всего 2-3 человека в мире способны их понять. И у них нет ни времени, ни желания заниматься проверкой.

И получается, что истинность основана на честном слове автора.
В науке такое невозможно.

И обычно, в науке к результату можно прийти несколькими путями. В математике с эти сложно.
Кризис воспроизводимости (это как раз и «честное слово автора», и нежелание проверять чужие результаты) — не специфичен для математики, вроде бы.
Некоторые считают что Наука:
1) Изучает то, что имеется в нашей Вселенной. То чего там нет, но хочется чтобы было (торсионные поля, к примеру) изучает паранаука.

Не совсем. Наука — деятельность по выработке новых достоверных знаний о действительности. Действительность включает как вещи, так и идеи.
Говорить о торсионных полях как о чём-то существующем в физической реальности — неверно, т.к. объективно их нет. Рассуждать о них как о философском или, может быть, социологическом феномене — может быть наукой. Но не надо смешивать философию и физику.

Физика вполне может «изучать» вместо 3-мерного пространства 2- или 4-мерное. Сначала доказать, что в классической механике без ОТО ни тот, ни тот вариант Вселенной нам не подходит, т.к. антропный принцип рулит. Потом может внезапно выйдет, что в КМ тоже не подходит, но по полностью противоположной причине (пруфов не найду).
В математике есть куча теорем. В физике есть теоремы. И те, и те теоремы можно доказать.
А если разделы математики про свойство 12-мерного куба не имеют применения к физике или к моделированию экономики — может в 2100 году будет иметь.
А если разделы математики про свойство 12-мерного куба не имеют применения к физике или к моделированию экономики — может в 2100 году будет иметь.

В машинном обучении многомерные (сотни и тысячи измерений) пространства активно используются уже сейчас. Может, и какая-то теоремка про 12-мерный куб найдёт применение.

При желании в физике можно поставить задачу «взять интеграл по пространству размерности 6N», где N — число частиц в системе.
Отлично, а теперь давайте представим, что в физике доказательство сводится к заявлению -" Доказал, ошибок нет, мамой клянусь". Бред?
А для математики нормальная ситуация.
Как оно в нормальной физике, скажем классической.
Есть начальное состояние системы (x0,p0), есть конечное — (x1,p1). Есть принцип наименьшего действия, находим из него уравнение движения — в форме механики Лагранжа или Гамильтона.
А в квантовой у нас «начальное состояние системы» и конечное вообще не определены точно. Но если действие на траектории много больше постоянной Планка, то механика Гамильтона становится хорошим приближением нерелятивистской КМ. Также можно сказать, что классическая траектория является наиболее вероятной. Если Вы «кинете камень под углом к горизонту», то с вероятностью 99.9..9% все его атомы будут найдены в объеме «совокупность объемов камня на классической траектории + одна постоянная решетки от классического положения атомов камня».

Хотя для кого-то скажем кажется неправильной неопределенность без «скрытых параметров». И да, доказать основное уравнение КМ в принципе нельзя. Его результаты совпадают с экспериментом, дают создавать устройства с предсказуемыми параметрами. Уравнение имеет предел в виде классической механики, как ОТО имеет пределом гравитацию Ньютона. Но выводится путем некоторой специфической аналогии, ЕМНИП — с сохранением скобок Пуассона.
И да, доказать основное уравнение КМ в принципе нельзя.


Да хрен с ним, с доказательством на бумаге. Его можно проверить экспериментально. В том и суть, что в математике, в ряде случаев, не проверить никак, кроме как поверить автору на слово.
Ну вроде не совсем.
Есть проблема с тем, что не все и не всегда проверяют, но обычно (особенно если утверждение сильное) есть статья (или серия статей), в которой это утверждение доказывается.
И «мамой клянусь, правда» — это не доказательство.
в математике, в ряде случаев, не проверить никак, кроме как поверить автору на слово

Думаю это не совсем верно.
Если автор предоставил доказательство — то его можно проверить (при достаточном приложении усилий).
Если автор не предоставил доказательство, то все вытекающие заключения из этого утверждения считаем недоказанными.
Конечно можно строить теории на недоказанных утверждениях, но я не понимаю какой в этом смысл.
Если автор предоставил доказательство — то его можно проверить


Снова возвращаясь на круг — «если всего 2-3 человека в мире способны их понять. И у них нет ни времени, ни желания заниматься проверкой.»

Конечно можно строить теории на недоказанных утверждениях


Не «можно», а строят! Потому что выводы уж больно «вкусные».
И это тоже огромная проблема. И начинается цепочка. Если в первой работе укажут что использовались черновые/непроверенные/неопубликованные работы, то в работе основанной на выводах этой работы такой ссылки может и не быть. Что логично, так как работа, построенная на выводах непроверенной работы, сама по себе может быть полностью проверяемой.

если всего 2-3 человека в мире способны их понять


Вполне возможно. Вот пример статьи, про числа. И про 12-мерный куб. Правда там пункты вроде «Computer Proof of Lemma 2.2».
На самом деле, любую физ. теорию можно модифицировать путем введения параметра, который при стремлении к 0 или к бесконечности дает привычную нам мат. форму уравнений. Потом наблюдаемые данные говорят «этот параметр больше 40000». И второе следствие — «другой введенный в теорию параметр близок к единице и при этом является решением уравнения Лапласа».
жаль, что Нобель не был женат)
Будь он женат, денег на премию попросту бы не осталось — жена и наследники всё растащили бы…
Он почти ничего не включил в список дисциплин. Химию, физику и литературу, потому что сам увлекался этим при жизни, медицину и «за мир во всем мире», потому что гуманизм и вот это всё, ну и плюс влияние его зазнобы Берты фон Зуттнер.
Нобель целью премии объявил обеспечение талантливых молодых ученых хорошим лабораторным оборудованием.
Отсюда требования:
1.Награждать сразу (за выдающееся достижение года);
2.Сумма премии соответствующая стоимости лаборатории;
3.Номинации в науках, требующих экспериментальной базы.
Потому и не попала в список математика. Но принципы все равно не выполнялись. Большая часть премий присуждена за теоретические работы и спустя много лет после опубликования.
«8 (номер Гёделя для символа «левая кавычка»)»
Скорее это «левая скобка».

Напоминает математический ремикс парадокса всемогущества бога (парадокс камня).

Мне лично все доказательства от противного напоминают парадокс камня. Ещё со школы.
как ни странно, но парадокс камня отлично разрешается IMHO:
«в состоянии ли всемогущее божество сотворить камень, который оно не сможет поднять?»
Правильный ответ в _моей_ интерпретации:
действительно всемогущее божество, находясь на уровне всемогущества X, несомненно может сотворить такой камень.
в процессе творения данного предмета(либо сразу после его сотворения), божество перейдет из состояния X в состояние X+1, в котором этот камень может быть поднят.
но, поскольку в момент сотворения камня (в состоянии X) он еще не может быть поднят — парадокс разрешен.
Может ли всемогущее божество отменить все эти уровни всемогущества?

Может, но при этом оно перейдёт на следующий уровень всемогущества.

Может ли всемогущее божество отменить все эти уровни всемогущества?
Вот так вот мы все здесь и оказались)
Мне несколько интереснее вопрос «Может ли всемогущий Бог быстро сделать кого-то равным по силе себе?».
Только быстро и может, потому что в следующий момент перейдёт на следующий уровень всемогущества!
Я не имел в виду такую точность. Чтобы конкретно в этот момент от «экспы» бог «качнул уровень» и стал уже круче своего творения.
Все еще проще. Вот у нас есть куча камней, где камней бесконечность. Мы кинем в кучу еще один камень, станет ли куча больше?
Всемогущество абсолютно, у него нет уровней. Иначе это просто могущество.
бесконечность абсолютна, у неё нет уровней, а все эти (ах да, что вы там про алеф-нуль, алеф-один...?).
Это ортогонально рассматриваемой проблеме.
Может ли всемогущее божество сделать число пи равным четырём?
А пи для горбатых китов можно принять равным трём.
Да чему угодно! Главное, на нужный коэффициент домножить, чтобы результат с бухгалтерией сошёлся. :)
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
изменив метрику пространства — да.
Увы, но нет. Пи от кривизны пространства-времени и числа измерений не зависит. Это штука всё же поглубже, чем отношение длины окружности к диаметру.
Я разрешаю этот парадокс примерно таким же образом:
Всемогущее существо создает неподъемный камень, а потом просто придает себе способность поднимать такие неподъемные камни (действительно переходя на следующий уровень всемогущества)
если камень можно поднять, то он неподъёмным не является по определению.
А его нельзя поднять. А потом всемогущее существо берет и поднимает его
Сама возможность того, что кто-либо, пусть даже всемогущее существо, может поднять неподъёмный камень, создаёт противоречие. В этом и суть парадокса.
Если всемогущее существо подняло камень, значит камень неподъёмным не был.
Считаем операции не идемподентными и атомарными при этом. Парадокс с камнем разрешён!
как идемпотентность разрешает парадокс?
Камень во время создания поднять нельзя, а в дальнейшем — можно. (:
Ну значит это будет не неподъёмный камень, а камень который нельзя поднять во время создания, исходный парадокс это никак не разрешает.
Вы просто пытаетесь придать неподъёмному камню дополнительные свойства, чтобы разрешить парадокс, но парадокс в исходной формулировке это не решит.
sudo поднять камень
Biga is not in the sudoers file. This incident will be reported.
sudo: command not found
apt-get install sudo
Unable to lock the administration directory (...), are you root?

Дожили, уже без sudo не могут ничего поставить. Есть же su root!

Создание неподъёмного для себя камня означает что божество не является всемогущим. Это очевидный вывод.


Прибавив себе уровень "всемогущество+1" и подняв камень, божество покажет что создавало его не будучи всемогущим.


Так что от введения уровней всемогущества ничего не меняется.

Лично я считаю что само по себе наличие такого парадокса скорее связано с тем, что естественный язык позволяет такие конструкции, но не имеет никакого смысла при попытке что-то доказать от противного. К примеру, я могу написать «Фраза в кавычках в этом моём комментарии ложна», что является логическим парадоксом. Однако факт существования этого парадокса не заставляет исчезнуть написанную фразу в кавычках или весь комментарий, и меня в небытие тоже не отправляет.

Точно не отправляет? Тогда подозрительно, что это последний комментарий в вашем профиле.

Да, игра слов и понятий, в которой люди пытаются отыскать смысл и логические связи.
Здесь парадокс возникает от самоотнесения утверждений. Утверждения не должны утверждать что-то о себе ни напрямую, ни через другие утверждения, которые на него ссылаются.

