18 мая

В подходе к математике столетней давности найдены новые ключи к разгадке природы времени

МатематикаНаучно-популярноеФизика
Автор оригинала: Natalie Wolchover

Из законов физики следует, что течение времени – всего лишь иллюзия. Чтобы избежать такого заключения, нам, возможно, придётся переосмыслить реальность чисел с бесконечной точностью.



Если числа нельзя записывать бесконечными последовательностями цифр, то и будущее не предопределено

Странно, что, хотя нам кажется, будто мы проносимся сквозь время, беспрерывно находясь на тонкой грани между фиксированным прошлым и открытым будущим, эта самая грань – настоящее – никак не проявляет себя в существующих законах физики.

К примеру, в теории относительности Эйнштейна время переплетено с тремя измерениями пространства, и формирует гибкий четырёхмерный пространственно-временной континуум – "блок-вселенную", охватывающую прошлое, настоящее и будущее. Уравнения Эйнштейна описывают всё в блок-вселенной, как предрешённое с самого начала; изначальные условия космоса определяют, что будет дальше, и никаких сюрпризов не происходит – они только кажутся сюрпризами. «Для нас, верящих в физику, — писал Эйнштейн в 1955, за несколько недель до смерти, — различие между прошлым, настоящим и будущим является лишь упорной и настойчивой иллюзией».

Вневременной и предопределённый взгляд на реальность, которого придерживался Эйнштейн, популярен и сегодня. «Большая часть физиков верит в блок-вселенную, поскольку её предсказывает общая теория относительности», — сказала Марина Кортес, космолог из Лиссабонского университета.

Однако, добавила она, «если попросить человека поглубже осмыслить понятие блок-вселенной, он начнёт задавать вопросы и сомневаться по поводу последствий этой идеи».

Физики, аккуратно размышляющие о времени, указывают на проблемы с квантовой механикой – законы, описывающие вероятностное поведение частиц. На квантовых масштабах происходят необратимые изменения, разделяющие прошлое и будущее. Частица сохраняет несколько квантовых состояний до тех пор, пока вы её не измерите, а потом частица принимает одно из этих состояний. Результаты отдельных измерений непостижимым образом оказываются случайными и непредсказуемыми, хотя коллективное поведение частиц следует статистическим закономерностям. Это кажущееся несоответствие между природой времени в квантовой механике и тем, как она работает в теории относительности, создаёт неопределённость и приводит в замешательство.

В прошлом году швейцарский физик Николас Гизин опубликовал четыре работы в попытке развеять туман, окружающий время в физике. Гизин считает, что эта проблема изначально была математической. Он утверждает, что время вообще, и время, которые мы называем настоящим, легко выразить математическим языком столетней давности, интуиционистской математикой, отвергающей существование чисел с бесконечным количеством цифр. Когда интуиционистская математика используется для описания эволюции физических систем, то, по словам Гизина, становится ясно, что «время реально идёт, а новая информация создаётся». Более того, в таком формализме строгий детерминизм, следующий из уравнений Эйнштейна, уступает место неопределённости, похожей на квантовую. Если числа конечны и ограничены в точности, тогда природа становится по сути неточной, и, следовательно, непредсказуемой.

Пока что физики ещё переваривают работу Гизина – довольно редко люди пытаются переформулировать физические законы на новом математическом языке – однако те, кто заинтересовался его аргументами, считают, что в принципе у них получится сократить концептуальный разрыв между детерминизмом общей теории относительности (ОТО) и неотъемлемой случайностью квантовых масштабов.

«Мне это кажется интригующим, — сказала Николь Юнгер Хальперн, специалист по квантовой информации из Гарвардского университета в ответ на недавнюю статью Гизина в Nature Physics. – Я готова дать интуиционистской математике шанс».

Кортес назвала подход Гизина «чрезвычайно интересным», «шокирующим и вызывающим» в плане последствий. «Это действительно очень интересный формализм, обращающийся к проблеме конечной точности в природе»,- сказала она.

Гизин сказал, что важно формулировать законы физики, считающие будущее открытым, а настоящее – реальным, поскольку именно так мы воспринимаем время. «Я – физик, твёрдо стоящий на земле, — сказал он. – Время идёт, мы все это знаем».



