В Древнем Египте математики не пользовались доказательствами. Все их утверждения были лишь эмпирически обоснованы. Но тем не менее, пирамиды стояли, а самолеты летали. И, наверное, никто бы и не требовал строгих доказательств, если бы не желание что-то опровергнуть. Вместе с греками математика обрела новую жизнь, в которой появились такие задачи, как квадратура круга, иррациональность корня из двух и задача о трисекции угла. С этого момента потребовались аксиомы, законы логики и теоремы. Современную же математику интересует еще и то, что возможно доказать, а что — нет. Продвижением стали теоремы Геделя о неполноте, формализация логики и Теория доказательств. Я предлагаю теорию и одну аксиому, которая поможет ответить на часть оставшихся вопросов и обозначить границы нашего сознания. В частности, это вопросы полноты, проблема равенства и аксиоматизация нашего воображения.
Теория объектов
Математическая логика изучает связи между утверждениями, но не их внутреннюю структуру. Но давайте попробуем формализовать сами утверждения. Пусть у нас есть некоторые объекты. Мы не будем от них требовать быть множествами или чем-то еще. Теперь пусть для любой упорядоченной пары объектов задан третий объект – их “взаимосвязь”. Записывать будем так:
Полученную структуру можно определить как магму (множество с бинарной операцией), но не на каком-то множестве, а совершенно произвольную. И теперь определим утверждение как алгебраическое равенство (или неравенство) в заданной магме.
Теперь я объясню, как именно это определение отражает внутреннюю структуру высказываний. Например, пусть нам дано следующее утверждение:
Маркер может покрасить доску в синий цвет.
Запишем это как равенство:
– применяя маркер (
) на доску (), мы получим синюю доску ().
Теперь более сложный пример:
Человек бежит под дождем на улице.
Тут стоит заметить, что «Делать», «Иметь на себе» — тоже объекты. Такая система задает именно наше утверждение. Конечно, подобная конструкция может выглядеть дико и неудобно, но нам важна лишь сама возможность такого представления. Далее будут более содержательные примеры.
Как вы уже наверняка заметили, мы не требуем ничего от объектов, кроме как некоторой их связи с другими. И это правильно. Например, все определения из словаря даны как связь с другими словами. Точка и прямая – неопределяемые понятия, но определены все их взаимосвязи. Это наталкивает нас на одну важную мысль.
Любая аксиоматическая система задана связями объектов. Например, если найдутся пары таких объектов, которые ведут себя относительно друг друга точно так же, как и прямая с точкой, то это они и будут. Самый тривиальный пример – некоторое семейство множеств, где элементы – это точки. Пересечение любых двух множеств – либо единственный элемент, либо пустое множество. И пусть любые три элемента однозначно задают все множество и так далее. То есть если я просто переименую объекты, то ничего не изменится.
Аксиоматика – это магма.
Мы не просим магму быть заданной на множестве, так как не существует множества всех множеств:
Будем говорить, что аксиоматика противоречива, если в ней нет объектов и непротиворечива, если существует хотя бы один объект.
Полученные нами определения для удобства назовем Теорией объектов или классической Теорией объектов.
Воображение
Раз Теория объектов тоже аксиоматика, то ее можно описать на своем же языке объектов. То есть, нам хотелось бы описать всевозможные объекты во всевозможных аксиоматиках. Не строго говоря, нам нужно математическое описание человеческого воображения. Я предлагаю следующую единственную аксиому для этого:
Ее можно описать как «существует все, что вы можете себе представить». Заметим, что мы не требуем существования хотя бы одного объекта. Это сделано для того, чтобы непротиворечивость аксиоматики была эквивалента существованию хотя бы одного объекта. Теперь докажем несколько теорем:
Теорема 1. Теория объектов или является пустым множеством, или не является множеством.
Теорема 2. Существует объект, для которого не определенно, является ли он множеством или нет.
Следствием второй теоремы является континуум гипотеза. Ее можно переформулировать так: является ли множеством объект, мощность которого больше мощности счетного множества, но меньше континуума?
Назовем аксиоматику малой, если существует множество всех ее объектов и большой, если нет.
Теорема 3. Любая большая аксиоматика неполна.