"это утверждение истинно"


"это утверждение состоит из нескольких слов"

У меня как раз на эту тему был сделан интеллектуальный мультфильм, и я об этом написал статью: habr.com/ru/post/474426
Жаль, что отклик оказался слабый, непропорциональный моим затратам…
Так основной результат заключается в том, что доказуемость утверждения можно сформулировать в терминах самой арифметики, не выходя за ее примеры.

Один из частный случаев теоремы Геделя: есть диафантово уравнение (т.е. просто многочлен с целыми коэффициентами, даже не очень большой, можно явно написать все, кроме одной константы.), у которого нету корней (если арифметика Пеано непротиворечива), но доказать это (в рамках арифметики Пеано) невозможно.
Так основной результат заключается в том, что доказуемость утверждения можно сформулировать в терминах самой арифметики, не выходя за ее примеры.

Здесь вообще есть один тонкий момент — что значит "сформулировать в терминах самой арифметики". Мы устанавливаем определенное отношение между формулами теории и формулами метатеории — но штука в том, что никто не гарантирует корректности этого отношения (оно само по себе требует непротиворечивости метатеории).
По-этому, вообще говоря, как примеры теоремы Геделя можно осмысленно рассматривать только те утверждения, которые невыводимы при наличии аксиомы о непротиворечивости.

От увеличения аксиоматики (добавлении аксиомы о непротиворечивости) множество выводимых утверждений же только растет, разве нет?

Что вкладывается в «корректность» отношения?
Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.
От увеличения аксиоматики (добавлении аксиомы о непротиворечивости) множество выводимых утверждений же только растет, разве нет?

Ну да, растет. Я и говорю, что все те утверждения, которые "добавляются" при добавлении аксиомы непротиворечивости, не могут быть примерами теоремы Геделя, т.к. они выводятся метатеоретически — будучи истинными на какой-то содержательной интерпретации.


Что вкладывается в «корректность» отношения?

То, что отношение существует и обладает заданными свойствами. Оно ведь само является вполне конкретным математическим объектом — существование которого мы в метатеории и устанавливаем. Но если метатеория противоречива — то выводимость существования такого отношения не влечет, содержательно, истинность его существования..


Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.

Эм, нет, любая теория, в которой можно выразить Х, как минимум не слабее Х.

Дайте я начну с конца.

Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.


Эм, нет, любая теория, в которой можно выразить Х, как минимум не слабее Х.


Любая теория, в которой можно доказать Х, не слабее Х.
Но сформулировать, конечно, можно в более слабой.
Например, после того как мы вложили логику первого порядка в числа, можно сформулировать утверждение «2 + 2 = 5» (которое очень сильное).

Вся наша метатеория — она про то, «что такое доказательство» (с синтаксической точки зрения). Строки и числа можно сопоставить не изучая вопроса «какая аксиоматика поверх чисел».

Единственное тонкое место здесь — когда мы говорим, что «если теория непротиворечива, то нельзя получить доказательств ложных утверждений в этой теории». Но это утверждение — оно про корректность наших правил вывода, они опять не зависят от кодирования. Да, если мы в метатеорию добавим некорректное правило вывода — все сломается.

Собственно, да, все возмодные выражения можно разделить на 2 категории (в скобках примеры):


  • корректные ( 2 + 2 = 4 )
  • не корректные ( 2 = + )

Понятие истинности применимо лишь к корректным выражениям:


  • истина ( 2 + 2 = 4 )
  • ложь ( 2 + 2 = 5 )

А вот к не корректным понятие истинности вообще не применимо. При этом есть разные виды некорректных выражений:


  • синтаксически не корректные (2 = +)
  • семантически не корректные

Семантически не корректные можно разделить на:


  • самоотрицание ( это утверждение ложно ). Они не истинны и не ложны одновременно, а потому бессмысленны.
  • самоподтверждение ( это утверждение истинно ). Их можно считать и истинными, и ложными одновременно, а потому они тоже бессмысленны.

Объединяет эти два типа некорректных выражений самореференция. Соответственно, любые определения вводимые с помощью самореференции — не более чем софистика, а теоремы Гёделя и Кантора — математическая мастурбация.

Так не работает.

Давайте начнем с чего-нибудь простого: «утверждение 2+2 = 4 — истино» — это семантически корректное утверждение или нет?

А утверждение «среди утверждений длинны не более 5 слов есть ложные»?
Или утверждение «среди утверждений длинны не более 1000 слов есть истинные»

Прошу обратить внимание, что последнее утверждение — оно не выглядит саморефлексией, но, неожиданно, может рассматриваться как самоподтверждение.
Если система достаточно богатая, то это можно сформулировать формально.

Например, есть близкий аналог из теории вычислимости — теорема о неподвижной точке: для любого вычислимого преобразования алгоритмов (например, можно думать про программу, которая получает на вход корректный код на С, который читает строку на входе и что-то печатает, как результат, и дает на выходе код на С какой-то такой же программы) есть алгоритм, который не меняется этим алгоритмом (т.е. программа, полученная как результат, совпадает с программой на входе для любой строки-входа).
«утверждение 2+2 = 4 — истино» — это семантически корректное утверждение или нет?

Вполне.


последнее утверждение — оно не выглядит саморефлексией

Выглядит. Корректно оно может звучать так: «среди утверждений длинны не более 1000 слов кроме данного есть истинные»

То есть мы не признаем оригинальное утверждение истинным?

Тогда у нас есть проблема.
Рассмотрим следующие три утверждения:
1. «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
2. «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 1000 слов.»
3. «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

Какое из трех не является истинным?

Если мы все три объявляем истинными, то мы обязаны объявить истинным и утверждение «среди утверждений длинны не более 1000 слов есть истинные» (это просто синтаксическое следствие предыдущих трех).
«Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»

Истина.


«Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 1000 слов.»

Не корректное выражение.


«Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

Истина.

Каким образом первое самореферентное?
Оно само длинное, а утверждает что-то только про короткие утверждения.

Каким образом второе самореферентное?
Оно вообще про конкретные множества, а не про само утверждение или свою истинность. Или смущает, что оно само входит во второе из множеств, о которых утверждает? Давайте заменим 1000 на 11. Тогда оно уже слишком длинное, чтобы входить в него.

Откуда саморферентность в третьем? Оно опять про какие-то множества и подмножества и общее определение истинности.

Я поправил комментарий, сори.


Да, именно это и смущает. Давайте заменим, но что это даст?


Оно всё же про множества выражений. Но вот если убрать выражения и оставить только множества, то да, истина.

Да, хорошо, напишем 11.

Тогда у нас есть:
1. «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
2. «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 11 слов.»
3. «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

И все три мы считаем истинными.
Но тогда синтаксически (см. «modus ponens» или «силлогизм», что ближе) мы должны согласиться и с утверждением, которое из них троих следует:
«Среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные.»

Я тут подумал, что можно даже проще получить то же самое:
1. «2 + 2 = 4»
2. «Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).
мы должны согласиться и с утверждением, которое из них троих следует:
«Среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные.»

А так как мы получили самоотрицающее выражение, то доказали, что приведённые выше 3 утверждения противоречивы и требуют корректировки.


«Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).

Ну и, очевидно, это ложь, так как из одного не следует другого.

А так как мы получили самоотрицающее выражение, то доказали, что приведённые выше 3 утверждения противоречивы и требуют корректировки.


Мы же вот здесь договорились, что после замены на 11 все стало хорошо и ни одно из утверждений не является рефлексивным (а значит все три истины): habr.com/en/post/512518/?reply_to=21899626#comment_21899464

«Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).


Ну и, очевидно, это ложь, так как из одного не следует другого.


Это, очевидно, не ложь. Для того, чтобы импликация была ложью, необходимо, чтобы посылка была истина а следствие ложью. Максимум мы можем сказать, что это выражение целиком не имеет смысла (семантически некорректно), но уже не понятно почему — оно про себя точно ничего не утверждает.

Утверждение «если 2+2 = 4, то 3+3 = 6» — тоже истинное.
И даже «если 2+2 = 5, то 3+3 = 6» истина.

Ребят, в теореме Геделя ничего нет про истинность, там речь о выводимости. И та самая формула, которая невыводима вместе с отрицанием — одновременно и истинна и ложна (просто в разных интерпретациях). И там нет никакого парадокса и внутреннего противоречия.

У теоремы Геделя есть и семантическая версия: для любой эффективной аксиоматизации натуральных чисел есть формула, истинная в стандартной модели натуральных чисел, но не выводимая в этой аксиоматизации.
истинная в стандартной модели натуральных чисел, но не выводимая в этой аксиоматизации.

Только это формально бессмысленное утверждение, т.к. никто не знает, что такое "стандартная интерпретация" ;)


Правильно будет сказать, что оно истинно в какой-то интерпретации (если таковая в принципе существует — что не факт, конечно). А в какой-то другой — ложно. Именно потому и невыводимо (выводимость такой формулы нарушала бы soundness).

Не совсем согласен. Стандартная интерпретация натуральных чисел — это все-таки что-то достаточно понятное (и существующее, если ZFC непротиворечиво).
Хороший пример — это уравнения Матиясевича. Есть конкретное диафантово уравнение, у которого нету корней, но в стандартной арифметике Пеано этого доказать нельзя.
и существующее, если ZFC непротиворечиво

Не могу представить ситуацию, когда ряд 0, 1, 2, и т.д., полученный конечным числом применений +1 к 0 не существует. Могу представить, что он имеет свойства описываемые другим образом, если ZFC противоречива. Но, что не существует — не могу.

Не совсем согласен. Стандартная интерпретация натуральных чисел — это все-таки что-то достаточно понятное

Оно было бы понятное, если бы было конструктивное. Но тогда не было бы проблем с доказательством существования.


red75prim


Не могу представить ситуацию, когда ряд 0, 1, 2, и т.д., полученный конечным числом применений +1 к 0 не существует. Могу представить, что он имеет свойства описываемые другим образом, если ZFC противоречива. Но, что не существует — не могу.

Ну так с арифметикой Пресбургера и проблем нет.

Ну так с арифметикой Пресбургера и проблем нет.

То есть, если в ZFC проблемы обнаружатся, то таблица умножения исчезнет? Никуда натуральные числа не денутся и без ZFC. Окажется, что их неправильно описывали.

Может неожиданно выясниться, что нет принципа математической индукции.

Умножение на любое конкретное число в арифметики Пресбургера есть, нет умножения как операции двух аргументов.

