Комментарии 45

Если вы заинтересованы в фидбэке, то, возможно, стоит сделать пост на dxdy.

  1. Хм, определение эпсилон-производной с точностью до предела epsilon -> 0 совпадает с определением производной функции.
  2. Всегда этим огрублением и пользовались в разностных схемах, как при численных интегрировании, решениях дифференциальных уравнений, так и при моделировании физических процессов. В чем научная новизна статьи?
  3. Не раскрывается, что делать, если масштаб epsilon отличается для разных осей (взять хотя бы x и t)?
1. эпсилон -производная, конечно, ничего нового не дает — это обычный подход. Используется приставка эпсилон для того, чтобы иметь единообразное обозначение. Суть в эпсилон-произведении.
2. новизны особой не вижу, скорее новый ракурс — дифференциальные уравнения (в том числе и нелинейные) становятся эквивалентны рекуррентным (без какого-либо округления)
конечно для определенного класса функий (аналитические слева от нуля). Но в действительности в основе все тот же ряд Тейлора.
3. да, не раскрывается — не исследовал этот вопрос
Думаю, если ввести эпсилон-метрику пространства для определения операций над объектами в них, то может, и получится новый математический аппарат (если, конечно, кто-то ранее его не изобрел) для решения диффуров. Но пока все это выглядит как переизобретение велосипеда, в том числе и представление дифференциальных уравнений в виде рекуррентных.
ну, я не отношусь к этому серьезно. Такая скорее интеллектуальная игра, но позволяющая естественным образом ввести дискретность (при фактически тех же законах)
3. Да ничего там особого не будет. Сейчас метрический тензор (матрица частных производных одних координат по другим) считается единичным. Ну будет не единичный, т.е. на диагоналях будут стоять не 1, а отношения эпислонов друг к другу. Это повлияет на взятие частных производных, перед ними появятся коэффициенты gi i.
Более интересный случай — криволинейные координаты, т.е. когда «эпсилоны» не просто отличаются для разных осей, а отличаются в соседних точках. Тогда метрический тензор перестаёт быть диагональным, появляются ненулевые dx/dy, отличающиеся от точки к точке.
Из-за этого для вторых производных нужно рассматривать функцию x(y) и применять формулу сложной производной, аналогично при раскрытии всяких набл и роторов появляются дополнительные слагаемые. Формулы становятся очень громоздкими, но конца света не происходит и всё работает.
Простите если сумбурно.

С точки зрения диванного философа не дискретное теперь кажется возможным только на бумаге. Иначе, как изменить состояние на бесконечно малую величину?

А кто и когда придумал эпсилон — операции (в частности приём с умножением) в таком виде, в каком это изложено в статье? Из статьи не очевидно, что всю эту теорию придумали вы. Прошу подтвердить свой приоритет или предоставить ссылки на первоисточник.

Скажем так, я этого нигде не встречал и для меня это было просто решением задачи.
Но это не значит, что этого не было раньше. Поэтому я не могу заявить, что это мой приоритет (потому что не знаю) и понятно что не могу дать никаких ссылок.
Я не математик по профессии (хотя есть физико-математическое образование), эту задачу я решил лет 15 назад (просто в то время любил придумывать и решать задачи) и вот сейчас подумал, что может быть это будет кому-то интересно.
Это похоже на оригинальное изложение метода конечных разностей. При этом многие вопросы не проработаны, например, интерполяция «эпсилон-функций». Так, как показано на картинке в статье, делать нельзя, сплайны нулевого порядка не сохраняют энергию.

Занятная конструкция, которая очень похожа конечные разности, а может и является ими.
Примеры с дифференциальными уравнениями можно решить и без введения эпсилон-операций, потому что ваше решение аналогично подстановке ряда Тейлора в уравнение и получением рекуррентной системы на его коэффициенты. Чтобы получить решение в виде ряда Тейлора, надо найти замкнутую формулу для n-ого коэффициента. Сложность решения диффура "перетекла" в сложность решения рекуррентного соотношения. В примере с числами Фибоначчи всё наоборот.
Дифференциальное уравнение Бесселя всё-таки линейное, потому что оно линейно по неизвестной функции F(x).

> ваше решение аналогично подстановке ряда Тейлора в уравнение…
да, поэтому когда мы говорим о решении дифференциальных уравнений (или рекуррентных) я считаю, что это скорее новый ракурс, но новизны особой не вижу, хотя все же на мой взгляд некоторые закономерности становятся наглядней.