Это приводит нас к границам человеческого сознания. Всегда будут утверждения, которые мы не сможем ни доказать, ни опровергнуть. И это, как оказывается, следствие парадокса Кантора. Частным случаем этого является Теорема Геделя. Отсюда следует и неполнота Теории объектов. Мы не сможем однозначно сказать, что является объектом, а что нет. Например, щит, который невозможно сломать, является объектом или нет? А меч, который все ломает? Тем не менее, вместе они существовать не могут. И сделав один такой выбор, придется сделать его еще и еще раз.
Назовем два объекта
и 
равными, если:
И равными для множества
, если:
Пусть дано два объекта. Расщеплением двух объектов и назовем такой объект 
, что:
Так как любые два объекта образуют множество, то для любых двух объектов существует расщепление. Следовательно:
Теорема 4. Равных объектов не существует.
Нестрого говоря, в математике не существует равенства, есть только изоморфизмы.
Например, представьте себе, что есть двое близнецов, которые внешне абсолютно одинаковы. Для множества людей, взятых с улицы, это один и тот же человек, лишь его копия. Но для матери, это два разных человека. Поэтому относительно людей, они — равны, а относительно матери – нет. Мы можем говорить лишь, что близнецы изоморфны для людей, но не равны. В связи с теоремой 4 можно получить весьма парадоксальный результат. Пусть нам дан некоторый объект
. И нам хотелось бы, чтобы хоть 
. Но давайте дадим объекту для удобства еще и имя 
, просто обозначение. Тогда, должно быть, 
. Но теперь я могу думать об этих объектах, как о двух разных и найти их расщепление. То есть, как не парадоксально, но A не равно и самому себе. То есть нет ни одного верного утверждения про объект в Теории объектов.
Действительно, все дело в том, что мы не можем однозначно сказать, какой объект мы имеем в виду. Мы можем задать объект лишь для некоторого множества, но таких объектов бесконечно много. Более того, их больше, чем любое множество. Поэтому, говоря объект A, мы имеем в виду, что нам неважно какой из объектов с нужными нам свойствами мы имеем в виду. Но для любого объекта мы сможем придумать такое свойство, которые будет их различать. Например: имя, длина описания, форма, местоположение и так далее. Однако, это, вообще говоря, не значит, что мы не можем выбрать произвольный объект или их факторизацию.
Прикладной смысл
Будем называть аксиоматику перечислимой, если множество ее утверждений (равенств и неравенств) – перечислимо. Как следует из определения, для перечислимой аксиоматики существует алгоритм, который может автоматически доказывать теоремы и формулировать новые. Более того, исходя из нашего определения утверждений, такой алгоритм будет идентичен алгоритму, работающему с некоторой алгебраической структурой. Такая интерпретация потенциально реализует давнюю мечту избавить математиков от придумывания доказательств.
Инопланетное мышление
В Теории категорий есть категория
. Объектами этой категории являются множества. Это значит, что Теория категорий с не может быть сформулирована на языке классической Теории объектов, так как она работает с совокупностью объектов, больших чем множество ( – большая категория). Но, чтобы это исправить, достаточно построить Теорию ультра-множеств. Пусть ультра-множество состоит или из элементов, или из множеств. Тогда существует ультра-множество, содержащее в себе все множества. Теперь заменив в аксиоме воображения понятия множества на понятие ультра-множества, получим желаемый результат. В полученной Теории объектов мы уже сможем однозначно определить понятие множества. Такой процесс можно проделывать не один раз, причем в обе стороны, так как ультра-множества, содержащее в себе все ультра-множества не существует. Это приводит к появлению альтернативных Теорий объектов. Но этим дело не ограничивается.
Одна из областей Теории категорий – это Теория топосов. Она описывает все такие пространства, в которых есть понятие элемента и «лежать в». Частным случаем является классическая Теория множеств. Так же, как известно, любая теория множеств задает однозначно некоторую логику. Поэтому топосы описывают еще и всевозможные логики. Теперь если мы еще раз посмотрим на нашу аксиомы воображения, то мы заметим в ней след нашего «родного» топоса. Понятие «лежать в»: "
", а бинарная логика лежит в понятие равенства. Ведь или 
или 
.