Я тут подумал, понятие "выражение" самореферентно само по себе. То есть, какое бы мы выражение ни написали, оно будет подходить под это понятие. Соответственно, каждый раз, когда мы из одних выражений формируем новые, мы должны делать проверку на корректность, ибо на любом шаге можем случайно получить самореферентность. А это всё равно, что умножить обе стороны уравнения на 0.


Исправить это легко, уточнением формулировок:


  1. «Среди корректных утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
  2. «Множество корректных утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества корректных утверждений длины не более 11 слов.»
  3. «Если истинное утверждение (и, как следствие, корректное) содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»

Утверждение «если 2+2 = 4, то 3+3 = 6» — тоже истинное.
И даже «если 2+2 = 5, то 3+3 = 6» истина.

А это уже другая проблема математики: подмена причинно следственной связи на импликацию. Импликация ближе к корреляции.

Добавление еще одной сущности только усложняет рассуждения, а не упрощает.

Например, является ли корректным утверждение «среди корректных утверждений есть истинное»?

Нет. Если предположить, что оно корректное, то получаем самореферентность. Если предположить, что не корректное, то никаких выводов из него мы сделать не можем.


Это, кстати, ключевое отличие от понятия истинности, где из ложного утверждения можно делать выводы.

А почему собственно?
Если оно некорректно, то оно не является саморефлексевным (потому что утверждает что-то про множество корректных утверждений, в которое не входит).
А значит мы должны считать его корректным.
Вроде, у нас было два ограничения на корректность: «быть не саморефлексевным и касаться только корректных утверждений». Что я упускаю?

Я дописал, из некорректных утверждений нельзя сделать никаких выводов.

Мы же не пытаемся сделать какой-то вывод.
Мы же пока просто пытаемся понять является ли оно корректным, а не вывести из этого что-то.

Еще раз: Как выглядит ограничение на корректные утверждения?

Еще одна точка — «саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?
Мы же пока просто пытаемся понять является ли оно корректным

Корректным оно быть не может, значит не корректно.


«саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?

Вполне, оно же говорит про некорректные утверждения, что не мешает ему быть корректным.


А тут уже получаем самореферентность: "Корректные утверждения не саморефлективны."

«саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?

Вполне, оно же говорит про некорректные утверждения, что не мешает ему быть корректным.

А тут уже получаем самореферентность: «Корректные утверждения не саморефлективны.»

Тогда у нас есть беда: эти два утверждения эквивалентны (просто потому что «Все А есть не Б» и «Все Б есть не А» — это синтаксически одно и то же).

А вот семантически — нет.

Тогда у нас неправильный синтаксис, и его нужно ослаблять. Например, пойти по пути конструктивизма или, даже, исключения правила исключенного третьего.

Если нет корректности (т.е. синтаксически из верного утверждения можно сделать бессмысленное или неверное, делая только синтаксически-эквивалентные замены), то непонятно как вообще про какие-то доказательства можно говорить вообще.

Достаточно не использовать самореферентные термины, которые от подстановки могут менять свой смысл, и можно спокойно делать синтаксически эквивалентные преобразования без постоянной проверки корректности.

Мы же где-то чуть раньше обсуждали, что любое утверждение об утверждениях является потенциально самореферентным.

То есть мы запрещаем (фактически) все утверждения об утверждениях, это, конечно возможный способ решить проблему с самореферентностью.

Но тогда нужно запретить и утверждения про числа, например, — мы можем заменить утверждение его utf8 записью, которая является числом.

Не запрещаем, а требуем проверять корректность.


С числами всё нормально пока мы не начинаем впадать в софистику и заменять на числа сами утверждения об этих числах.

Мы же в интернете. Все утверждения — это просто числа (соответствующие utf8-строкам). В каком месте тут софистика?

Если мы запрещаем (без дополнительной проверки) синтаксический вывод — нужно границы явно провести, где синтаксически еще можно, а где уже нельзя.
И если мы добавляем семантическую проверку, то смысл синтаксического вывода во многом теряется — если есть семантическая проверка, то и истинность можно уж заодно проверить.

Ключевой момент в слове "соответствие". Как только вы сформулировали такое соответствие между описываемым и самим описанием вы получаете самореферентность. Для любых небесполезных суждений самореферентность не нужна. Дальнейшей софистикой, пожалуйста, занимайтесь без меня.

Да, интересно было бы посмотреть на конкретный пример недоказуемого высказывания, а не на факирское доказательство его чистого существования. Почему-то и Гёдель и Кантор в конце концов помешались. Первый страдал манией, что его хотят отравить, и поэтому брал еду только из рук жены. А, когда она умерла, он умер от истощения. Второй окончил жизнь в психбольнице с маниакально-депрессивным психозом, наверно, рассматривая пустые оболочки множеств…
Есть вторая теорема Геделя: в системе нельзя доказать ее непротиворечивость (это достаточно короткая формула, которую можно явно выписать).
В момент времени T1, когда камня ещё нет, божество очевидно всемогуще — потому что в этот момент ещё не существует таких камней, которые оно не смогло бы поднять.
В момент времени T2 неподъёмный камень сотворён, а божество перестаёт быть всемогущим, потому что в мире появился объект, который оно поднять не может.
Ответ: да, может, но сотворив такой камень оно немедленно лишится своего всемогущества.

Поддерживаю эту теорию. Задача сводится к вопросу "может ли всемогущее существо перестать быть всемогущим?". Очевидно, ответ "да", иначе оно изначально таковым не являлось. И этот ответ никакого парадокса не вызывает.

Это никак не решает проблему — такая придирка к словам устраняется небольшой переформулировкой. «Может ли всемогущее существо сотворить камень, который оно не может поднять, и одновременно остаться всемогущим?».

Тогда вопрос упрощается еще сильнее — "может ли существо одновременно быть и не быть всемогущим?"


¬P ∧ P → ⊥

или "может ли существо одновременно быть и не быть?"

Для даосов это вполне нормально.
Но ведь так задачу можно усложнять до бесконечности. Каждый раз, когда находится способ M справиться с задачей о камне, её можно переформулировать, добавив в конец фразу: «и при этом не использовать способ M».
Даже если так — раз существо всемогущее, то может справиться с любой постановкой задачи :)
Вот только человек далеко не всемогущ, и с каждой закрытой «дырой» М ему будет всё сложнее и сложнее придумывать новые способы. Тогда как дописывание в конец задачи одной и той же фразы мыслительных усилий не требует вовсе.
Наглядная аналогия: на поиск уязвимости в системе могут уйти месяцы упорного труда, а вот закрывается найденное в большинстве случаев чуть ли не с закрытыми глазами правкой пары строчек в исходнике.
Божество — вне времени! Оно — вечно.
Для всемогущего божества нет «до» и «после», оно всемогуще в любой точке времени и пространства.
парадокс камня отлично разрешается
Ваше решение основано на том, что можно рассматривать всемогущество в течении ограниченного периода времени. Однако из этого следует, что абсолютно всё, что угодно можно рассматривать всемогущим — до тех пор, пока оно не опровергнет своё всемогущество каким-либо деянием.

Отдельно можно рассмотреть вопрос, что значит «может/не может поднять». Это результат практического эксперимента или теоретического предположения? Если эксперимента — о'кей, давайте проверять. Если теоретического предположения — то каковы критерии его истинности?

Отдельно можно рассмотреть вопрос, есть ли разница между «не может» и «не хочет» и кто, собственно, эти хотения определяет.

Можно дать и другие «решения» этого парадокса — например, если сделать камень из вакуума, букв, идей и прочих объектов, к которым действие «поднять» неприменимо.
Бог всемогущ не потому, что может или не может что-то сделать. Природа Божества совсем отлична от нашей природы, и нами, не познаваема до конца. Бог всемогущь, поскольку, Его волю ничто и никто не ограничивает.

Бог, например, чтит свободу человека, и «не может» спасти человека, если не будет на то воля этого человека. Но, Он «не может», не потому, что Он не всемогущ, а потому что, нет на это Его воли. Его воля — чтить свободу человека.

«Слово крестное погибающим убо юродство есть, а спасаемым нам сила Божия есть (1 Кор. 1, 18). Ибо духовный востязует вся; душевен же человек не приемлет яже Духа (1 Кор. II, 15). Ибо оно есть безумие для тех, которые не с верою принимают и не с верою размышляют о благости и ВСЕМОГУЩЕСТВЕ Божием, но исследуют божественное при помощи человеческих и естественных рассуждений. Все же относящееся к Богу выше естества, слова и разумения. Ибо если кто станет рассуждать, каким образом Бог вывел все из небытия в бытие и ради чего, и захочет постигнуть это при помощи естественных рассуждений, тот не постигнет. Такое знание — душевное и бесовское. Если же кто, руководствуясь верою, станет размышлять о благости, всемогуществе, истине, мудрости и праведности Божиих, тот найдет все гладким и ровным и путь — прямым. Ибо без веры невозможно спастись. На вере основывается все, как человеческое, так и духовное. Ибо без веры и земледелец не проводит борозды земли, и купец не вверяет души своей малому древу на бурной глубине моря; без веры и браки не заключаются, и ничего другого в жизни не предпринимается. Верою уразумеваем, что все приведено из небытия в бытие силою Божиею; верою совершаем все, как божеские, так и человеческие дела. Вера, далее, есть согласие, без всякой придирчивой пытливости...»
ОК, моё решение: Может, но не будет:) Свобода воли у это существа есть? Есть. Может оно себя ограничить самостоятельно. Может. Но зачем ему это делать? Значит и камней таких нет, кто же ещё может их создать. Вот тебе и необходимость свободы воли и единственность этого всемогущего божества. «Все говорят, что пить нельзя, я говорю, что буду» Б.Г

Имхо, парадокс камня решается еще проще: берется любой камень и помещается в невесомость, где нет понятий «верх» и «низ», а стало быть, по определению невозможно что-либо поднять или опустить, независимо от уровня всемогущества..:)

Это фиксится просто. Если мы эти уровни назвали, то сможем сделать и неразрешимую задачу. Может ли всемогущее божество создать неподъемный камень и поднять его, оставаясь на одном уровне всемогущества?