Информация и время


Гизин, которому исполнилось 67 лет – экспериментатор. Он руководит лабораторией в Женевском университете, осуществившей революционные эксперименты в области квантовых коммуникаций и квантовой криптографии. Однако он, что бывает редко, работает на оба фронта физики, и известен своими важными теоретическими идеями, особенно связанными с квантовой вероятностью и нелокальностью [или запутанностью].

По утрам в воскресенье Гизин не ходит в церковь, а по привычке тихо сидит в своём домашнем кресле с кружечкой улуна, и размышляет над глубокими концептуальными загадками. Именно в воскресенье около двух с половиной лет назад он понял, что детерминистская картина времени в теории Эйнштейна и остальная «классическая» физика подразумевает существование бесконечного количества информации.


Николас Гизин в домашнем кабинете с видом на сад

Возьмём для примера погоду. Поскольку она ведёт себя хаотично, или очень чувствительна к небольшим изменениям, мы не можем точно предсказать погоду на неделю вперёд. Но поскольку это классическая система, в учебниках говорится, что мы, в принципе, могли бы предсказывать погоду на неделю, если бы могли измерить каждое облако, каждый порыв ветра и каждый взмах крыльев бабочки с достаточной точностью. Мы сами виноваты в том, что не можем измерить условия с достаточным количеством знаков после запятой, чтобы экстраполировать их в будущее и делать идеально точные прогнозы – ведь реальная физика погоды ведёт себя, как часовой механизм.

Теперь расширим эту идею до всей Вселенной. В предопределённом мире, в котором развитие времени лишь кажущееся, всё, что произойдёт, должно быть известно с самого начала, с начального состояния каждой частицы, закодированного с бесконечной точностью. А иначе в далёком будущем настанет время, когда часовая вселенная сломается.

Однако информация – это физическая величина. Современные исследования показывают, что она требует энергии и занимает пространство. Любой объём пространства имеет конечную информационную ёмкость (самое плотное скопление информации находится в чёрных дырах). Начальные условия Вселенной, как понял Гизин, потребовали бы втиснуть слишком много информации в слишком маленький объём. «Вещественные числа с бесконечным количеством знаков не могут иметь отношения к физике», — сказал он. Блок-вселенная, подразумевающая существование бесконечной информации, должна развалиться.

Он решил найти новый способ описания времени в физике, не предполагающий бесконечно точного знания начальных условий.



Логика времени


Современное признание существования континуума вещественных чисел, для записи большинства которых используется бесконечно много знаков после запятой, практически не сохранило в себе следов язвительных дебатов по этому вопросу, шедших в первых десятилетиях XX в. Давид Гильберт, великий немецкий математик, поддержал стандартное на сегодня представление о том, что вещественные числа существуют, и что ими можно манипулировать как законченными сущностями. Этой идее противостояли математические «интуиционисты», лидером среди которых был прославленный нидерландский тополог Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, считавший математику конструктом. Брауэр настаивал, что числа обязаны быть конструируемыми, что их цифры нужно вычислять или случайным образом выбирать по одному. Числа конечны, сказал Брауэр, а также являются процессами: они могут становиться всё более точными по мере того, как новые цифры будут появляться в «последовательности выборов» (по его терминологии) – функции, выдающей значения со всё большей и большей точностью.

Привязывая математику к тому, что можно сконструировать, интуиционизм порождает далеко идущие последствия для практической математики и определения того, какие утверждения можно считать истинными. Самым радикальным отличием от стандартной математики оказывается нарушение закона исключённого третьего — принципа, который превозносят ещё со времён Аристотеля. Закон исключённого третьего утверждает, что истинным может быть либо утверждение, либо его отрицание – этот явный набор альтернатив предлагает весьма мощные инструменты для построения выводов. Но в концепции Брауэра утверждения, связанные с числами, в конкретный момент могут быть и не истинными, и не ложными, поскольку точное значение числа ещё себя не показало.

Она не отличается от стандартной математики, когда речь заходит о числах типа 4, ½ или π, отношении длины окружности к диаметру. Несмотря на то, что число π иррациональное, и не имеет конечной десятичной записи, существует алгоритм для генерации её записи, что делает π таким же определённым числом, как ½. Однако давайте рассмотрим другое число, х, находящееся неподалёку от ½.

