Модель натурального ряда чисел и его элементов. Ромбы

   

В этой работе сохраняется базовая Г^2± – модель, но принимается другая организация ее клеток (другой рисунок). Поверх первичной решетки с клетками размера 1×1 изображается более крупная сетка – сетка ромбов, а также рассматривается сетка центров ромбов (СЦР). Последняя сетка не изображается, чтобы не перегружать линиями рисунок с ромбами. Мы не будем повторять определения и понятия, которые подробно излагались в предшествующих работах, но дадим указывающие на эти работы ссылки.

Конструктивное описание модели

Через клетки Г^2± – модели, содержащиеся в четных длинных Д_i и коротких K_i диагоналях с числами, оканчивающимися нулями в пределах Г^{2 -} — подмодели, проводятся линии, формирующие крупную сетку ромбов в плоскости. Области ромбов для клеток в совокупности покрывают всю плоскость без разрывов. Каждый ромб содержит 41 клетку из которых только 16 представляют интерес, а при зондировании ромба используются только 4 клетки с фиксированной флексией.

К характеристикам ромбов будем относить:

• число клеток в ромбе;
• значение числа в центральной клетке;
• номера ее горизонтали (Н_i) и вертикали (V_i);
• идентифицирующие клетки для чисел с флексиями 1, 3, 7, 9;
• координаты этих клеток в системе координат ромба с началом в центральной клетке ромба.

Через клетки центров ромбов также строится сетка центров ромбов, узлы которой находятся в клетках на пересечении длинных и коротких диагоналей с номерами кратными числу 5.
Из рисунка с ромбами понятно о какой сетке идет речь. Для иллюстрации особенностей ромбов приводятся изображения пары ромбов в каждой полуплоскости. Эти ромбы приводятся с разметкой идентифицирующих чисел клеток в нижней и другая пара таких ромба в верхней полуплоскостях. Разметка ромбов в полуплоскости ниже диагонали Д₀ различается от разметки ромбов в полуплоскости выше нее, но в пределах одной полуплоскости разметка всех ромбов идентична как для нижней, так и для верхней полуплоскостей. Сущность разметки – локализация клеток с числами, имеющими равные флексии (размечены заливкой клеток одинаковым цветом), заданием их координат x₁, x₀. Обозначенные ромбы будем называть фундаментальными, из них могут формироваться другие ромбы с изменением масштабов изображения.

Центры ромбов нижней полуплоскости – клетки с числами, оканчивающимися двумя цифрами либо 25 при номере горизонтали с флексией 5 и с номером вертикали с флексией 0, либо 75 при номере горизонтали с флексией 0 и с номером вертикали с флексией 5. В верхней полуплоскости Г^{2 +} — подмодели все числа в центральных клетках всех ромбов оканчиваются двумя цифрами 25. Далее рассмотрение ограничим полуплоскостью Г^{2 -}.


_{Рисунок 1— Визуальное представление модели с ромбами}

Определение 1. Фундаментальный ромб – структура Г^2± – модели, ограниченная двумя короткими и двумя длинными диагоналями этой плоскости с номерами, кратными числу 10. Основным элементом, характеризующим ромб, является клетка (х_1ц, х_0ц) его центра. Центр содержит числовое значение N, кратное 5.

Определение 2. Совокупность центров фундаментальных ромбов представляет собой узлы (клетки) сетки центров ромбов (СЦР) пересекающихся коротких и длинных диагоналей, с номерами, кратными 5. Сами ромбы целиком покрывают плоскость Г^2± – модели (принцип паркета).

Все ромбы устроены однотипно, и числа в их клетках с фиксированными окончаниями размещаются в фиксированных позициях (клетках). Это позволяет при решении задачи локализации числа N в некотором определенном ромбе легко это число факторизовать. Десять горизонталей, клетки которых образуют ромб и соседние с ним ромбы (с отличными от него координатами), назовём полосой ромбов. Рассматриваются полосы горизонтальные: Запад-Восток (ЗВ); вертикальные: Север-Юг (СЮ), вдоль коротких диагоналей: Северо-Восток (СВ) и вдоль длинных диагоналей: Северо-Запад (СЗ). Смещение из одного ромба в другой может кроме указания полосы дополняться указанием (вверх-вниз) вдоль названных полос.

Поскольку из определения 2 следует, что совокупность клеток всех ромбов — это все клетки Г^2± – модели, то в одной из клеток (x_1p, x_0p), принадлежащей некоторому ромбу, обязательно находится заданное составное нечетное натуральное число (СННЧ) N(x_1p, x_0p) = N(x₁, x₀). При этом полагаем, что указать такой ромб (определяя координаты его центральной клетки) (x_1ц, x_0ц) можно быстрее, чем выполнить зондирование всех клеток, даже ограничиваясь зондированием только нечетных диагоналей.