Читал о схоластических спорах средневековья, теперь понял, что это такое)
Такой базар возникает, когда все «хотят вставить свои 5 коп.» Когда за дело берётся наука, схоластические споры средневековья разрешаются, иногда очень просто. Напр., спор о том, что было раньше: курица или яйцо? убедительно разрешён: ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_курицы_и_яйца
А ведь когда-то с пом. этого парадокса религиозные умы доказывали бытие бога.
Мне нравится такой ответ: «Раньше было всё: и куры и яйца!» :-)
А это божество почему переходит в состояние X+1? А если оно не захочет в него переходить, тогда что? И может ли это божество создать такой камень, который не сможет поднять (лучше, конечно, расколоть, чтобы не связываться с силой тяжести) на любых уровнях?

Этот парадокс показывает, что предположение о существовании всемогущества приводит к логическому противоречию. Это всё равно, что предположить существование непробиваемой брони и всепробивающего снаряда.

Это просто нарушение закона тождества. Субъект меняется между утверждениями.

я думаю проще рассуждать так
«Бог всемогущ»
«нет ничего чего бы бог не мог» -> «нет того что бог не может»
" 'неподнимаймого' камня быть не может"
Возможно среда в которой находится данный камень, не способна вместить такой размер камня, чтобы всемогущее божество не могло его поднять, то есть он может создать, но не существует такого количества вселенных которые смогли бы вместить данный камень.
Если камень создан в руке божества, то, формально, он его поднимал и не поднимал одновременно, разрешая парадокс.
(Резюмируя ветку) Теперь понятно, почему всемогущих существ не наблюдается. Если бы они были, их бы замучили подъёмом неприподъёмных камней! ))
Создал однажды бог камень, а он ему — как раз!..
Раньше всемогущие существа жили, но они все уже умерли (Маркс, Ленин, Сталин). Они пытались навести порядок в мире, построить коммунизм, но надорвались и померли. Так считают верные сталинцы.

Отсюда новая формулировка парадокса всемогущества: может ли всемогущее существо построить на всей Земле коммунистическое общество из ныне живущих людей и подобных им? :-)
Пусть боги стары и практически всесильны, но не они создавали наш мир. Титаны, порождение самого́ изначального хаоса, создали наш мир и самих богов. Как и любые неблагодарные дети, боги свергли титанов, убили, заточили или изгнали, и с тех пор титаны затаились и жаждут мести.
Пётр Бормор:

-Хорошо. Всемогущество — это способность творить всё, что угодно. Так?
-Вот именно,- кивнул Мазукта. Ключевое слово — «угодно». Угодно тебе сотворить камень — творишь камень. Не угодно его поднимать — не поднимаешь. Это и есть настоящее всемогущество.
Тут проблема в том, как человек сможет установить, что кто-то (напр., бог) всемогущ? Думаю, что никак.

Для начала можно попросить доказательство, что P != NP и попросить порешать NP-complete задачи для решения которых нужно больше ресурсов, чем есть в нашей вселенной. Потом попросить создать объект в форме четырёхугольного треугольника.

С пом. иллюзий всё можно доказать. Или дать 55 томов с доказательством: иди, разбирайся. Ну, или он может применить 3-ю степень устрашения… :-)
У всемогущего божества нет давлеющего аксиоматического базиса как у Геделя — он же альфа и омега. Парадокс есть, только если признать, что формальная логика могущественнее всемогущего бога. Но это не так, поэтому всемогущий бог МОЖЕТ запросто не подчиняться ей

Вопрос возник. В доказательстве используется теорема о единственности разложения на простые множители, которая сама по себе базируется на некоторых аксиомах. Т.е. данное доказательство теоремы о неполноте, по сути, является следствием тех самых аксиом, не более. Где гарантия, что выбрав другие аксиомы, все равно бы вышло доказательство теоремы? Получается как бы доказательство себя через само себя, что странно.

ЕМНИП, полная версия звучит как «любая система, ОСНОВАННАЯ НА ФОРМАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКЕ, неполна». Могут быть полные системы. И они даже наверное существуют. Но всё, что растёт из нашей «интуитивной» математики — неполно.
Не столько основанная, сколько содержащая.
Есть очень хорошее объяснение (почти на пальцах) от В.А. Успенского почему теорема Геделя о неполноте — это следствие неразрешимости проблемы остановки: www.mathnet.ru/links/81edd102bbff2a65a53c6dd27f387678/rm4322.pdf

Если упустить технические детали (в статье они есть), то идея примерно такая: если язык достаточно богатый (а стандартная арифметика — богатая), то можно сформулировать утверждение «алгоритм (в статье используется ассоциативное исчисление, но можно абсолютно так же использовать, например, машины Тьюринга) за один шаг может перейти из состояния А в состояние B.»

После этого можно сформулировать утверждение «Машина Тьюринга может (за несколько шагов) дойти до заключительного состояния (=остановиться), начиная с состояния А» (В этом месте появляется квантор по логу исполнения).

Ну и, наконец, осталось заметить, что если бы все истинные утверждения были бы доказуемы, то проблема остановки была бы разрешима — достаточно просто подождать, пока появится доказательство остановки или доказательство отрицания остановки.

А вот алгоритмическая неразрешимость проблема остановки — это уже диагональный метод в чистом виде.
Существуют утверждения которые невозможно формально доказать. Они результат обобщения опыта. Например, что скорость любого взаимодействия не может превышать скорость света. Оно выполняется пока не будет опровергнуто опытным путем. Собственно это и утверждают теоремы Геделя: математика не замкнута относительно практики. Часть ее утверждений имеет эмпирические происхождение. Хотя это не очевидно на первый взгляд. Математика формальная система, поэтому сама точно установила пределы своей применимости. Из этого вывод — в более общем информационном контексте, все формальные ограничения обходятся. В отношении теорема останова это значит, что любые круто зациклившиеся на компе программы, могут быть решительно прерваны вплоть до применения клавиш ресета или питания) Если такое не предусмотрено, то разработчик такой системы не был в курсе теоремы останова, и она может работать без останова)
Собственно это и утверждают теоремы Геделя: математика не замкнута относительно практики.

Нет, они утверждают совсем не это хотя бы потому, что там нет понятия практики.

что там нет понятия практики.
Тогда обоснуйте чисто математически происхождение чисел. Не надо говорить, что они просто заданы, и все. Есть более общий контекст в котором они возникают. Вот относительно этого контекста математика ничего сказать не может. Это предмет изучения когнитивных наук — откуда числа берутся. Это прослежено вплоть до активности нейронных структур в мозге, как людей, так и животных. Этот нейронный механизм неплохо ложится на множественное обоснование происхождения чисел. Дальше уже вступают в силу процедуры обобщения, и натягивания чисел на новые контексты, которые, опять-же, диктуются практическими соображениями. Все сказанное относится к основаниям геометрии и логики. Это объясняет универсальность и эффективность математических методов, и их ограничения тоже)

Когнитивные науки изучают не то, откуда берутся числа, а то, откуда у людей и других животных берётся навык работы с тем, что, по совпадению, называется числами (как там с когнитивными навыками обработки кватернионов, кстати, или какой-нибудь вообще свободной группы на бесконечном множестве?).


Чисто математически числа обосновывать не нужно. Это просто ещё один объект для рассмотрения, отчасти интересный потому, что натуральными числами можно считать камушки и палочки, и свойства, выполняемые для счёта камушков в природе, более-менее выполняются для чисел, но и всё.


Кривоватая аналогия, но всё же: требовать от математики обосновать происхождение чисел — это как требовать от физики обосновать нужность Стандартной Модели в народном хозяйстве и отношение среднего человека к ней.

Когнитивные науки изучают не то, откуда берутся числа, а то, откуда у людей и других животных берётся навык работы с тем, что, по совпадению, называется числами
Не… именно откуда числа берутся. А ваше утверждение, что они существуют сами по себе — только гипотеза.
как там с когнитивными навыками обработки кватернионов, кстати, или какой-нибудь вообще свободной группы на бесконечном множестве?
Сразу никак) А если последовательные контексты рассматривать, то пожалуйста.

Абстракция натурального числа и счета неоднократно обобщались в процессе расширения практики их применения по ходу развития цивилизации. Целые числа обобщение натуральных и отрицательных, с добавлением нуля. Натуральные числа, включая нуль, и счет возникли на основе чувства численности (первобытные камешки и отметки для учета), происхождение отрицательных чисел связано с обобщением натуральных, как долга, или недостачи. Рациональные числа, как обобщение отношений (долей в измерениях) натуральных чисел, иррациональные, как несоизмеримых долей, например, отрезков. Дальнейшее обобщение на вещественные числа, с геометрическим представлением на оси, далее комплексные числа (исходно, как обобщение решений алгебраических уравнений) с представлением на плоскости, комплексных на кватернионы, с представлением вращения тел в пространстве. Все эти эволюционно и исторически возникшие взаимосвязи в той, или иной степени «прошиты» в мозге, и каждый раз, в той, или иной форме воспроизводятся во время роста каждого ребенка, его воспитания и последующего обучения в учебных заведениях. Этот культурный слой обеспечивает достаточно единообразное понимание смысла и использования математических знаний, не исключая индивидуальных особенностей, кот. зачастую служат источником его дальнейшего развития. В настоящее время обобщению подвергается не только расширяющаяся практика применения математических знаний, но и сами математические структуры как таковые, вне видимой связи с практическими задачами. Но порожденные таким образом новые структуры будут полезны, если найдут практическое применение, как в хрестоматийном случае с неевклидовыми геометриями. Это же относится к свободным группам и бесконечным множествам)
требовать от математики обосновать происхождение чисел — это как требовать от физики обосновать нужность Стандартной Модели в народном хозяйстве и отношение среднего человека к ней.
Требуется-требуется такое обоснование… иначе не понять почему с помощью только мат. изысканий, типа теории струн, физическую теорию не построить. И откуда берутся ограничительные утверждения математики — теорема Геделя, и др. Что касается физики, то когнитивные исследования помогают понять почему не появляется теории кв. гравитации, или объединительная теория, хотя со времени создания последних успешных фундаментальных теорий — КТП и СМ прошло почти 50 лет. С чем могут быть связаны такие тормоза, и как их обойти.
И откуда берутся ограничительные утверждения математики — теорема Геделя, и др.

Теорема Геделя ничего не ограничивает. Она утверждает, всего лишь, что если у достаточно богатой теории есть модель, то у нее есть несколько моделей, которые не являются элементарно эквивалентными — т.е. можно найти формулу, которая будет ложна в одной модели и истинна в другой.

А вот интересно: у всех ли эти взаимосвязи прошиты в мозге? Где-то я читал, что какой-то путешественник наблюдал, как дикари какого-то племени подсчитывают предметы. Сначала загибаются пальцы на руках, потом на ногах, итого, можно сосчитать двадцать предметов. Для счёта большего числа предметов подзывается другой дикарь и пальцы загибаются на его конечностях.

