Комментарии 39
Давно я так сильно не погружался в статью, забыв, что за спиной сидит начальник.
Математическая часть статьи замечательная.
А мне было гораздо интересней прочитать про жизнь ученого, чем про его открытие. В конце концов числа — это просто числа...
Вся эта смысловая нагрузка сегодня одна, завтра другая а проблемы показанные на (почти) всем понятных отношениях между людьми — вечные :)
ps нет, сайтом не ошибся:)
Основная идея довольно проста. Возьмём число x от 0 до 1. Будем постепенно заменять x на a x (1 – x). Допустим, мы начнём с x = 1/3, и a =3,2. Тогда вот какие последовательные значения x мы будем получать:
Как происходит замена? x1 = a* x0 (1-x0)?
Мне эта формула напоминает цепь обратной связи операционного усилителя — очень плохого качества. А графики наглядно это демонстрируют.
Сделал фото страниц из старой книжки «Микрокалькуляторы в физике» времен МК-61 как раз о постоянных Фейгенбаума:
И каскады с удвоением периода с его универсальными свойствами вскоре нашлись в целом ряде систем – в жидкостях, оптике и т.д.Даже в химии. Я в своё время занимался изучением реакции Белоусова-Жаботинского, где один из механизмов появления хаоса как раз через каскады удвоения.
концентрировались на разработке атомного оружия (что неизбежно включает в себя изучение поведения жидкостей с сильным течением)
Я не понял. Как это связано?
Надеюсь, не разглашу больших тайн. В начальные моменты сдетонировавший яд. заряд и все его окружение ведут себя, как большая капля жидкости. Оттуда большой интерес к поведению жидкостей и турбулентностей у разработчиков ядерного оружия.
С увеличением a наблюдается каскад удвоения периодов.
не понял фразу, что и где удвояется? — покажите please
Ну вот же: 
На третьей картинке наблюдается период в 2 значения. На четвёртой — период в 4 значения. Где-то между этими картинками период удвоился.
на 3 и 4 периоды примерно равны
на 5 немного больше, — в полтора раза
на 6 еще немного больше, но сказать трудно, где этот период
Вы вовсе не период на 4й картинке отметили, а только его половину.
я до очередного локального минимума провел линию,
Как этот период искать, особенно, если картинка 5 или еще хуже 6?
А при чём тут локальный минимум? Последовательность называется периодической, если в ней циклически повторяются одни и те же элементы. Или, более строго, если она совпадает с любым своим нетривиальным хвостом.
Период последовательности — это тот самый цикл. Ну или минимальный непустой префикс, который следует откинуть чтобы последовательность не изменилась.
Например, у последовательности (1, 101, 2, 102, 1, 101, 2, 102, 1, 101, 2, 102...) период длины 4: (1, 101, 2, 102).
А локальные минимумы и максимумы вообще никак тут не участвуют.
Обратите внимание, что на бифуркационной диаграмме логистического отображения на прямой абсцисс откладывается коэффициент a, а на прямой ординат переменная x отображения: xn+1 = a xn(1 — xn). В этом отображении только одна переменная — x, которая вычисляется сама из себя, т.е. каждый следующий x вычисляется через предыдущий x. Одно такое вычисление называется итерацией. При этом задаётся коэффициент a.
Задают значение коэффициента a (0 < a < 4), выбирают начальный x0 (0 < x < 1), итерируют значение переменной x и смотрят на сходимость.
На диаграмме видно, что при a от 0 до 1, x сходится к 0 (xn+1=xn=0), при a от 1 до 3, x сходится к какому-то одному значению (xn+1=xn), т.е. период сходимости x равен 1.
Самое интересное начинается при коэффициенте a в диапазоне от 3 до 4. В этом диапазоне при одних значениях коэффициента a переменная x может итерироваться с каким-то периодом (например, с периодом 3: xn -> xn+1 -> xn+2 -> xn+3 -> xn+4 -> xn+5 ->..., где xn=xn+3k, n=0,1,2..., k=1,2,3...), а при других значениях коэффициента a в этом диапазоне периодической сходимости x не возникает.
Значения коэффициента a, при которых происходит удвоение периода сходимости x, называют точками бифуркации (или ещё точками фазового перехода). Например, известной точкой бифуркации на бифуркационной диаграмме логистического отображения является a=3, в которой периодичность сходимости x сменяется с 1 на 2.
Вы не могли бы ещё пояснить, есть ли какое-то особое значение «пустые полосы» для значений a = 3.6, 3.7 и 3.8?
Конечно есть. "Пустые полосы" — суть зоны с периодической сходимостью. Например, при
обозначенном Вами коэффициенте a=3,8 (вернее, a≈3,83 или ещё более точно a=1+81/2) переменная x итерируется с периодом 3. Про это можно почитать в Википедии по указанной мной выше ссылке про логистического отображение.
Вводит в заблуждение, что на графиках эволюции х_k показаны начальные х_k, а не предельные.
Я так понимаю, что при а=3 среда, в которой происходит процесс может случайно распасться на 2 фракции изза флуктуаций. Некоторые области a=3+0 начинают жить по одному процессу, а другие a=3-0 живут по другому процессу.
Если это происходит, то применима теория перколяции, которой я в свое время плотно занимался.
График непрерывен, и в точке a=3 поведение вполне определено, нет никакой разницы между a=3+0 и a=3-0.
Иными словами, слева последовательность имеет период длины 1 (2/3), а справа — период длины 2 (2/3, 2/3). Далее от точки a=3 эти два закона разойдутся, но конкретно при a=3 это одна и та же последовательность.
Да, это всё про сходимость и предельные значения, т.е. диаграмма строится при длительных итерациях x. Ну, и, конечно, это всё так же и про степень погрешности, и про скорость сходимости.
Я так понимаю, что при а=3 среда, в которой происходит процесс может случайно распасться на 2 фракции изза флуктуаций.
Я бы сказал, что — это не 2 фракции, а два разных состояния среды. Недаром эти точки ещё называют фазовым переходом.
Некоторые области a=3+0 начинают жить по одному процессу, а другие a=3-0 живут по другому процессу.
Как оказалось, там (точка a=3) не всё так линейно и просто. Похоже, что граница имеет фрактальную структуру, и какой процесс протекает зависит не только от знака малого (-0 или +0), но и от самого этого малого, т.е. масштаба рассмотрения.
Что скрывается за постоянной Фейгенбаума