Комментарии 14
Шо, опять?!
И как это читать? Нулевая связь с общепринятой теминологией. В рамках моей терминологии (не общепринятой) гиперболо-круговая модель для натуральных чисел включает в себя разницу между множеством счётных множеств и несчётным множеством счётных множеств при 2^א
Вот пример для числа из 338 десятичных цифр. Решение получено за доли секунды. N = =64790826440842577919436304108902818474268881177513293216983216259449390054929745401397409861322804434299982610000527627257466941182701778270757450442841785292567858149673578957649050763315210002128465489782487047931907607726142151884901608983600516073761212314640454763171957026200445066957826021418704510302646759075605287225935830386381
Результат два простых числа длиной 169 дес. цифр каждое
Q= =8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373233170331405332499574710969534099916695155882071232916791731485669332545700290748583427
P= 8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373240458669495846127015673932092648055486814728702932193824068008418547618080584551704303
Проверка перемножением дала совпадение результатов. Не думаю, что наличие примера изменит отношение читателей Хабра к моим работам (будут минусовать и дальше).
Главное, я считаю, что шифр RSA — это не проблема. Он закроется. Важнее то, что в теории чисел установлена обратная операция к умножению (факторизация), открыт Закон распределения делителей чисел N в натуральном ряде без ограничений на их длину. Замечу, что в работе косвенно затрагивается вопрос даже не распределения простых чисел, а задача их перечисления. Но моего времени не хватает поднять и эту проблему. Закончу с НРЧ, займусь простыми числами.
Я не показываю в работах такие результаты, так как алгоритм требует доработки (чем я и занимаюсь). Здесь главное для меня то, что высокое быстродействие удалось обеспечить, что отвергает все известные оценки сложности ЗФБЧ.
Результат два простых числа длиной 169 дес. цифр каждое
Q= =8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373233170331405332499574710969534099916695155882071232916791731485669332545700290748583427
P= 8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373240458669495846127015673932092648055486814728702932193824068008418547618080584551704303
Проверка перемножением дала совпадение результатов. Не думаю, что наличие примера изменит отношение читателей Хабра к моим работам (будут минусовать и дальше).
Главное, я считаю, что шифр RSA — это не проблема. Он закроется. Важнее то, что в теории чисел установлена обратная операция к умножению (факторизация), открыт Закон распределения делителей чисел N в натуральном ряде без ограничений на их длину. Замечу, что в работе косвенно затрагивается вопрос даже не распределения простых чисел, а задача их перечисления. Но моего времени не хватает поднять и эту проблему. Закончу с НРЧ, займусь простыми числами.
Я не показываю в работах такие результаты, так как алгоритм требует доработки (чем я и занимаюсь). Здесь главное для меня то, что высокое быстродействие удалось обеспечить, что отвергает все известные оценки сложности ЗФБЧ.
Хотелось бы увидеть пример факторизации чисел из RSS factoring challenge или чего-то подобного (с оценкой сложности). С таким примером статья выглядела бы существенно убедительнее и позволила бы лучше понять практическую ценность приведённого исследования.
Пока, не смотря на то, что изначальный посыл видится крайне интересным, высшее математическое образование люто протестует против статей, в которых «левой пяткой» решаются сложнейшие математические проблемы, такие, как существование модели арифметики Пеано.
Вот пример для числа из 338 десятичных цифр. Решение получено за доли секунды. N = =64790826440842577919436304108902818474268881177513293216983216259449390054929745401397409861322804434299982610000527627257466941182701778270757450442841785292567858149673578957649050763315210002128465489782487047931907607726142151884901608983600516073761212314640454763171957026200445066957826021418704510302646759075605287225935830386381
Результат два простых числа длиной 169 дес. цифр каждое
Q= =8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373233170331405332499574710969534099916695155882071232916791731485669332545700290748583427
P= 8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373240458669495846127015673932092648055486814728702932193824068008418547618080584551704303
Проверка перемножением дала совпадение результатов. Не думаю, что наличие примера изменит отношение читателей Хабра к моим работам (будут минусовать и дальше).
Главное, я считаю, что шифр RSA — это не проблема. Он закроется. Важнее то, что в теории чисел установлена обратная операция к умножению (факторизация), открыт Закон распределения делителей чисел N в натуральном ряде без ограничений на их длину. Замечу, что в работе косвенно затрагивается вопрос даже не распределения простых чисел, а задача их перечисления. Но моего времени не хватает поднять и эту проблему. Закончу с НРЧ, займусь простыми числами.
Я не показываю в работах такие результаты, так как алгоритм требует доработки (чем я и занимаюсь). Здесь главное для меня то, что высокое быстродействие удалось обеспечить, что отвергает все известные оценки сложности ЗФБЧ.