У первобытных племён нет абстрактного мышления. Не знаю, как сейчас, но я читал, что на языке индейцев и австралийских аборигенов нельзя сказать «птица сидит на дереве». Надо обязательно назвать конкретную разновидность птицы и дерева. А слов «птица» и «дерево» в их языках нет.
Сначала загибаются пальцы на руках, потом на ногах
Интересно было-бы посмотреть, как они загибают пальцы на ногах) У аборигенов есть различные варианты счета, он всегда ограничен. Это связано с тем, что он базируется на чувстве численности, кот. человеку достался от предков, оно имеется и у животных. Но человек вербализовал его. При этом вы верно заметили, в некоторых случаях они не абстрагируют счет. Известны исследования когнитивистов на индейцах Мундуку из Амазонии, для численных оценок, геометрии и статистических оценок вероятностей на индейцах Майя. Естественно, все они не обладали каким-либо образованием. Только то что заложено в генах, и передано традициями культуры. Арифметика, геометрия и элементарная статистика происходят именно из этих нативных способностей. Успеваемость в школе по в математике значимо коррелируют с ними. Если интересно можете проверить свое чувство численности на этом ресурсе. Скорее всего вам это покажется забавой) Но приблизительно 5% процентов населения Земли полностью заваливает этот элементарный тест, из-за неразвитости этого чувства по разным причинам. Если область мозга, которая отвечает за это чувство повредить, то человек теряет способность понимать, что такое числа. Т.е. он будет наизусть знать таблицу умножения и сложения, но сложить 1+2 не сможет, потому что перестает понимать смысл чисел. Как и с любыми другими чувствами — если повредить область отвечающую за цвет, человек теряет способность к ощущению цвета, и тп.
Если область мозга, которая отвечает за это чувство повредить, то человек теряет способность понимать, что такое числа.

Ну, это прекрасно объясняется тем, что арифметические навыки аппроксимируются нейросетью мозга. Нет рабочей нейросети — нет навыков. Но это не свидетельствует о том, что откуда нейросеть мозга имеет арифметические навыки — из собственной структуры (заданной ДНК) или строит эту структуру при обучении в школе (что кажется мне более вероятным).

Кажется логично, но исследования показывают, что все несколько сложнее. Мозг пока не сводится к ИНС, хотя они неплохо моделирует его некоторые аспекты. Есть чувство численности, и структура отвечающая за него, эта структура начинает работать практически сразу после рождения. Опыты с младенцами в 6-8 месячном возрасте показывают, что они уже дискриминируют числеовые признаки. Это важно с точки зрения выживания, так же, например, как распознавание лиц. И есть абстракции чисел, счета, они складываются позже в результате обучения, на базе чувства численности. Условно, то что мы понимали интуитивно, как число 3 — 3 яблока, 3 игрушки, и отличали его от других чисел, отделилось от содержания и ассоциировалось со словом «три». Теперь об этом числе объектов можно говорить и думать отвлеченно. Это возникает к нескольким годам. В школе обучение арифметике, и тд, в ВУЗах — матану, и тд. Но все они завязаны на чувство численности по ассоциативным связям. В мозге абстрактные представления локализуются в другом месте. Т.е. в мозге есть два отдела отвечающие за числа — чувство численности, как интуитивного представления (еще лучше это представлять, как априорное знание в кантианском смысле, но это отдельная тема), эволюционно выработанного, так же, как цвета, так и за абстракции чисел и операций с ними, выработанных культурным развитием человека. На самом деле все несколько сложнее устроено, но суть передает. Исследования с нейровизуализацией показали, как взаимодействуют эти две области, когда мы оперируем числами. Если человек быстро оценивает численность, но не делает точного подсчета, то возбуждается только отдел ответственный за чувство численности. Мы можем, безо всякого счета, точно знать сколько яблок в куче, если их не более 3-4-х, и неплохо оценить приблизительно, если не более 30-40, для большего числа уже другой механизм действует — распознавание паттернов, и принять решение с учетом этого. Это все изучено на детях, взрослых и животных, с некоторыми нюансами, вдоль и поперек, миллион раз, разными исследователями. Но если человек начинает точно считать предметы наблюдая их, видит написанные числа, слышит числа, думает о числах, и тд, то сначала активируется отдел отвечающий за абстрактное представление чисел. А затем на автомате активируется отдел отвечающий за чувство численности. Вот такая неразрывная связь и ассиметрия. Если упрощая, то за понимание смысла чисел отвечает структура связанная с чувством численности, а абстракции это только своеобразные ссылки на нее. Для сложных мат. объектов это сложная ссылочная структура, часть которых также ссылается на эту область. По этой причине, приводил пример выше, люди с акалькулией не способны сложить или перемножить простые числа, хотя наизусть могут знать таблицу умножения и сложения. Эту связь также подтверждают исследования корреляций чувства численности с успеваемостью в школе, и достижениями в проф. деятельности, связанными с математикой. Чем у человека лучше развито чувство численности, а оно зависит от многих условий, от генетики, условий роста, воспитания, среды, и тд, как и любая другая способность, тем успехи лучше. Это доказано во многих исследованиях. Причем проводились возрастные исследования, начиная чуть-ли не с пеленок, как это чувство меняется и оказывает влияние на успехи в школе, и в проф. деятельности. На такие исследования выделяют какие-то деньги, т.к. в образовании, во всем мире, существует серьезная проблема с усвоением математического знания — синдром боязни математики, и тд. Поэтому пытаются понять откуда растут ноги)

Что касается моделирования с помощью ИНС, то они подтверждают исследования по чувству численности. Если взять сверточную сеть со структурой близкой к структуре вентрального пути зрительной системы, с которой связана область отвечающая за чувство численности, и обучить ее на изображениях с разными объектами, то в ней появляются нейроны, кот. спонтанно реагируют на число объектов в сценах. Безо всякого целенаправленного обучения распознаванию чисел и счету.
Если интересны подробности — могу привести ссылки на исследования.
Если интересны подробности — могу привести ссылки на исследования.

Приведите, если вас не затруднит.


Есть чувство численности, и структура отвечающая за него, эта структура начинает работать практически сразу после рождения. Опыты с младенцами в 6-8 месячном возрасте показывают, что они уже дискриминируют числовые признаки

Если взять сверточную сеть со структурой близкой к структуре вентрального пути зрительной системы, с которой связана область отвечающая за чувство численности, и обучить ее на изображениях с разными объектами, то в ней появляются нейроны, кот. спонтанно реагируют на число объектов в сценах.

Довольно интересно. То есть база, "чувство численности", определена структурой необученного мозга (т.е. кодируется в ДНК). Дальнейшее развитие математики — некое следствие этой базы. Но ведь чувство численности — это малая доля современной (да и не очень современной) математики… Интересно, могли ли наши предки выбрать другую математику, также основанную на этой базе. Также интересно, похожа ли математика условных инопланетян на нашу.

То есть база, "чувство численности", определена структурой необученного мозга (т.е. кодируется в ДНК)

Корреляция математических способностей и способностей оценивать количество говорит о том, что генетически задаются более общие механизмы. Если бы "чувство численности" задавалось отдельно, корреляции бы не было.


Интересно, могли ли наши предки выбрать другую математику, также основанную на этой базе. Также интересно, похожа ли математика условных инопланетян на нашу.

Вряд ли возможна какая-то другая математика. Иначе бы у предков или инопланетян расчеты не сходились бы с наблюдаемой реальностью.

Опыты с младенцами в 6-8 месячном возрасте показывают, что они уже дискриминируют числовые признаки.

6-8 месяцев получения зрительной информации более чем достаточно, чтобы получить статистику для различения ситуаций "1 объект", "2 объекта", "3 объекта", и соответственно реагирующие на эти ситуации нейроны.


со структурой близкой к структуре вентрального пути зрительной системы

Вы придаете этому слишком большое значение. Как вы себе представляете "структуру вентрального пути"?


"Вентральный путь начинается в зоне V1 и проходит через V2, но затем направляется через зрительную зону V4 к вентральной (нижней) части височной доли коры (англ. inferior temporal cortex). Вентральный путь (канал «что?») связан с процессом распознавания формы, представлением об объекте, а также с долговременной памятью."


Вентральный путь это просто описание движения информации. "Структура вентрального пути" состоит из 4 элементов. Это в принципе не может оказывать какого-то значительного влияния на результат. Не каждая система со структурой из 4 элементов может распознавать образы.
В обучении ИНС более важны приниципы работы каждого из элементов, то есть алгоритмы обучения и взаимодействия нейронов.
Второе предложение в цитате говорит о том, что любая нейросеть, которая распознает объекты и их форму, моделирует вентральный путь зрительной системы.


В исследованиях про ИНС, которые вы приводили в этом и этом комментарии, слово "ventral" встречается лишь пару раз в качестве отсылки к биологическим системам, а не в качестве ключевой характеристики нейросети.

Спасибо, посмотрю. Кстати, я вспомнил, что году в 2006 сделал на флэш арифметический тест «Always 100!» на чувство числа: имеется 10 рядов по 6 случайных цифр 0-9 в каждом. Между цифрами по выбору игрока можно ставить знаки +, -, * и: (только, если делится без остатка). Надо на скорость получить в результате 100 во всех 10-ти примерах. Хозяину сайта mathpuzzle.com Ed Pegg Jr. понравилось, и он в новостях дал ссылку. Ещё до этого 3 японца вытеснили всех из таблицы рекордов фантастическими результатами, лучший — 35 с. Я сначала подумал, что это какое-то читерство и не стал публиковать его в таблице рекородов, но этот японский студент написал мне письмо: почему не публикуете? Я спросил, как он этого достиг? Он ответил, что, пока подбирает операции в одной строке, смотрит на следующую. Мой рекорд был 4' 19". А года 3 назад я вдруг опять получил письмо от своего скрипта, что кто-то попал в таблицу рекордов. Я по его имени нашёл в Википедии, что это Yusnier Viera Romero — кубинский чудо-вычислитель и мировой рекордсмен, который живёт в США. Но его рекорд в моём тесте только 47".
Кстати, я вспомнил, что году в 2006 сделал на флэш арифметический тест «Always 100!» на чувство числа
Это не то. У вас числа, как абстракции. А чувство численности — это интуитивное знание. В тестах на него нет никаких чисел — обычно точки разных размеров, цвета, со случайным разбросом. Нужно сказать сколько там точек за короткое время предъявления, или сравнить два таких изображения, и сказать в котором больше. Эти картинки стандартизированы обычно, чтобы можно было сравнивать результаты разных исследований.
Все эти эволюционно и исторически возникшие взаимосвязи в той, или иной степени «прошиты» в мозге, и каждый раз, в той, или иной форме воспроизводятся во время роста каждого ребенка, его воспитания и последующего обучения в учебных заведениях.