Допустим, x = 0,4999, и оставшиеся его цифры появляются в последовательности выборов. Возможно, последовательность девяток будет продолжаться вечно, и тогда x стремится к ½ (этот факт, что 0,499(9) = 0,5, справедлив и для стандартной математики, поскольку в таком случае отличие x от ½ меньше любого конечного числа).

Но если в какой-то момент в будущем в этой последовательности появится цифра, отличная от 9 – допустим, значение x превратится в 4.99999999999999(7) – тогда, вне зависимости от того, что произойдёт далее, x будет меньше, чем ½. Однако до этого момента, когда мы знаем только значение 0,4999, «мы не знаем, появится ли там цифра, отличная от 9, или нет», — поясняет Карл Пози, философ математики из Еврейского университета в Иерусалиме, ведущий эксперт по интуиционистской математике. «В момент изучения этого х мы не можем сказать, что х меньше ½, и не можем сказать, что х равен ½». Утверждение «х равен ½» неверно, как и его отрицание. Закон исключённого третьего не работает.

Более того, континуум нельзя чётко разделить на две части, одна из которых состояла бы из всех чисел, меньших ½, а вторая – больших ½. «Если попытаться разрезать континуум напополам, число х прилипнет к ножу и не останется ни слева, ни справа, — сказал Пози. – Континуум оказывается вязким и липким».

Гильберт сравнил устранение закона исключённого третьего из математики с «запретом боксёру использовать кулаки», поскольку этот принцип лежит в основе значительной части математической дедукции. Хотя интуиционистская платформа Брауэра покорила и восхитила таких людей, как Курт Гёдель и Герман Вейль, стандартная математика со своими вещественными числами преобладает сегодня из-за лёгкости её использования.



Развёртывание времени


Впервые Гизин столкнулся с интуиционистской математикой на конференции в прошлом мае, на которой был Пози. Когда они разговорились, Гизин быстро заметил связь между развёртыванием десятичных знаков у чисел в его математической платформе и физическим понятием времени во Вселенной. Кажется, что материализация цифр естественным образом соответствует последовательности моментов, определяющих настоящее время, и делающих конкретной реальностью неопределённое будущее. Отсутствие закона исключённого третьего можно сравнить с недетерминизмом будущего.

В работе, опубликованной в прошлом декабре в журнале Physical Review A, Гизин с коллегой Флавио дель Санто использовали интуиционистскую математику, чтобы сформулировать альтернативный вариант классической механики, делающий те же самые предсказания, что и стандартные уравнения, но описывающий события, как недетерминированные – изображающий вселенную, в которой происходит неожиданное, а время разворачивается.

Это напоминает ситуацию с погодой. Вспомним, что мы не можем точно предсказывать погоду, поскольку нам неизвестны начальные условия для каждого атома на Земле с бесконечной точностью. Но в недетерминированном варианте развития событий от Гизина этих точных чисел вообще нет. Интуиционистская математика постулирует следующее: цифры, обозначающие состояние погоды со всё возрастающей точностью, и управляющие её эволюцией во времени, выбираются в реальном времени, пока будущее развёртывается как последовательность выборов. Ренато Рене, квантовый физик из Швейцарского федерального технологического института в Цюрихе, сказал, что аргументы Гизина «склоняются к тому, что детерминистские предсказания в принципе невозможны».

Иначе говоря, мир недетерминирован, будущее открыто. Время, по словам Гизина, «разворачивается не как киноплёнка. Это творческое развёртывание. Новые цифры создаются с течением времени».

Фэй Даукер, специалист по теории квантовой гравитации из Имперского колледжа в Лондоне, сказала, что «с большой симпатией» относится к аргументам Гизина, поскольку «он находится в лагере тех, кто считает, что физика не соответствует нашим ощущениям, и, следовательно, мы что-то упускаем». Даукер соглашается, что математические языки формируют наше понимание времени в физике, и что стандартная гильбертова математика, считающая вещественные числа полноценными сущностями, «определённо статична. Её характерная черта – безвременность, и это определённо ограничивает нас, физиков, когда мы пытаемся учесть такую динамичную вещь, как наше ощущение течения времени».

Для физиков вроде Даукер, интересующейся связью гравитации и квантовой механики, одним из наиболее важных следствий этого нового взгляда на время будет то, как оно начинает наводить мосты между этими двумя, как считалось долгое время, несовместимыми взглядами на мир. «Одно из последствий лично для меня, — сказал Ренне, — заключается в том, что классическая механика в некотором отношении ближе к квантовой, чем мы думали».