Результат два простых числа длиной 169 дес. цифр каждое
Q= =8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373233170331405332499574710969534099916695155882071232916791731485669332545700290748583427
P= 8049274901557442641014203436439568085701063975794853368500335849752656483535164373240458669495846127015673932092648055486814728702932193824068008418547618080584551704303
Проверка перемножением дала совпадение результатов. Не думаю, что наличие примера изменит отношение читателей Хабра к моим работам (будут минусовать и дальше).
Главное, я считаю, что шифр RSA — это не проблема. Он закроется. Важнее то, что в теории чисел установлена обратная операция к умножению (факторизация), открыт Закон распределения делителей чисел N в натуральном ряде без ограничений на их длину. Замечу, что в работе косвенно затрагивается вопрос даже не распределения простых чисел, а задача их перечисления. Но моего времени не хватает поднять и эту проблему. Закончу с НРЧ, займусь простыми числами.
Я не показываю в работах такие результаты, так как алгоритм требует доработки (чем я и занимаюсь). Здесь главное для меня то, что высокое быстродействие удалось обеспечить, что отвергает все известные оценки сложности ЗФБЧ.
Всё-таки так слона вы не продадите…
Если цель — факторизация, то нужно сконцентрироваться на ней. Если цель — показ структуры, обнаруженной при исследовании сумм и разностей квадратов — нужно забыть о факторизации и подробно (с доказательствами) исследовать структуру, а потом выложить наиболее интересное, дающее возможность, например, выполнить факторизацию. Переход к факторизации должен быть выделен, описание факторизации на основе ранее показанной структуры должно быть кратким, в виде формул.
Длинное описание, смешивающее всё и сразу, плюс ещё числовые примеры, да ещё и не структурированное как следует, заставляет долго вдумываться, а большинство к такому занятию категорически не готово.
Но тем не менее, сама структура интересная. Я в ней увидел, например, доказательство того факта, что любое нечётное число можно представить в виде разности квадратов. А вот, например, доказательства утверждения (№3) про простоту числа, следующую из отсутствия одинаковых чисел в смежных столбцах — не увидел. Ещё увидел два утверждения №4. А в целом, повторюсь, плохо структурированный текст.
Наличие пары одинаковых чисел в смежных столбцах действительно интересно, но природа явления не раскрыта. То есть алгебраическое выражение, соответствующее ситуации с наличием такой пары, не является объяснением природы данной структуры. Непонятно, как появляются такие пары, почему они появляются для одних чисел и почему не появляются для других. Хотя, возможно, на это есть какие-то намёки в объяснениях про «лестницы», но весь текст до «лестниц» настраивает на несколько скептический взгляд, а потому внимательно прочитать далее не хватает мотивации.
По краткому изложению алгоритма в конце статьи видно, что для больших чисел он непригоден. В алгоритме предлагается построить два ряда сумм квадратов и далее искать в них одинаковые значения, но никак не упоминается тот факт, что даже если мы работаем с корнями из исследуемого числа, то при порядках чисел, используемых в криптографии, значения корней становятся столь большими, что никакой последовательный перебор значений в принципе не представляется возможным при сегодняшнем уровне вычислительной техники. Поэтому алгоритм неприменим для факторизации больших чисел (криптографических порядков). Хотя и с точки зрения доказанности данный алгоритм не выглядит впечатляюще.
Скорее всего доказательства (либо опровержение) утверждений из статьи выглядят довольно просто, в рамках алгебры из средней школы, поэтому такие вещи стоит привести. Можно убрать всё лишнее, не касающееся факторизации, но добавить доказательства каждого шага приведённого алгоритма. Правда, даже будучи доказанным, алгоритм так и останется нереализуемым для действительно больших чисел.
Ну и стоит напомнить, что факторизация некоторых очень больших чисел выполняется очень легко просто из-за того, что эти числа удачно попадают в ту нишу, в которой алгоритм факторизации работает превосходно. Но стоит взять другое число — и вся радость тут же куда-то исчезает. Чисто для примера, число Мерсенна 2^100-1 факторизуется чуть ли не на пальцах (сразу видно, что оно делится на 3, 5, 11, 31 и т.д.), а вот следующее (2^101-1) — уже без мощного компьютера не обойдётся.
Если цель — факторизация, то нужно сконцентрироваться на ней. Если цель — показ структуры, обнаруженной при исследовании сумм и разностей квадратов — нужно забыть о факторизации и подробно (с доказательствами) исследовать структуру, а потом выложить наиболее интересное, дающее возможность, например, выполнить факторизацию. Переход к факторизации должен быть выделен, описание факторизации на основе ранее показанной структуры должно быть кратким, в виде формул.