Указание такого ромба и нужной клетки в его пределах является решением задачи локализации для заданного числа N(x₁, x₀). Эта задача и ее решение предшествует получению решения ЗФБЧ. Смысл и конечная цель задачи локализации в том, чтобы в определенном ромбе для заданного СННЧ N(x₁, x₀) указать значениями координат клетку (x_1p, x_0p) в Г^2± – модели, в которой находится число, совпадающее с N(x₁, x₀).

В этой статье мы используем механизм установления принадлежности заданного числа N конкретному ромбу и клетке в нем. Этот механизм далеко не лучший, но в предлагаемых примерах прекрасно справляется с задачей. Читателям предлагается либо предложить свой оригинальный, либо усовершенствовать этот механизм.

Наш механизм базируется на открытой автором замечательной закономерности Г^2± – модели: присутствие в горизонталях с номерами, кратными пяти (и в некоторых других), клеток с квадратами элементов пифагоровых троек (ПФТ) <g, k₁, k₂> = <гипотенуза, катет₁, катет₂>. О ПФТ речь еще пойдет в другой работе.

Для упрощения выводов и вычислений нам потребуются три координатные системы: плоскостная, которая уже вводилась, сетевая с другими номерами диагоналей для СЦР (рис. 2) и ромбовая (табл. 1), в которой начало связывается с клеткой центра ромба.


<sub>Рисунок 2. Нумерации (двойные) коротких диагоналей и
распределение центров ромбов на коротких диагоналях

Таблица 1. Определение координат поисковой точки в пределах фиксированного ромба</sub>



В системе СЦР обозначены: номер короткой диагонали n_р, ц — порядковый номер центра на ней, а также общесетевой Ц номер центра, выполнена собственная нумерация коротких диагоналей, начиная от n_р = 1 (в плоскостной системе — это 5-я короткая диагональ), далее номер n_р = 2 (это увеличенный на 10 номер, т.е. 15-я плоскостная К_i) и далее с шагом 10 все остальные. Положение всех клеток центров ромбов в каждой К_i СЦР также нумеруется от ц = 1 до ц = 2n_р удвоенного сетевого номера короткой диагонали.

Пример 1. Пусть требуется найти общесетевой номер Ц центра одного из ромбов и число N в этой клетке при заданных короткой диагонали, проходящей через центры ромбов, ее сетевым номером n_р = 5, и порядкового номера центра ц = 3 одного из ромбов на ней. Достаточно просто представляются сетевые координаты клетки центра этого ромба в виде (n_р, ц) = (5, 3).

1. Найдём плоскостную х₁ координату клетки начала заданной диагонали (нд):
   х₁ = х_нд = 10n_р — 5 = 50 – 5 = 45.
   Для нашего случая получили х₁ = х_нд = 45.
   
2. Теперь можем сразу перейти к поиску плоскостных координат клетки (х_1ц, х_оц) искомого центра: х₁ = х_нд — 5(ц — 1) = 45 – 5(3 — 1) = 35, х₀ = 0 + 5(ц — 1) = 2 ∙ 5 = 10.
   
3. Найдём общесетевой номер центра ромба (Ц).
   
   Замечание. Известно, что для числа х формула 2С_х+1²= x(x+1) — это удвоенное число сочетаний из х+1 по два.
   Количество центров предшествующих короткой диагонали n_р = 5 равно 2n_р (n_р — 1). Тогда порядковый номер Ц сетевого центра задается формулой
   Ц = n_р(n_р -1) + ц = 2С_nр²+ 3 = 5 ∙ 4 + 3 = 23.
   
4. Найдём значение числа N(х_1ц, х_оц) в клетке центра ромба N = x₁² — x₀² — знак в формуле берется в зависимости от положения центра относительно главной диагонали.
   N= 35 ² — 10² = 1125 — для нашего случая.
   

Таким образом, располагая лишь сетевым номером n_р короткой диагонали, проходящей через клетки центров, и текущим номером центра ромба ц на этой диагонали, можно получить всю остальную информацию о центре ромба.

Все представляющие интерес нечетные натуральные числа N принадлежат клеткам ромбов. Локализовать их положение в пределах ромбов позволяет понятие флексии – последней цифры числа. Для факторизации представляют интерес те числа N, которые оканчиваются цифрами 1, 3, 7, 9.