Спасибо, очень необычно и интересно. Прочитала, но не сильно вникая в детали, поэтому моё замечание является лишь результатом минутных размышлений. Оно касается самого последнего примера.

Что будет с амплитудой недиагональных матричных элементов для переходов <ω1|ω2>? Мне кажется, ничего хорошего нас там не ждёт, т.к. комплексное сопряжение не поможет «спрятать» расходящуюся амплитуду.
Спасибо за комментарий.
Подумаю, но сейчас не могу отвтетить — надо поднимать теорию, которую я уже основательно забыл. :)
Интересный подход. Однозначность соответствия дискретных и непрерывных функций поможет (или может помочь) доказывать свойства целых чисел, например — простоту, а возможно и делимость (факторизация). Реккурентная последовательность Люка является обобщением для многих последовательностей, в том числе и для последовательности Фибоначчи, но интересная последовательность Люка тем, что позволяет создавать тесты простоты, как вероятностные, так и детерминированные. Для этой последовательности есть аналитическое (нереккурентное) решение, но что даст подход с применением методов, отработанных для непрерывных функций? Может получиться другое аналитическое выражение, что в свою очередь может упростить, например, определение простоты. И это будет строгое решение, если эквивалентность в статье тоже строго доказана (прочитал пока лишь «краткую логику статьи» под спойлером).

В целом дискретные задачи можно было бы решать с привлечением методов для непрерывных функций. А применимость таких методов в дискретных случаях как раз и должна быть доказана автором. Это, на мой скромный взгляд, могло бы быть «научной новизной», но я не настолько глубоко знаком с теорией чисел, что бы гарантировать, что схожие подходы там не используются (анализ функций там присутствует точно). В рамках же базовых курсов теории чисел этого нет.
Я проскочил статью «по диагонали», и у меня ощущение, что автор пытается найти метод «оцифровки» непрерывных функций для последующего численного решения каких-нибудь интегро-диффуров. Возможно, может быть продуктивным «поковыряться» с сопряженными аппроксимациями. Это точно лучше чем тупые ряды Тейлора, причем функции можно рассматривать не в окрестности нуля, а на отрезках. Возможно, в сопряженных аппроксимациях будут сохраняться основные свойства операций над функциями (произведение, дифференцирование и т.п.). Это предположение, основанное на моем личном опыте численного дифференцирования скалярных полей.
Да, конечно, для оцифровки Тейлор не самое подходящее решение.
Цель статьи не совсем в этом. Если коротко, то введение нового произведения дает однозначное точное (а не приблизительное) соответствие между дифференциальными нелинейными (что важно) уравнениями (для определенного вида решений) и рекуррентными (с решетчатыми функциями).
Мне кажется это как минимум красивым, но какая практическая польза — не знаю :)
Не могли бы вы пояснить: если решётчатые функции с компактным носителем, то будет ли их эпсилон-произведение также с компактным носителем? Можете дать конкретный пример решения для функций, имеющих значения ...,0,0,3,5,7,0,0,… и ...,0,0,11,13,17,0,0,…? Просто для уверенности, что я правильно расшифровал ваши формулы.
> то будет ли их эпсилон-произведение также с компактным носителем?
Не задумывался над этим, но, похоже, что нет не будет
Давайте для простоты рассмотрим решетчатую функцию:
1,0,0,0,…
И эпсилон-умножим ее саму на себя. Из третьей формулы определения эпсилон производной получим что результатом будет решетчатая функция
1, -1, 1, -1, 1…

Можно рассуждать и по-другому
Легко увидеть, что функция 1,0,0,… эпсилон сопряженная для функции exp(-x) с эпсилон = 1 (находим все эпсилон-производные в нуле — это 1,-1,1,… и составляем ряд Тейлора, что дает экспоненту)
Понятно что произведение этой экспоненты на себя дает exp(-2x)
Теперь вспоминаем что эпсилон-сопряженной функцией для этой экспонненты является (1-2e)**k и для e=1 получаем что катый элемент эпсилон произведения будет (-1)**k
нет не будет
Тогда получается, что и на практике его использовать никак не получится — раз для конечного числа элементов требуется бесконечное число операций. Всё-таки идея конечной разности в том и состоит, что она конечна — и её можно вычислить численно на калькуляторе. А если ограничения на конечность нет — тогда и в качестве производной решётчатой функции можно брать обычную производную, а не конечную разность.
Я не очень хорошо понимаю, как можно применить это для цифровой обработки сигналов.
Да, эпсилон умножение двух решетчатых функций с компактным носителем не является решетчатой функцией с компактным носителем.