Если бы навыки математики брались из структуры мозга, то, наверно, у детей знание матана возникало бы само, безо всякого изучения? Или вы имеете в виду сроки порядка столетий-тысячелетий, за которые дикари смогут развить матан?


Почему бы не придерживаться представления, что мозг как достаточно сложная нейронная сеть лишь обучается математике (как правилам рассуждений) либо на практике (статистика своего опыта), либо по учебникам (записанный чужой опыт)?


Это примерно как огородник, выкапывающий картошку. На первый взгляд (если вы первый раз это видите) может показаться, что картошка — продукт деятельности огородника, но мы-то знаем, что огородник не создаёт картошку, а лишь обеспечивает условия. ДНК огородника не содержит ДНК картошки!


Что касается физики, то когнитивные исследования помогают понять почему не появляется теории кв. гравитации, или объединительная теория, хотя со времени создания последних успешных фундаментальных теорий — КТП и СМ прошло почти 50 лет. С чем могут быть связаны такие тормоза, и как их обойти.

И почему же не появляется теория квантовой гравитации? Когнитивные исследования уже дали ответ на этот вопрос?
И ещё один вопрос напрашивается — как теория относительности появилась через 300 лет после законов Ньютона без помощи когнитивистики?

Простите, но вы сами себе противоречите, хотя, по-моему, не замечаете этого. К примеру, если существует «чувство численности», то это уже отношение «чувства» к тому, что существует вне его. Разве нет?
К тому же, из вашего текста следует (если я не ошибаюсь, конечно), что для возникновения числа необходимо «обобщение», а это само по себе предварительное условие, которое также требует изучения механизма и принципов своего осуществления.
Это прослежено вплоть до активности нейронных структур в мозге, как людей, так и животных. Этот нейронный механизм неплохо ложится на множественное обоснование происхождения чисел.

Нейронные механизмы людей, животных, или инопланетян не связаны с существованием чисел и закономерностям между ними. Они связаны только с происхождением нашей способности использовать числа. Теорема Пифагора верна для любых существ во Вселенной, и была верна до того, как Пифагор открыл эту закономерность. Для иноплатнетян квадрат гипотенузы всегда будет равен сумме квадратов катетов, даже если их строение значительно отличается от людей. Иначе они просто не смогут ничего построить.

Нейронные механизмы людей, животных, или инопланетян не связаны с существованием чисел
Животные и младенцы докладывали вам о числах, тем более инопланетяне)
Они связаны только с происхождением нашей способности использовать числа.
Наши математические способности связаны с чувством числа, а не наоборот
Теорема Пифагора верна для любых существ во Вселенной
Она не верна даже на Земле, если точно измерить длины сторон треугольника размером в несколько тысяч км. на ее поверхности. Пифагор был бы сильно удивлен такому результату)
Животные и младенцы докладывали вам о числах, тем более инопланетяне

Извините, я не вижу логической связи с процитированным. Формулируйте противоречие словами, пожалуйста.


Наши математические способности связаны с чувством числа, а не наоборот

"Связь" по определению двухстороннее понятие, если A связано с B, то B связано с A.
Даже если даже если предположить, что вы имеете в виду причину и следствие, я все равно не понимаю сути возражения. Формулируйте противоречие словами, пожалуйста.


Она не верна даже на Земле, если точно измерить длины сторон треугольника размером в несколько тысяч км. на ее поверхности

Не надо подменять понятия. Теорема Пифагора не говорит о треугольниках на поверхности Земли. И если вы не в курсе, в нашей физической реальности ничего нельзя измерить точно, всегда есть погрешность измерения. И на этот счет есть свои теоремы, которые показывают, как применять теоремы про идеальные числа к неидеальным результатам измерений.

Теорему Пифагора Пифагор узнал от египетских жрецов. А натуральный ряд чисел придумал древнеегип. гений с условным именем Тот. См. Доклад акад. В. И. Арнольда в Дубне: mccme.ru/free-books/arnold/VIA-schoolmath.pdf
Ну, не во всех же случаях… К примеру, если представить себе инопланетное существо на которое не действует гравитация и плотность которого позволяет ему свободно проницать любые объекты (вернее это существо даже не будет фиксировать их наличие), то у такого существа может и не быть представления о числах в нашем понимании.
Хотя, мое рассуждение верно только в том случае, если вы не вкладываете в понятие «существо» что-то определенное, отличное от «того-что-может-существовать».

У собак например представления о числах тоже нет. Но у них и математики нет. У такого существа она тоже вряд ли будет. Понимание той же теоремы Пифагора требует фиксировать наличие треугольника.

Т.е. «математика есть только у тех существ, у которых есть математика». Сложно не согласиться, однако Ваш довод косвенно подтверждает, что математики не существует «объективно», т.е. вне существ, которые предварительно приняли некоторые аксиомы (ну, хотя бы первоначальную аксиому о том, что существует тождество, хотя в пространстве/времени не может быть ничего тождественного).
Впрочем, мне кажется, что теорема Гёделя отчасти об этом.
то существует тождество, хотя в пространстве/времени не может быть ничего тождественного

Пространство-время математикой не занимается. А для целенаправленной деятельности просто необходимо выкидывать все несущественные свойства предметов. Так и получаются какие-нибудь "три стрелы", хотя количество волосков в оперении у них разное. И если выстрелить две, то останется одна, каким бы странным не был стрелок и стрелы.

«математика есть только у тех существ, у которых есть математика»

Не совсем. Если у существ есть математика, значит в ней есть числа, такие же как у нас, с теми же взаимосвязями. От нейронных структур это не зависит, а значит они не могут являться причиной появления чисел. Появление чисел идет из реальности, из существования объектов, которые можно разделить по некоторому признаку, то есть их будет несколько.

то у такого существа может и не быть представления о числах в нашем понимании.

Будет, почему же нет?

Ещё один вариант изложения теоремы о неполноте: в рамках системы формальных правил нельзя доказать ее полноту, так как для этого нужно проверить условие, выходящее за рамки заданной системы.

Проблема не в том, что условие выходит за рамки системы.

Наоборот, для достаточно богатой системы утверждение «это система непротиворечива» можно сформулировать внутри системы. И вторая теорема Геделя о неполноте как раз о том, что вот это самое утверждение либо недоказуемо, либо ложно.
Ух ты, как громко, «разгромили поиск математической теории всего». Я вот всегда считал, что теорема Гёделя про ограничения гильбертовской теории доказательств, а к той же теории моделей она имеет опосредованное отношение. Я ошибаюсь?
Собственно, ее сила в том, что она про все эффективно-аксиоматизируемые (т.е. те, у которых аксиомы можно перечислить) способы описания натуральных чисел. То есть, в тот момент, когда мы используем теорию моделей для доказательства каких-то утверждений про натуральные числа — мы натыкаемся на теорему Геделя: остаются утверждения про натуральные числа, которые истины (в стандартной интерпретации) но не доказуемы.
Возьмём теорию, в которой можно говорить о натуральных числах. Например, ZF (стандартную теорию множеств Цермело-Френкеля). Занумеруем формулы этой теории натуральными числами. Дальше, ловко применив диагональный метод, можно выписать формулу, утверждающую что-то о своём собственном номере. Например, пишем формулу «число 150 простое» и номер этой формулы оказывается как раз 150 (150 тут условно, какое именно число получится, зависит от построения). То есть, это формула как бы говорит «мой номер — простое число». Можно вместо натуральных чисел говорить о строках (во времена Гёделя это было не принято, потому что программирования не было). Тогда и нумеровать не надо, потому что формулы и так уже строки. Тогда можно построить формулу, утверждающую что-то о себе самой (например «в результате подстановки такой-то строки в такую-то вместо такой-то буквы получается строка такой-то длины» и если проделать эту подстановку, то получается как раз сама эта формула. То есть, она утверждает «моя длина такая-то»). Дальше, легко определить множество формул, доказуемых (или «выводимых») в ZF. Это все формулы, которые можно получить из аксиом, применяя некоторые простые правила («правила вывода» вроде Modus ponens). Итого, мы пишем формулу ZF с одним параметром-строкой, утверждающую «строка выводима». Дальше строим формулу, утверждающую «я невыводима в ZF». Если эта формула выводима, то по смыслу получаем противоречие (она утверждает, что её вывести нельзя, а мы вывели). Немного потрудившись, в этом случае можно получить и формальное противоречие в ZF. Если она невыводима, то истинна по смыслу (она как раз утверждает, что её вывести нельзя). Таким образом, или ZF противоречива, или в ней есть невыводимая, но содержательно истинная формула. Всё это применимо и к гораздо более слабым теориям (чем ZF), лишь бы можно было говорить про строки и подстановку строк друг в друга.
Есть задача «написать программу, печатающую свой собственный текст», решается подстановкой чего-то куда-то. Вот именно это и проделал Гёдель. Если можно говорить о строках и подстановке, можно выписать формулу, утверждающую что-то наперёд заданное о себе самой.
Если кто-то не видел, рекомендую Мэттью Паркера с «формулой всего»: youtu.be/_LXrtnYKPVc. Наверное её можно использовать для пояснения теоремы Гёделя.

Посмотрев ролик, я как раз в конце разочаровался в этой формуле: она принимает на вход число и просто заполняет прямоугольную область пикселями в соответствии с этим числом. Т.е. фактически принимает на вход произвольную закодированную пиксельную матрицу-картинку и делает раскодировку. Так можно закодировать произвольную картинку. Они закодировали текст самой формулы и хлопают в ладоши от восторга.
На самом деле данная формула там не необходима — можно взять произвольную формулу задающую биективное отображение, закодировать картинку с текстом этой формулы, скормить число (код картинки) формуле, увидеть эту картинку с текстом и радоваться. А можно еще проще — просто принимать на вход битовый вектор и напрямую мапить биты в пиксели.
Данная формула просто перекручивает этот маппинг, чтобы запутать и создать иллюзию магии — не более того.