Квантовая неопределённость и время


Если физики хотят раскрыть загадку времени, им придётся разобраться не только с пространственно-временным континуумом Эйнштейна, но и с тем, что Вселенная фундаментально квантовая, и управляется вероятностью и неопределённостью. Квантовая теория описывает время совсем не так, как теория Эйнштейна. «Две наших крупнейших физических теории, квантовая теория и ОТО, делают разные заявления», — сказал Реннер. Он и ещё несколько физиков говорят, что это несоответствие лежит в основе напряжённых поисков квантовой теории гравитации – описания квантового происхождения пространства-времени – и понимания того, почему произошёл Большой взрыв. «Если изучить все парадоксы и проблемы, то в итоге все они сводятся к этому понятию времени».

В квантовой механике время жёсткое, оно не искривляется и не переплетается с измерениями пространства, как в ОТО. Более того, измерения квантовых систем «делают время в квантовой механике необратимым, при том, что ОТО полностью обратима», сказал Реннер. «Поэтому время во всём этом играет такую роль, которую мы всё ещё не можем понять по-настоящему».

Многие физики интерпретируют заявления квантовой физики как утверждения о недетерминированности Вселенной. «Ну божечки мои, ну давайте возьмём два атома урана: один из них распадается через 500 лет, а другой – через 1000 лет, и при этом они совершенно одинаковые по всем параметрам», — говорит Нима Аркани-Хамед, физик из Института передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси. «Во всех разумных смыслах Вселенная не является детерминированной».

Однако другие популярные интерпретации квантовой механики, включая многомировую, сохраняют классическое, детерминистское понятие времени. В этих теориях квантовые события разыгрываются в рамках предопределённой реальности. Многомировая теория, к примеру, говорит, что каждое квантовое измерение разделяет мир на несколько ветвей, реализующих каждый из возможных результатов, и все они заранее известны.

Идеи Гизина развиваются в другом направлении. Вместо того, чтобы пытаться сделать квантовую механику детерминистской теорией, он надеется дать общий и недетерминированный язык как классической, так и квантовой физики. Однако его подход отличается от стандартной квантовой механики в одном важном аспекте.

В квантовой механике информацию можно перепутать или зашифровать, но нельзя создать или уничтожить. Но если цифры в числах, определяющих состояние Вселенной, растут со временем, как предлагает Гизин, то это означает появление новой информации. Гизин сказал, что полностью отвергает идею о сохранении информации, в основном потому, что «при измерении очевидно создаётся новая информация». И добавил: «Я имею в виду, что нам нужен новый способ взглянуть на эти идеи».

Этот новый метод подхода к информации может помочь разрешить информационный парадокс чёрной дыры – что случается с информацией, проглоченной чёрными дырами. ОТО говорит, что информация уничтожается; квантовая теория говорит, что сохраняется – отсюда и парадокс [не совсем так: в ОТО чёрные дыры являются неуничтожимыми объектами, поэтому и парадокса не возникает; квантовая теория говорит о возможности испарения чёрных дыр вследствие излучения Хокинга, и в этом случае появляется парадокс / прим. перев.]. Если иная формулировка квантовой механики в терминах интуиционистской математики позволяет создавать информацию через квантовые измерения, возможно, она позволяет и уничтожить её.

Джонатан Оппенгейм, физик-теоретик из Университетского колледжа Лондона, считает, что информация в чёрных дырах действительно теряется. Ему неизвестно, будет ли интуиционизм Брауэра ключом к доказательству этого, как утверждает Гизин, однако он говорит, что есть причины считать, что создание и уничтожение информации глубоко связано со временем. «Информация уничтожается по мере того, как вы двигаетесь вперёд во времени; она не уничтожается, если вы двигаетесь в пространстве», сказал Оппенгейм. Измерения, из которых состоит блок-вселенная Эйнштейна, очень сильно отличаются друг от друга.

Кроме поддержки идеи созидательного (и, возможно, деструктивного) времени, интуиционистская математика также предлагает новую интерпретацию осознанного восприятия времени. Вспомните, что в данной системе взглядов континуум липкий, и его невозможно разрезать на две части. Гизин связывает эту липкость с нашим ощущением «густоты» настоящего – мы считаем его реально существующим моментом, а не просто точкой нулевого размера, раскалывающей прошлое и будущее. В стандартной физике на основе стандартной математики время – это непрерывный параметр, способный принимать любое значение на числовой прямой. «Однако, — сказал Гизин, — если континуум представить в интуиционистской математике, то время не получится разрезать пополам». Оно толстое, сказал он, «такое же, как и мёд».