Длинное описание, смешивающее всё и сразу, плюс ещё числовые примеры, да ещё и не структурированное как следует, заставляет долго вдумываться, а большинство к такому занятию категорически не готово.
Но тем не менее, сама структура интересная. Я в ней увидел, например, доказательство того факта, что любое нечётное число можно представить в виде разности квадратов. А вот, например, доказательства утверждения (№3) про простоту числа, следующую из отсутствия одинаковых чисел в смежных столбцах — не увидел. Ещё увидел два утверждения №4. А в целом, повторюсь, плохо структурированный текст.
Наличие пары одинаковых чисел в смежных столбцах действительно интересно, но природа явления не раскрыта. То есть алгебраическое выражение, соответствующее ситуации с наличием такой пары, не является объяснением природы данной структуры. Непонятно, как появляются такие пары, почему они появляются для одних чисел и почему не появляются для других. Хотя, возможно, на это есть какие-то намёки в объяснениях про «лестницы», но весь текст до «лестниц» настраивает на несколько скептический взгляд, а потому внимательно прочитать далее не хватает мотивации.
По краткому изложению алгоритма в конце статьи видно, что для больших чисел он непригоден. В алгоритме предлагается построить два ряда сумм квадратов и далее искать в них одинаковые значения, но никак не упоминается тот факт, что даже если мы работаем с корнями из исследуемого числа, то при порядках чисел, используемых в криптографии, значения корней становятся столь большими, что никакой последовательный перебор значений в принципе не представляется возможным при сегодняшнем уровне вычислительной техники. Поэтому алгоритм неприменим для факторизации больших чисел (криптографических порядков). Хотя и с точки зрения доказанности данный алгоритм не выглядит впечатляюще.
Скорее всего доказательства (либо опровержение) утверждений из статьи выглядят довольно просто, в рамках алгебры из средней школы, поэтому такие вещи стоит привести. Можно убрать всё лишнее, не касающееся факторизации, но добавить доказательства каждого шага приведённого алгоритма. Правда, даже будучи доказанным, алгоритм так и останется нереализуемым для действительно больших чисел.
Ну и стоит напомнить, что факторизация некоторых очень больших чисел выполняется очень легко просто из-за того, что эти числа удачно попадают в ту нишу, в которой алгоритм факторизации работает превосходно. Но стоит взять другое число — и вся радость тут же куда-то исчезает. Чисто для примера, число Мерсенна 2^100-1 факторизуется чуть ли не на пальцах (сразу видно, что оно делится на 3, 5, 11, 31 и т.д.), а вот следующее (2^101-1) — уже без мощного компьютера не обойдётся.
Здесь целью является изучение предмета — натурального ряда чисел (НРЧ), его свойств и законов. Постепенно синтезируется прикладная теория НРЧ. Недостатки текста я осознаю и замечания Ваши и других читателей принимаю. Дело в том, что поднятый вопрос и для меня новый и не до конца ясный.
В науке вначале регистрируются наблюдаемые факты, которые накапливаются, обрабатываются, систематизируются и т. п. Со временем эта работа может иметь своим плодом новую теорию. Большинство задач элементарной теории чисел относительно составного числа N могут быть решены только при наличии его мультипликативного разложения. Эта же проблема перенесена и в алгебраические структуры. Примером может служить т. Лагранжа о подгруппах в полях, кольцах и др. Пока не разложен на множители порядок мультипликативной группы алгебраической структуры теорема не применима. Не получится вычислить в кольцах ни инволюции, ни идемпотенты.
В науке вначале регистрируются наблюдаемые факты, которые накапливаются, обрабатываются, систематизируются и т. п. Со временем эта работа может иметь своим плодом новую теорию. Большинство задач элементарной теории чисел относительно составного числа N могут быть решены только при наличии его мультипликативного разложения. Эта же проблема перенесена и в алгебраические структуры. Примером может служить т. Лагранжа о подгруппах в полях, кольцах и др. Пока не разложен на множители порядок мультипликативной группы алгебраической структуры теорема не применима. Не получится вычислить в кольцах ни инволюции, ни идемпотенты.
Здесь целью является изучение предмета — натурального ряда чисел
Цель и метод её достижения могут очень сильно отличаться внешне. Вы нашли метод в виде изучения структуры сумм и разностей квадратов, при этом сам ряд натуральных чисел предполагает бесконечное количество методов изучения, хотя все они в итоге сведутся к чему-то единому. Но сил одного человека в принципе недостаточно для охвата некоего спектра методов, а потому вы точно не охватите задачу изучения числового ряда. А вот задача изучения структуры таблицы сумм и разностей квадратов вполне может быть решена одним человеком. Поэтому не разбрасывайтесь и дайте себе строгий отчёт в том, что вы изучаете конкретную структуру. Иначе море возможностей разбросает ваши слабые силы по удалённым островкам и результат будет околонулевым.