Я заметил интересную особенность: Гёдель доказал теорему о неполноте и умер от недоедания. :-)
А есть какое то практическое применение данных знаний?
Это математическая теорема о математических теориях.
Естественные науки используют математические теории для своих нужд. Но уже давно не «заказывают музыку».
После того как игра ума математиков в комплексные числа вдруг оказалась крайне удобным инструментов электротехников, все смирились с тем, что математики творят, что им вздумается, а уже дело естественников искать в куче натворенного полезное для себя.
А можно ли считать доказательством тот факт, что вся математика у нас лишь в головах, и имеет отдалённое отношение к реальности, так как наше сознание ограниченно? Все формулы, цифры, правила, законы и тд существуют лишь в голове. Да, наше представление может как-то отображаться в реальности, но фактически, если смотреть честно, то всё это добро живёт лишь в нашем воображении и реальности как-то всё равно какими знаками мы её описываем) Соответственно, так как наше мышление ограничено, то и «наша» математика не может быть полной
Если бы ваше сознание было не ограничено, то оно слилось бы с реальностью и вы не смогли отличить реальность от своего сознания. То, что сознание существует отдельно от реальности позволяет построить отношение одного к другому и изучать оба-два.
Хорошее замечание) Факт, что сознание не в полной мере сливается с реальностью намекает что и любой набор аксиом предложенный этим сознанием для описания реальности будет неполный, верно?
А полный набор аксиом от неполного (в отношении описания реальности) чем будет отличаться? :)
Это доказательство приведено в Пенроузовских книгах о разуме. Единственное, что меня в них смущает — вторая подстановка, когда алгоритм, требующий наличия входного параметра передают как параметр алгоритму, не пекредав ему самому при этом необходимый параметр, получая таким образом конструкцию теперь уже параметров не требующую. Если это перевести на человеческий язык получается простое и ясное суждение, аннулирующее всё доказательство. В терминах проблемы остановки (тождественной) звучать будет как:

Алгоритм отвечающий на вопрос, остановится ли передающийся ему алгоритм не может сказать остановится ли алгоритм определяющий остановится ли другой алгоритм, если неизвестно какой именно алгоритм ему будет передан.

Всё. Рекурсия разваливается, никакого Гёделя.

Поскольку все математики за 90 лет не могли этого не заметить, значит я чего-то не понимаю. И единственное чего я не знаю — чего именно я тут не понимаю. :(
На языке «проблемы остановки» утверждение должно звучать так: не существует алгоритма, который берет другой алгоритм (то есть преобразователь из строки в строку) и определяет остановится этот алгоритм на себе самом или нет.

Если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить диагональную функцию: она на входе f смотрит на то, останавливается ли f(f), если не останавливается — возвращает 0, если останавливается — возвращает f(f) + 1.
Чуть подробнее вот тут: habr.com/en/post/512518/#comment_21901770
Если бы такой алгоритм существовал..

… то на таком алгоритме он выбрасывал бы исключение.

В каких случаях он выбрасывал бы исключение?
Если на вход подано что?

На вход передан не корректных код.

Почему?

На вход поданы два аргумента — код программы и строка, на которой нужно предсказать остановку.
Какой из входных параметров некорректен?

Алгоритм, который выводит результат своей работы из… результата своей работы.

Антивирусом, например, можно проверить антивирус. И это, вроде, вполне нормальное действие.
Или, даже, скомпилировать gcc с помощью gcc.

Что именно не так?

Ни антивирус, ни gcc не занимаются самоотрицанием.

Так этот алгоритм тоже самоотрицанием не занимается.

Представьте, что это еще одна диагностика компилятора «программа, которую вы пытаетесь скомпилировать, никогда не остановится (для простоты давайте считать, что она не должна читать ничего с входа, только что-то напечатать на выход и сразу после печати остановиться)».
Между прочим, очень полезная диагностика.

Теорема о неразрешимости проблемы остановки говорит, что как бы мы эту диагностику не реализовали, есть такой код, на котором эта диагностика ошибается (либо ругается на программу, которая останавливается, либо пропускает программу, которая на самом деле зацикливается).

Алгоритм, используемый для "доказательства" теоремы как раз именно этим и занимается. Именно поэтому такой алгоритм должен вызывать ошибку "этот алгоритм не корректен", а не сообщение "этот алгоритм корректен и останавливается" или "этот алгоритм корректен и не останавливается".

В каком именно месте алгоритм оказывается некорректным?

Мы же не объявляем gcc некоректным, только потому, что он может скомпилировать сам себя?

Рассмотрим чуть более сложную диагностику — пусть эта диагностика берет на вход код программы (которая уже читает максимум одну строку на вход) и тестовый вход. А на выходе должна сказать останавливается эта программа на этом входе или нет.
Эта диагностика еще корректна, или уже нет?

Если улучшенная диагностика корректная (и есть алгоритм, который ее выполняет), то можно написать следующую программу:
прочитай вход
вызови улучшенную диагностику, интерпретируя свой вход и как алгоритм, и как его вход.
Если улучшенная диагностика сказала, что алгоритм остановится, то вызови этот алгоритм, дождись результата, припеши к результату 1.
Если улучшенная диагностика сказала, что алгоритм не остановится — напиши «алгоритм не останавливается» и закончи работать.
Этот алгоритм уже не корректен? В каком месте?

Если в результате компиляции самого себя он будет каждый раз давать разные результаты, то это не корректный компилятор.


Этот алгоритм не корректен вцелом, а не в каком-то месте. Вы получили уроборос и спрашиваете, где у него начало. Нет у него ни начала, ни конца. Он противоречивый сам по себе.

Он не противоречивый сам по себе.
Он просто делает не то, что должен был бы делать (потому что если бы делал — то не мог бы).
Из этого и получается, что диагностика «никогда не останавливается на своем входе» не реализуема никаким алгоритмом.
Этот алгоритм не корректен вцелом, а не в каком-то месте. Вы получили уроборос и спрашиваете, где у него начало. Нет у него ни начала, ни конца. Он противоречивый сам по себе.

Так в этом и смысл доказательства — если предположить, что такой алгоритм существует, то мы приходим к противоречию. Следовательно — его не существует.

Там два предположения:


  • что алгоритм корректный
  • что алгоритм останавливается на любом входе

Доказательство от противного работает только при единственном предположении.

Там одно предположение — алгоритм существует.


что алгоритм корректный

Что значит "некорректный" алгоритм?

Код, который невозможно выполнить.

Что значит «невозможно» в этом контексте?
Компьютер, который выполняет этот код, растворится в воздухе в процессе?
Откуда он может появиться?
У нас же простой вычислитель, у которого не может быть проблем ни с памятью (она вся инициализирована нулями и позволяет любую адресацию), ни с вычислениями (из любого состояния написано куда переходить в зависимости от того, что находится в той ячейки памяти, которую он сейчас читает).
Максимум он может никогда не остановиться, но это не fatal error.

Это один из нормальных сценариев завершения.

Ну-ну, пойтуть эте выполт алнипробог оритм.

Так это набор букв, а не алгоритм.
Не всякий набор букв является алгоритмом.
Но когда мы говорим «существует алгоритм делающий что-то» — мы имеем в виду «есть такой набор букв, являющийся алгоритмом, что если его исполнить что-то будет сделано».

Ну вот и "набор букв" эффективно ссылающийся на результат своей работы — это тоже "не алгоритм".

В каком смысле ссылающийся?
Компилятор, который себя может скомпилировать ссылается на себя или нет?
Или программа на C, печатающая свой собственный текст?

Если одно число на вход подаём — алгоритм, а другое — уже не алгоритм? Это не соответствует определению алгоритма. Можете назвать это nin-алгоритмом.

Я не проследил, это контр пример к какой фразе?
Это же одно и то же предположение.
Предположение "Алгоритм с заданной областью значений существует" уже предполагает что он не выдает fatal eror или другой мусор.

Любой «Error» нужно покрыть «try...catch» и иметь хотя бы какой-то return.
Если в результате компиляции самого себя он будет каждый раз давать разные результаты, то это не корректный компилятор.

так и есть, т.к. есть например рандомизация адресов. Вообще две разные программы могут работать одинаково для всех входов.

Самовыпиливанием как-то раз занялся Live CD от AVG — нашел вирусы в своих базах (то есть у установленного на компе) и удалил.
Но тут есть две большие разницы. Найти что система аксиом в принципе не полна. И найти конкретную гипотезу которое, широко известна в математике и доказать, что она недоказуема.
Мне показалось, что я продрался через словесные дебри, однако один момент остался не ясен:
«тем не менее, мы определённо можем перевести наше метаматематическое утверждение, „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“, в формулу с уникальным номером Гёделя.»
Если я правильно понял, чтобы формула имела номер Гёделя, одна должна быть записана через 12 элементарных символов из таблицы.
Действительно ли утверждение „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“ может быть выражена в виде формулы через эти 12 табличных символов?
Можно ли это доказать, и как она будет выглядеть, кто-нибудь знает?
Действительно ли утверждение „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“ может быть выражена в виде формулы через эти 12 табличных символов?

Это делается, по факту, в два шага. Сперва мы берем формулу Х и переводим ее в номер sub(y, y, 17). Теперь утверждение о формуле с номером sub(y, y, 17) заменяется утверждением о самом номере, т.е. о некотором натуральном числе. А любое утверждение о натуральном числе — является арифметической формулой, у которой, в свою очередь, гарантированно есть свой номер (то, что мы можем закодировать номером любую формулу арифметики, доказывается выше).

Все-таки не любое утверждение о натуральном числе является арифметическим (как минимум из соображений мощности — утверждений о натуральных числах континуум, а формул — лишь счетное количество)

Но утверждение о доказуемости — является.
Все-таки не любое утверждение о натуральном числе является арифметическим (как минимум из соображений мощности — утверждений о натуральных числах континуум, а формул — лишь счетное количество)

Так утверждение — это и есть формула, по-этому их одинаковое число.
С-но, закодировав все формулы — мы закодировали все утверждения.

Выразимые утверждения — согласен, да.

Что такое "невыразимое увтердение"? Если оно невыразимо — оно и не утверждение, а непонятно что.

Можно, например, делать утверждения в более богатой сигнатуре.
В логике второго порядка можно сформулировать строго больше, чем в логике первого, например.
> Можно, например, делать утверждения в более богатой сигнатуре.

Ну, во-первых — их все равно счетно, если сигнатура счетная. Во-вторых — у вас тут возникнет проблема с интерпретацией. Допустим, вы сформулировали какое-то утверждение о числах, которое не формулируется в самой арифметике. Но что значит это утверждение? И почему его можно считать в каком-то смысле «утверждением о числах»?
Что значит «не формулируется в арифметике»?

Если рассматривать все возможные предикаты на числах — их уже не счетно. Странно не считать какой-то из предикатов «утверждением о числе».