Но если вам требуется вычисление лишь с определенной точностью в окрестности 0, то вы можете взять лишь необходимое количество значений. Так, если вы возьмете N первых значений в получившемся эпсилон-произведении, то вы будете знать первые N коэффициентов разложения в ряд Тейлора. Конечно, это приближение имеет смысл только для x < 1.
Насколько я понимаю, поднятые автором вопросы давно решены в цифровой обработке сигналов. Непрерывные и решётчатые функции связаны между собой теоремой Котельникова, производная решётчатой функции однозначно определена через свойства преобразования Фурье, рекуррентные дискретные последовательности «схлопываются» через z-преобразование.
Нет, это все о другом, ну и в принципе нет «поднятых вопросов». Есть новое произведение, которое приводит к интересным выводам. Это новое произведение никак не связано ни с теоремой Котельникова ни с Фурье или z преобразованиями (насколько я помню
последнее). Это связано с рядом Тэйлора.
z-преобразование тоже связано с рядом Тейлора. По поводу нового произведения — я жду ответа на свой вопрос выше, чтобы разобраться, что оно из себя представляет исходя из собственного понимания математики. Одной лишь формулы явно недостаточно — учитывая, что вы опустили как её вывод, так и доказательство её верности и единственности. Возможно, вы действительно придумали что-то новое. А может, вы просто придумали новое словосочетание и не более того.
Ок, постараюсь ответить в выходные. Ответ не сложный, но немного длинный. Но не думаю что это эпсилон-произведение действительно полезно для цифровой обработки сигналов. Я думал над этим, но не увидел в чем мог бы быть бенефит. Если бы я реально видел пользу, то еще тогда, когда все это увидел (а было это лет 15 назад и я был хоть как-то связан с образовательным процессом) то постарался бы опубликовать. Но нет, похоже дальше интересной задачи и некоторых курьезных выводов дело не идет. Может быть кто-то из читателей найдет применение :)
Но, мне показалось в любом случае это занимательным и даже красивым. Поэтому и поделился.

Кстати, не поясните про теорему Котельникова? Для бесконечного числа отсчётов частота дискретизации должна быть больше дискретизуемой частоты в 2.(0)1 раз (т.е. хоть на сколько больше двух раз). Есть формулировка теоремы, во сколько раз должна быть больше частота дискретизации для заданного числа отсчётов?

Количество известных отсчётов не имеет значения. В бесконечность они расширяются обычно либо дополнением нулями, либо бесконечным повтором.
Изначально — для спектрального анализа, а точнее — для получения мгновенного спектра на протяжении некоторого конечного (и короткого) интервала времени. Вообще исторически ЦОС развился для радио-вещания, эхолокаторов и прочих чисто аналоговых систем, а задачей Котельникова была не запись музыки на CD, а оптимальное заполнение радиоэфира. Компьютеры и FFT подключились уже несколько позже.

Т.е. если есть уже готовый набор отсчётов после АЦП и мы уверены, что все частоты ниже половины частоты дискретизации, оконирование не нужно, достаточно sinc-интерполяции? Я литературу в общем-то читал, но образование у меня вообще по другой специальности, так что многих вещей, очевидных для профильного специалиста, я очень может быть не понимаю.

Это зависит от задачи. sinc-интерполяцию в чистом виде на практике не применить, т.к. она бесконечна. А вот записать аналитически — можно. Например, три последовательных дискретных отсчёта {1,3,9} преобразуются в непрерывную функцию sinc(x)+3*sinc(x-1)+9*sinc(x-2)

Спасибо. Ещё такой вопрос: в теории дискретизации используется "забор" из дельта-функций, где каждый пик нулевой ширины, а по факту время замера не может быть нулевым, идёт интегрирование, нелинейное преобразование. Это как-то описывают или просто закрывают глаза, чтобы не терять удобный формализм?

В практической реализации есть и другие нюансы — джиттер, нестабильность тактовой частоты, нелинейные искажения, шумы различной природы — которые не всегда возможно отделить друг от друга. Поэтому качество АЦП (и ЦАП тоже) оценивают через отношение сигнал/шум и коэффициент гармоник.

А до какого предела КНИ принято делать вид, что система линейная? И можно ли оценить КНИ для системы оптика+камера, предположив, что объектив является low-pass фильтром (это действительно так; извините, просто не помню отечественную терминологию) с известной функцией распределения точки и что в объекте есть все частоты, которые пропускает объектив, а потом сравнив спектры рассчётной ФРТ и того, что получили на камере?