Большинство задач элементарной теории чисел относительно составного числа N могут быть решены только при наличии его мультипликативного разложения.
Да. Но цель факторизации сильно отличается от цели исследования структуры предложенной таблицы. Поэтому нужно выбрать что-то одно. Таблица позволяет охватить её одному человеку, а методы факторизации можно сочинять множеством способов, что означает отказ от концентрации на чём-то одном. Тут как в охоте на сотню зайцев.
\\Да. Но цель факторизации сильно отличается от цели исследования структуры предложенной таблицы.
Спасибо за советы и за внимание к работе. Редкий случай на Хабре.
Факторизация чисел на, мой взгляд, имеет не одну какую-то определенную цель — а множество. Одна из целей — быть обратной операцией для произведения, что к сожалению в математике еще не осознано. Хотелось бы внести коррекцию в этот вопрос. Начиная со школы, с младших классов учителя так учат детей, их самих видимо так же учили в вузах.
С уважением VAE
Спасибо за советы и за внимание к работе. Редкий случай на Хабре.
Факторизация чисел на, мой взгляд, имеет не одну какую-то определенную цель — а множество. Одна из целей — быть обратной операцией для произведения, что к сожалению в математике еще не осознано. Хотелось бы внести коррекцию в этот вопрос. Начиная со школы, с младших классов учителя так учат детей, их самих видимо так же учили в вузах.
С уважением VAE
Обратная операция для умножения — деление. Если вы хотите как-то по другому определить обратную операцию, то вам нужно быть готовым к противостоянию с традицией, что (уверяю вас) очень даже нелегко.
Разложение на множители, скорее, ближе к разложению в ряд. Хотя это всё вкусовщина о названиях.
Разложение на множители, скорее, ближе к разложению в ряд. Хотя это всё вкусовщина о названиях.
Дело не в моем хотении, а в определениях, которые неправильно интерпретируются.
Обратной операцией к «прямой» считается такая, которая позволяет восстановить исходные данные перед выполнением прямой, располагая лишь ее результатом.
Некто выполнил умножение двух чисел и сообщил вам результат умножения, но не сомножители. Как вы выполните обратную операцию к такому умножению? Или она в этом случае невозможна?
При этом мы знаем, что решение существует и оно единственно и устойчиво. Все условия математической корректности задачи обращения выполнены. Действие (операция) факторизации восстанавливает исходную ситуацию с данными. Поэтому именно факторизация является обратной операцией для умножения.
Не так для суммы. Решение существует, но оно не однозначно, не единственно.
Обратной операцией к «прямой» считается такая, которая позволяет восстановить исходные данные перед выполнением прямой, располагая лишь ее результатом.
Некто выполнил умножение двух чисел и сообщил вам результат умножения, но не сомножители. Как вы выполните обратную операцию к такому умножению? Или она в этом случае невозможна?
При этом мы знаем, что решение существует и оно единственно и устойчиво. Все условия математической корректности задачи обращения выполнены. Действие (операция) факторизации восстанавливает исходную ситуацию с данными. Поэтому именно факторизация является обратной операцией для умножения.
Не так для суммы. Решение существует, но оно не однозначно, не единственно.
Обратной операцией к «прямой» считается такая, которая позволяет восстановить исходные данные перед выполнением прямой, располагая лишь ее результатом.
Я лишь повторюсь — разговор про определения.
По сути же — вы считаете, что всё нужно получать из результата, но у функций бывают множественные аргументы, от которых вы вот так легко отказываетесь. Отказавшись от аргументов, часть из которых могут быть известными, вы отказываетесь от лёгких способов решения задач, то есть предлагаете найти иголку в многомерном стоге сена вместо, например, простого бинарного поиска. Это неэффективно, а потому традиция здесь очень даже уместна.
И про сложение — если подходить к обратным операциям по вашему, то оно полностью аналогично умножению. Конечный результат разложения на множители предполагает нахождение всех множителей. Конечный результат разложения суммы на слагаемые так же предполагает её разложение на минимальные элементы — единицы. Для умножения действует основная теорема арифметики о единственности полного разложения, для сложения действует самоочевидная теорема о единственности способа разложения суммы на неделимые элементы — единицы.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Модель натурального ряда чисел. Столбцы с суммами квадратов