Соображение о расширении сигнатуры (например, разрешить логику второго порядка, а не первого) — просто один из способов объяснить, откуда такие предикаты могут взяться (и почему они по-прежнему могут иметь смысл).
Да, когда мы говорим про логику второго порядка мы неявно предполагаем, что теория не более чем счетных множеств не противоречива сама по себе (как мы предполагаем непротиворечивость правил вывода для логики первого порядка или даже логики высказываний).
Если рассматривать все возможные предикаты на числах — их уже не счетно.

Предикатов — несчетно, но говорить вы можете только о счетном подмножестве. Парадокс Скулема. Аналогично с действительными числами — множество несчетно, но доказать можно существование не более чем счетного числа действительных чисел. Остальные как бы существует, но вы их не можете напрямую "пощупать" и использовать в рассуждениях.

Аналогично с действительными числами — множество несчетно, но доказать можно существование не более чем счетного числа действительных чисел.

Откуда тогда уверенность в несчётности этого множества?

Откуда тогда уверенность в несчётности этого множества?

Оттуда, что предположение о счетности приводит к противоречию.


amishaa


Да, в логике первого порядка (как и второго) поверх не более чем счетной сигнатуры выразимо не более чем счетное число предикатов.

А метатеория, в рамках которой вы формулируете свою теорию с несчетной сигнатурой, все равно может иметь счетную модель.


На самом деле счетные множества же не отличаются от несчетных множеств "количеством элементов". Просто между ними нету биекции.

Теория с континуальным количеством различных констант не может иметь счетной модели.

Теорема Сколема об уменьшении мощности модели — она до размера сигнатуры, а не до счетного множества.

Да, конечно, у ZFC есть счетная модель, но какие-то ее элементы нужно считать континуальными и выше множествами.
Теория с континуальным количеством различных констант не может иметь счетной модели.

Счетную модель имеет _мета_теория. Вы же теорию описываете в рамках метатеории. И говорите "вот это множество констант являтеся несчетным в моей метатеории". Но для вашей метатеории найдется модель, в которой это несчетное множество представлено счетным.


Т.е. с этими константами та же проблема — вы можете доказать в метатеории, что это множество несчетно, но при этом можете "потрогать" не более чем счетное число объектов из этого множества.


Ну и, соответственно, с точки зрения мета-метатеории ваша модель, которая в метатеории была несчетной, будет уже счетной :)


Да, конечно, у ZFC есть счетная модель, но какие-то ее элементы нужно считать континуальными и выше множествами.

Они континуальны с точки зрения самой ZFC. Т.е., внутри ZFC нету нужной биекции.


nin-jin
Я вас не понял.

В ZFC доказывается, что 2^N != N.
То есть в интерпретации (любой, в частности счетной) есть элементы (=множества в ZFC), которые континуальны (=равномощны 2^N).

Это они в ZFC континуальны, но при этом в модели это множество может быть счетным.


Доказательство неравномощности в ZFC говорит лишь о том, что в вашей модели не окажется подходящей биекции — но это не значит, что таковая биекция в не существует в метатеории.

Не понимаю.
Почему носитель модели — это множества?

Если мы ссылаемся просто на Сколема — то он всего лишь утверждает, что на числах можно ввести (бинарный) предикат принадлежности так, чтобы аксиомы zfc были выполнены.

И тогда «множество в модели» — это всего лишь число. Биекции между числами — это что-то странное, не так ли?

Существование более чем счётного числа — это как бы определение несчётности.

Счетное множество у нас множество рациональных чисел. Иррациональных слишком много, т.к. много функций. Конечно можно ввести частный случай «запишем всякую функцию как ряд Тейлора» и будем подставлять в виде аргументов только рациональные числа Q.
Получим совокупность F(Q), а ещё попробовали взять только те функции F(x), у которых в ряде Тейлора коэффициенты из рациональных чисел. Но функций таких много, к ним относятся все числа F(G(Q)), F(G(H(Q))) и т.д.
О каких я могу говорить — зависит от сигнатуры.
Да, в логике первого порядка (как и второго) поверх не более чем счетной сигнатуры выразимо не более чем счетное число предикатов.

Запилил, наконец, разбор теорем Гёделя, доказательства Кантора, теоремы Тьюринга и, конечно, парадоксов лжеца и брадобрея:


О тут все более менее последовательно изложено, потому что из комментариев ранее было не понятно что Вы хотите сказать. Но Ваш подход не дает ответ на вопрос, потому что если выкинуть бесконечности, то и проблем нет. Только на практике толку от этого мало, потому что даже "конечные" числа настолько большие что нам времени не хватит чтобы их все перебрать:)

Но Ваш подход не дает ответ на вопрос

Какой вопрос?

Какой вопрос?

"Что это все даёт?"

Прежде всего понимание как на самом деле работает доказательство от противного и почему оно не работает в известных теоремах.

Окей. Почему вы аксиому выдаёте за дополнительное предположение не понятно.

Вы про какую аксиому?

Например рассмотрение бесконечной памяти в машине Тьюринга или предположение о том что построение противоречивого вещественного числа методом Кантора корректно. Оно тоже требует бесконечно долгий процесс.

Так я об этом и говорю. В зависимости от того, какой тезис вы возьмёте за аксиому у вас получатся разные математики. Одна продуктивная, а другая абсурдная.

Согласен. Осталось выяснить какая из них абсурдная. Или другими словами "что это всё дает?". Под "это" я имею ввиду альтернативную аксиоматику. Например на Хабре не так давно было про конструктивизм, это тоже самое или нет?

Абсурдная — так, которая основана на абсурдных аксиомах типа "действительное число, которое не равно любому действительному числу, существует".


Конструктивизм не совместим с абсурдом, да, ибо требует предъявить это число, "иначе не было".

действительное число, которое не равно любому действительному числу, существует

Такой аксиомы не заявляется. Предположение там такое: если алгоритм построения числа существует, то и число тоже существует.


Возможно у вас в голове какое-то определённое доказательство. Потому что вариантов там несколько.

Это эквивалентные аксиомы. Подставьте "алгоритм построения числа не равного никакому числу" вместо "алгоритм построения числа"

Разговор перестает быть предметным, потому что ни в видео не в комментариях вы не пишите полностью от начала до конца. А мне за вас додумывать не получается, потому что вы думаете как то по своему.


Вещественные числа существует сами по себе. Они определены произвольной десятичной записью. Грубо говоря.
Попытка их пронумеровать приводит к противоречию. В самой предпосылке нету противоречия. Противоречие именно в комбинации двух.

Разные десятичные записи могут описывать одно и то же число. Пример: 1.(0) = 0.(9) = 1.(0)1
Так что даже генерация уникальной десятичной записи вовсе не обеспечивает создание нового числа. Диагональный метод только запутывает. Лучше гляньте на доказательство несчётности множества всех подмножеств натуральных чисел — там используется абсурдное определение в чистом виде.

Разные десятичные записи могут описывать одно и то же число.

Это не проблема, т.к. одних и тех же записей числа счётное количество. Выражение "1.(0)1" не имеет смысла в принципе.
На самом деле это не важно получились вещественные числа или "немного больше" чем вещественных. Концепция счётные или не счётные остается.


Upd. Посмотрел видосик. Там тоже диагональный метод, только завуалированный ;)

Мне в этом месте больше всего нравится рассуждение, объединяющее девятки со следующей цифрой в одну литеру.
Тогда можно не ссылаться на счетность рациональных чисел, а явно строить новое число.
Выражение "1.(0)1" не имеет смысла в принципе.

Имеет. Это предел суммы ряда 2 - 0.9 - 0.09 - 0.009 ..., как и 0.(9) — это предел суммы ряда 0.9 + 0.09 + 0.009 ....

Предел обоих рядов это ровно 1.
Предел не имеет отношение к записи десятичной дроби. Запись десятичной дроби говорит о том как её записать.
Другими словами


while (true) {
  print(0)
}
print(1)

Какой будет ответ этой программы?)

Численно равно, а записи разные.
В принципе мне больше нечего добавить к тому, что я уже сказал.

Запись 1.(0)1 и 1.(0) — это запись одной и той же строки (не только одного и того же числа, как 1.(0) и 0.(9), а прямо строки!) — одна единица, а потом все нули.

Первая запись не добавляет новых строк, зачем ее вообще использовать?
Запись 1.(0)1 и 1.(0) — это запись одной и той же строки

"1.(0)1" — это строка, "1.(0)" — тоже строка, и они, очевидно, разные. При этом две эти разные строки являются записями одного и того же числа (не строки, это и так строки — сами по себе).

Есть отображение из такой «короткой» записи со скобочками в бесконечные строки (а потом еще из бесконечных строк в числа, которые склеивают бесконечные нули и бесконечные девятки в одно число).

Так вот обе записи 1.(0)1 и 1.(0) соответствуют одной и той же бесконечной строке:«1.0000...0000...»

Любое строковое представление числа — это не более чем короткая запись разложение в ряд. Строковое представление само по себе числом не является. Так что эти записи — не более чем короткие записи разложения в разные ряды.

Десятичную запись (бесконечную вправо ровно с одной точкой и опциональным минусом впереди) считают канонической для действительных чисел.
Каждой такой записи соответствует одно и ровно одно число, десятично-рациональным числам (тем, у которых есть запись с бесконечным хвостом нулей) кроме нуля — ровно две записи (с нулями и с девятками в конце), всем остальным действительным числам — ровно одна такая запись.

Запись со скобочками — это другой способ записать вот эту вот бесконечную каноническую запись.
Например, 1.(3) — это запись для строки 1.3333… (и эта строка соответствует рациональному числу 4/3).

Вы подменяете причину и следствие. Значение циферок на каждой позиции определяется исключительно разложением в тот или иной ряд.

Если подходить с этой стороны, то что такое число?
Предел какого-то ряда a + b/10 + c/100 + d/1000 ...?

Чем это отличается от того, чтобы просто сказать, что число задается последовательностью (a, b, c, d, ...), которую удобно записывать как a.bcd…

Число — это число. Предел суммы ряда — это запись со скобочками типа 0.(9)

Мы вводим действительные числа как примитивы?

Как мы тогда вводим ряды?
Или тоже просто говорим, что ряд — это ряд?

"0.(9)" это не предел суммы ряда. Это сам ряд, из одного нуля и девяток.


Upd. Проблема в том что чем дальше вы уходите в альтернативную реальность, тем больше Вам надо писать про все Ваши обозначения. Иначе никто не поймёт ничего.