Пока что это лишь аналогия. Оппенгейм сказал, что у него «есть хорошее предчувствие касательно нашего ощущения густоты времени. Не знаю, откуда у нас такое ощущение».



Будущее времени


Идеи Гизина вызвали разнообразные реакции у других теоретиков, каждый из которых мог предложить свой собственный мысленный эксперимент и идеи по поводу времени.

Несколько экспертов согласились, что вещественные числа не кажутся физически реальными, и что физикам нужен новый формализм, на них не основанный. Ахмед Альмейри, физик-теоретик из Института передовых исследований, изучающий чёрные дыры и квантовую гравитацию, сказал, что квантовая механика «мешает существованию континуума». Квантовая математика группирует энергию и другие величины в пакеты, больше похожие на целые числа, чем на континуум. А бесконечные числа обрезаются внутри чёрных дыр. «Может показаться, что у чёрной дыры может быть бесконечное количество внутренних состояний, однако они обрезаются», сказал он, из-за эффектов квантовой гравитации. «Вещественные числа не могут существовать, поскольку их не спрячешь внутри чёрных дыр. А иначе они могли бы прятать там бесконечное количество информации».

Санду Попеску, физик из Бристольского университета, часто общающийся с Гизиным, согласился с недетерминистским мировоззрением последнего, однако сказал, что не уверен в необходимости интуиционистской математики. Попеску не согласен с идеей о том, что цифры в вещественных числах можно считать информацией.

Аркани-Хамед считает использование интуиционистской математики Гизиным интересным и потенциально связанным с такими случаями, как чёрные дыры и Большой взрыв, где гравитация и квантовая механика вроде бы вступают в конфликт. «Эти вопросы – о конечных числах, о фундаментальных вещах, о существовании бесконечного количества цифр, или о постепенном возникновении цифр, — сказал он, — могут быть связаны с тем, как мы должны рассматривать космологию в тех ситуациях, когда не знаем, как применить квантовую механику». Он также считает необходимым создание нового математического языка, способного «освободить» физиков от бесконечной точности и позволить им «беседовать о вещах, постоянно находящихся в немного размытом состоянии».

Идеи Гизина находят отклик во многих уголках, однако они всё ещё не оформлены как следует. Он надеется найти способ переформулировать теорию относительности и квантовой механики в терминах конечной и размытой интуиционистской математики, так, как ему это удалось сделать с классической механикой, и, возможно, сблизить эти теории. И у него есть идеи по поводу того, как подступиться к квантовой части вопроса.

Один из способов, которым бесконечность проявляет себя в квантовой механике, является «проблема хвостов». Попытайтесь локализовать квантовую систему, например, электрон на Луне. «Если делать это при помощи стандартной математики, приходится признать, что вероятность обнаружить этот электрон на Земле чрезвычайно мала», — сказал Гизин. «Хвост» математической функции, обозначающей местоположение частицы, «становится экспоненциально малым, но остаётся ненулевым».

Однако Гизин интересуется: «Какую реальность приписать сверхмалому числу? Большинство экспериментаторов сказали бы: Считайте его нулевым и всё. Однако более теоретически ориентированные скажут: Но, если верить математике, там что-то должно быть».

«Однако всё зависит от конкретной математики, — продолжил он. – В классической математике там что-то есть. В интуиционистской математике – нет. Ничего». Электрон на Луне, и его шансы оказаться на Земле действительно равны нулю.

С момента публикации Гизиным работы будущее стало лишь ещё более неопределённым. Теперь, когда мир охвачен кризисом, каждый день для него подобен воскресенью. Находясь вдалеке от лаборатории, не имея другой возможности видеться с внучками кроме как по видеосвязи, он планирует продолжать размышления, сидя дома со своей кружечкой чая и видом на сад.
Теги:времяЭйнштейнквантовая механикаото
Хабы: Математика Научно-популярное Физика
+80
55,4k 191
Комментарии 429
Лучшие публикации за сутки

Партнерские материалы

Разместить