Четные числа в качестве N не рассматриваются, так как имеют простой делитель 2. Числа, оканчивающиеся пятеркой, имеют простой делитель 5, что так же неприемлемо для N. Локализацию конкретного N по флексии внутри ромба целесообразно проводить относительно центра ромба, в контексте того, что центр является важнейшей характеристикой ромба. Исходя из того, что все ромбы имеют одинаковую структуру, существует явная взаимосвязь заданного для факторизации числа N c числами в клетках ромба с определёнными флексиями и в клетке центра ромба. Данные о таких взаимосвязях чисел приведены в табл. 1.

Однако перебирать все ромбы на плоскости, чтобы найти нужный ромб, неприемлемо ни по времени, ни по вычислительным затратам. Таким образом, возникла задача локализовать области Г^{2 -} — подмодели (полуплоскости), включающие такие ромбы, которые бы содержали исходное число N, подлежащее факторизации.

Пифагоровы тройки. Для решения сформулированной задачи используются
пифагоровы тройки — тройки чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора: А именно, пифагоровы тройки, которые удовлетворяют правилу так называемого египетского треугольника, т. е. треугольника со сторонами, кратными числам 3, 4, 5.
В каждой горизонтали х₁, содержащей центры ромбов, находится одна или более таких пифагоровых троек.

Первый ромб в задаче локализации указывается приближенно и при «промахе» следует выбирать следующие ромбы. Для этого необходимо определить направление перемещения по СЦР, так, чтобы постепенно приближаться к конечной цели. Например, если меньшее из 4-х в текущем ромбе чисел меньше заданного N, то Северо-Восточные и Восточные от него ромбы содержат еще меньшие 4-ки чисел, т. е. такие ромбы не должны зондироваться. Перемещение в Западный ромб приводит к такому росту значений во всех 4-х его клетках, что даже меньшее число Западного ромба оказывается больше большего числа предшествующего ромба и, следовательно, больше N. Отсюда решение: перемещаться от ромба к ромбу вверх в СЗ направлении.

Если ромб, содержащий клетку с числом равным N(x_1p, x_0p)= N найден и координаты клетки (x_1p, x_0p) определены, то решение ЗФБЧ определяется основным соотношением Г^2± – модели
N = x²₁ — x²₀ = (x₁ — x₀)(x₁ + x₀) = p ∙ q

Другая подзадача — выбор и реализация последовательности обхода клеток выбранного для зондирования ромба. Здесь принимается порядок обхода против часовой стрелки, начиная с левой верхней клетки, содержащей число с требуемой флексией. В ситуации совпадения значений в клетке ромба N(x_1p, x_0p) и заданным числом N(x₁, x₀) разность между ними получается нулевой.

Алгоритм решения ЗФБЧ, использующий фундаментальные ромбы и ПФТ

1. Извлекаем корень из числа N. Округляем в меньшую сторону.
   
2. Проверяем, делится ли √N на 3. Если делится, то присваиваем это значение первому катету k1, в противном случае для выполнимости свойства делимости на 3 вычитаем из результата 1 или 2, и заносим в память как k1. Результат деления нацело подобранного значения на три М = √N/3 — масштабирующий ПФТ коэффициент запоминаем.
   
3. Получаем значение для второго катета k₂, согласно правилу египетского треугольника, k₂ = 4 ∙ M.
   
4. Находим значение гипотенузы g = 5 ∙ M, причём значение х₁ = g должно делиться на число пять. Как видим, значение гипотенузы всегда равно номеру горизонтали с ПФТ.
   
5. Находим координату х₁= g.
   
6. После этого определяем флексию (последнюю цифру) числа N, ф = N(mod10).
   
7. Находим центр ромба, ближайший к k1 и далее исследуем смежные ромбы в одной из полос ромбов (имеется 4 направления) для отыскания решения.
   
8. В зависимости от того, какую флексию получим в пункте 6, используем нужную колонку (маску) из представленных в табл. 1 для определения координат поисковой точки (x_1p, x_0p) и находим значение числа в этой клетке N_р. В каждом ромбе проверяется из 41-й клетки в нем только 4 клетки.
   
9. После установления принадлежности числа N к определённому ромбу и клетке в нем, исходя из всё той же табл. 1 получим плоскостные координаты N: (x_1p, x_0p).
   
10. Используя свойства выбранной математической модели
    N = x²₁ — x²₀ = (x₁ — x₀)(x₁ + x₀) = p ∙ q
    получим мультипликативное представление N из аддитивного.
    