Возвращаясь к теме статьи, правильно ли я понимаю такую ситуацию: представим матрицу камеры и sinusoidal test target Тогда получается, что в зависимости от поворота target'a относительно сетки пикселей будут разные спектры фотографии, т.е. решетчатая функция является separable в декартовых координатах, но не в полярных.


Кстати, джиттер это разброс расстояний между дельта-функциями, в радио он случаен и в общем случае нормально распределён, в фото эти расстояния (между центрами пикселей) фиксированные и тоже нормальны распределены, так?

А до какого предела КНИ принято делать вид, что система линейная?
Система линейна в теории, а не на практике. А допустимый предел КНИ зависит от задач.

можно ли оценить КНИ для системы оптика+камера, предположив, что объектив является low-pass фильтром
Конечно можно, только НЧ-фильтр тут не причём, потому что он по определению линейный.

Возвращаясь к теме статьи, правильно ли я понимаю такую ситуацию: представим матрицу камеры и sinusoidal test target Тогда получается, что в зависимости от поворота target'a относительно сетки пикселей будут разные спектры фотографии, т.е. решетчатая функция является separable в декартовых координатах, но не в полярных.
Конкретно в этом тесте — да, т.к. тестовый сигнал отфильтрован только по одной координате.

Кстати, джиттер это разброс расстояний между дельта-функциями, в радио он случаен и в общем случае нормально распределён, в фото эти расстояния (между центрами пикселей) фиксированные и тоже нормальны распределены, так?
Джиттер на фото скорее всего крайне незначителен, и его точную оценку лучше поискать в специальной литературе — мне не приходилось с этим сталкиваться. А вот насколько точно решётка у матрицы собрана — к джиттеру отношения уже не имеет, по крайней мере прямого — джиттер предполагает динамическое изменение положения импульса во времени, а не статическое.
А что насчёт эпсилон-деления, эпсилон-извлечения корня и эпсилон-гамма-функции?
смотрите главу «Не аналитические функции» — там пример «Деление на икс в эпсилон-степени». Вообще, можно показать что эпсилон-обратный элемент существует для любой решетчатой функции (из класса который мы рассматриваем) при условии что f_0 не равен нулю. Общей, простой формулы для эпсилон-деления я не нашел.
Ещё в начале у вас написано «Иногда, в примерах мы будем расширять наш подход и на область комплексных чисел» — но далее в тексте упоминания комплексных чисел я не находил. Что произойдёт при эпсилон-умножении мнимой единицы на мнимую единицу? Или при взятии логарифма от комплексной функции — будет ли эта операция обратима?
смотрите, например, определение эпсилон-косинуса и эпсилон-синуса

Я пытаюсь понять как устроено эпсилон-умножение и пока на очень получается.


  • Как произведение в точке k связано с k-ой производной?
  • Что обозначает вертикальная черта с 0 внизу в конце первой формулы?
  • Как вы пришли именно к такому умножению? Просто перебирали формулы пока не нашлась подходящая?
>Как произведение в точке k связано с k-ой производной?
не очень понятен вопрос. В принципе все видно из формул.

>Что обозначает вертикальная черта с 0 внизу в конце первой формулы?
Значит, что сначала применяется оператор, потом берется значение в нуле. Например, мы сначала берем производную функции, потом находим значение этой полученной функции (производной) в нуле. Это просто способ обозначения, не более того. Можно обойтись и без этого значка, если договориться о том, как это понимать.

>Как вы пришли именно к такому умножению? Просто перебирали формулы пока не нашлась подходящая?
Нет конечно. Добавил в конце статьи ответ на этот вопрос. Но это скорее алгоритм вывода, чем доказательство того, что это именно то произведение, которое мы ищем.
Разрешите ещё парочку вопросов.

1) «Разложим обычное произведение двух аналитических функций в ряд Тейлора (в точке 0)»
А если функции не имеют разложения в ряд Тейлора в точке 0 — дальнейшие рассуждения остаются корректными или нет?

2) вы рассматриваете любые решётчатые функции (задаваемые последовательностью значений) или только те, для которых существует аналитический прототип?
1) в статье оговаривается, что мы рассматриваем функции аналитические справа от нуля. Более строгим (и правильным) утверждением является конечно утверждение о разложении в ряд Тэйлора только справа от нуля (все производные от нуля справа). С этой оговоркой произведение аналитических справа от нуля функций будет также аналитической функцией справа от нуля и будет раскладываться в ряд Тейлора (опять таки справа от нуля). Так?

2) Для решетчатых функций класса $A^\epsilon$ (определен в статье) и для аналитических справа от нуля функций у нас взаимно однозначное соответствие
Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.