11. Таким образом, на выходе алгоритма имеем: N = p ∙ q. В зависимости от значения флексии ф по формулам в табл. 1 определяются координаты точки (x_1p, x_0p) и вычисляется значение разности ∆ = N(x_1p, x_0p) — N(x₁, x₀). Если ∆ ≠ 0, то переход к другой клетке, если все клетки ромба проверены, то к другому ромбу.
    Если ∆ = 0, то x₁ = x_1p, x₀ = x_0p и р = (x₁ — x₀), q = N/p = (x₁ + x₀).
    

Пример 2. Дано: N = 1037, число с разрядностью 4. Требуется его факторизовать. Действуем по приведенному алгоритму.

1. Извлекаем корень из N: √N = 32.202. Округляем в меньшую сторону: √N = 32.
2. Проверяем, делится ли 32 на 3. Так как 32 на 3 не делится, то вычитаем 2. Итак, полагаем, что первый катет равен k₁ = 3 ∙ 10 = 30, здесь М =10=30/3 масштабирующий коэффициент ПФТ.
3. Получаем значение для второго катета k₂ = 4 ∙ 10 =40.
4. Находим значение гипотенузы g =(k²₁ +k²₂) ^0.5 при условии, что она делится на 5, (30²+40²)^0.5 = 50.
5. Таким образом х1 = k1= 50 и ПФТ преображается к виду g = 50, k₁=30, k₂=40.
6. Находим флексию числа N: ф(1037) = 1037(mod10) = 7.
7. Находим ближайший к N = 1037 центр ромба.
   Он будет иметь координаты центральной клетки ромба: x₁= 50, x₀ = 35. Первая координата — номер строки, содержащей ПФТ. Квадрат меньшего катета равен 900, содержится в вертикали с номером 40. Клетка с числом 957, оканчивающимся семеркой, ближайшая к 900, лежит в предшествующей горизонтали с номером 49 и в вертикали с номером 38. Это меньшее число из 4-х в ромбе и с флексией 7. Здесь используются данные таблицы 1. Ближайший центр ромба должен быть левее на три клетки, т. е. принадлежит вертикали 38 — 3 = 35, это и есть вторая координата центра ромба. Значение числа в клетке центра ромба равно N(50, 35) = 1275
   
   Это ромб, имеющий квадраты катетов k₁ и k₂ на своих границах. В пределах этого ромба min число, оканчивающееся семеркой 957 в клетке (х₁ = 49, х₀ = 38), и другое число в этой вертикали, оканчивающееся 7-ой 1157, большие числа 1377 и 1577 лежат левее центральной клетки, совпадений с числом N = 1037 нет, следовательно, необходимо подняться в ромб левее и выше со значением в центральной клетке 1125 и с координатами центральной клетки (х₁= 50 — 5 = 45, х₀ =35 — 5 = 30) Проверяем четверку чисел на флексию 7. Это 847, 1027, 1207 и 1387 и в этом ромбе совпадений с N = 1037 нет), поднимемся еще выше в этом же направлении по полосе СЗ ромбов. Клетка центра нового ромба имеет значение 975 и координаты (х₁ = 45 -5 = 40, х₀= 35 — 5 = 25). Проверяем в этом ромбе четверку чисел на флексию 7. Это 737, 897, 1197 и наконец получаем 1037 в клетке (х_1р= 39, х_0р = 22) получили полное совпадение с заданным N.
   
   Детально эти действия представляются следующими вычислениями.В соответствии с таблицей 1 вычисляем координаты клеток и значения числа в них. После этого находим разности вычисленного и заданного значений N. В первом ромбе вычисляются все 4 клетки.
   
   ∆ = N(x_1ц-1, x_0ц-3) — N(x₁, x₀)= N(49,32) — 1037 = 1377 — 1037 = 340 ≠ 0,
   ∆ = N(x_1ц+1, x_0ц-3) — N(x₁, x₀)= N(51,32) — 1037 = 1577 — 1037 = 540 ≠ 0,
   ∆ = N(x_1ц+1, x_0ц+3) — N(x₁, x₀)= N(51,38) — 1037 = 1157 — 1037 = 120 ≠ 0,
   ∆ = N(x_1ц-1, x_0ц+3) — N(x₁, x₀)= N(49,38) — 1037 = 957 — 1037 = — 80 ≠ 0.
   В этом ромбе совпадения числа N с числами в клетках нет.
   
   Переходим в следующий ромб с центром в клетке (x_1ц-5, x_0ц-5) = (45, 30) и значением в ней N(x_1ц — 5, x_0ц — 5) = N(45, 30) = 1125.
   ∆ = N(x_1ц-1, x_0ц-3) — N(x₁, x₀) = N(44,27) — 1037 = 1207 — 1037 = 170 ≠ 0,
   ∆ = N(x_1ц+1, x_0ц-3) — N(x₁, x₀) = N(46,27) — 1037 = 1387 — 1037 = 350 ≠ 0,
   ∆ = N(x_1ц+1, x_0ц+3) — N(x₁, x₀) = N(46,33) — 1037 = 1027 — 1037 = — 10 ≠ 0,
   ∆ = N(x_1ц-1, x_0ц+3) — N(x₁, x₀) = N(44,33) — 1037 = 847 — 1037 = — 190 ≠ 0.
   В этом ромбе совпадения числа N с числами в клетках также нет.
   
   Переходим в следующий ромб с центром в клетке (x_1ц-5, x_0ц-5) = (40, 25) и значением в ней N(x_1ц — 5, x_0ц — 5) = N(40, 25) = 975
   ∆ = N(x_1ц-1, x_0ц-3) — N(x₁, x₀)= N(39,22) — 1037 = 1037 — 1037 = 0.
   Получили нулевую разность значений. Имеет место полное совпадение. Из этого следует, что заданное число N(x₁, x₀) = 1037 содержится в клетке с координатами (x_1р, x_0р) = (39, 22) Окончательно решение ЗФБЧ определяется основным соотношением Г^2± – модели
   N = x²₁ — x²₀ = (x₁ — x₀)(x₁ + x₀) = (39 — 22) (39 + 22) = p ∙ q = 17∙61.
   
8. Можно действовать иначе.Начиная с ромба, указанного в пункте 6, используя табл. 1, выясняем принадлежность числа N к тому или иному ромбу, перемещаясь между центрами ромбов сначала по горизонтали, в сторону главной диагонали, затем смещаясь вниз на следующую полосу ромбов и повторяя всё снова.
9. После установления принадлежности числа N к определённому ромбу (в нашем случае ромб будет иметь координаты (х₁= 40, х₀ = 25) ) исходя из той же табл. 1 получим координаты N: х_1р = 39, х_2р = 22 (просмотрено 9 ромбов).
10. Используя свойства выбранной математической модели числа
    N = x²₁ — x²₀ = (x₁ — x₀)(x₁ + x₀) =p ∙ q
    получим мультипликативное представление N из аддитивного:
    N = (39 — 22)(39 + 22) = 17 ∙ 61 = 1037.

Таким образом, на выходе имеем N = p · q = 17 · 61 = 1037, т. е. решение задачи получено успешно.

Получим также результат программного решения задачи в примере 3.

Пример 3. Дано: N= 3808572773, число с разрядностью 10.

1. Извлекаем корень из N: √N = 61713, 64 = 61713.
2. Проверяем, делится ли 61713 на 3. Так как 61713 по признаку делимости на 3,
   6 + 1 + 7 + 1 + 3 = 18 делится на 3, то первый катет k₁ равен k₁ = 61713.
3. Получаем второй катет k₂ = 4k₁/3 => 4k₂/3 = 82284.
4. Находим гипотенузу g =√k₁₂+k₂₂, при условии, что она делится на
   5 · g = √617132 + 822842 = 102855.
5. Таким образом x₁ = k₁ = 61713, и пифагорова тройка преображается соответственно к виду k₁ = 61713, k₂ = 82284, g = 102855.
6. Находим флексию числа N: ф(3808572773) = 3808572773(mod10) = 3.
7. Находим ближайший центр ромба. Он будет иметь координаты x₁ = 61715; x₉ = 0.
8. Начиная с ромба, указанного в пункте 7, используя данные табл. 1, выясняем принадлежность числа N к тому или иному ромбу, перемещаясь между центрами ромбов сначала по горизонтали, в сторону главной диагонали, затем смещаясь на следующую полосу ромбов и, повторяя всё снова.
9. После установления принадлежности числа N к определённому ромбу (в нашем случае центр ромба будет иметь координаты x₁ = 62015, x₀ = 6085) получаем N:
   x_1p = 62013; x_0p = 6086; (исследовано 60 ромбов).
10. Используя свойства выбранной математической модели
    N = x²₁ — x²₀ = (x₁ — x₀)(x₁ + x₀) =p ·q получим мультипликативное представление N из аддитивного:
    N = (62013 — 6086) · (62013 + 62086) = 55927 · 68099 = 3808572773;
11. Таким образом, на выходе имеем N = p · q = 55927 · 68099 = 3808572773, т. е. решение задачи получено успешно.