Теоретически, мы можем переформулировать Теорию объектов на любой другой топос, получив тем самым непривычный для нас мир со своими законами. Один из фактов из Теории топосов – это независимость континуум гипотезы. То есть, что эта проблема существует и в других топасах. Видимо, практически всё будет иметь там аналогичный вид. Однако, возможно, что встретятся и весомые отличия, наталкивающие нас на новые идеи.
Вывод
Итогами наших исследований являются: формализация внутренней структуры логических утверждений, аксиома воображения, Теория объектов и четыре теоремы. Последние утверждают об отсутствии глобальных равенств в математике, неполноте больших аксиоматик и выводе некоторых ранее известных результатов и их обобщение простым путем (Континуум гипотеза и Теорема Геделя). Описание же структуры логических утверждений имеет и прикладной смысл, позволяющий более удобно понимать смысл предложений, разбивая их на системы алгебраических равенств. Дальнейшее же развитие предполагает поиск такой логики (топоса), в которой большие аксиоматики будут полны. Это даст возможность для единой аксиоматизации всей математики (теория всего).
Дополнительная литература
Теория категорий для программистов.
Автоматическое доказательство теорем. Презентация.
Теория топосов
Теория объектов
Математическая логика изучает связи между утверждениями, но не их внутреннюю структуру. Но давайте попробуем формализовать сами утверждения. Пусть у нас есть некоторые объекты. Мы не будем от них требовать быть множествами или чем-то еще. Теперь пусть для любой упорядоченной пары объектов задан третий объект – их “взаимосвязь”. Записывать будем так:
Полученную структуру можно определить как магму (множество с бинарной операцией), но не на каком-то множестве, а совершенно произвольную. И теперь определим утверждение как алгебраическое равенство (или неравенство) в заданной магме.
Теперь я объясню, как именно это определение отражает внутреннюю структуру высказываний. Например, пусть нам дано следующее утверждение:
Маркер может покрасить доску в синий цвет.
Запишем это как равенство:
– применяя маркер () на доску (), мы получим синюю доску ().Теперь более сложный пример:
Человек бежит под дождем на улице.
Тут стоит заметить, что «Делать», «Иметь на себе» — тоже объекты. Такая система задает именно наше утверждение. Конечно, подобная конструкция может выглядеть дико и неудобно, но нам важна лишь сама возможность такого представления. Далее будут более содержательные примеры.
Почему отношение бинарное?
Мы используем именно бинарное отношения для удобства. Несложно увидеть, что, например, тернарное отношение тождественно нашему. Отношение любой пары объектов дает нам представление об всей картины в целом.
Как вы уже наверняка заметили, мы не требуем ничего от объектов, кроме как некоторой их связи с другими. И это правильно. Например, все определения из словаря даны как связь с другими словами. Точка и прямая – неопределяемые понятия, но определены все их взаимосвязи. Это наталкивает нас на одну важную мысль.
Любая аксиоматическая система задана связями объектов. Например, если найдутся пары таких объектов, которые ведут себя относительно друг друга точно так же, как и прямая с точкой, то это они и будут. Самый тривиальный пример – некоторое семейство множеств, где элементы – это точки. Пересечение любых двух множеств – либо единственный элемент, либо пустое множество. И пусть любые три элемента однозначно задают все множество и так далее. То есть если я просто переименую объекты, то ничего не изменится.
Аксиоматика – это магма.
Пример: Теория Множеств
…
…
Мы не просим магму быть заданной на множестве, так как не существует множества всех множеств:
Будем говорить, что аксиоматика противоречива, если в ней нет объектов и непротиворечива, если существует хотя бы один объект.
Полученные нами определения для удобства назовем Теорией объектов или классической Теорией объектов.
Воображение
Раз Теория объектов тоже аксиоматика, то ее можно описать на своем же языке объектов. То есть, нам хотелось бы описать всевозможные объекты во всевозможных аксиоматиках. Не строго говоря, нам нужно математическое описание человеческого воображения. Я предлагаю следующую единственную аксиому для этого:
Ее можно описать как «существует все, что вы можете себе представить». Заметим, что мы не требуем существования хотя бы одного объекта. Это сделано для того, чтобы непротиворечивость аксиоматики была эквивалента существованию хотя бы одного объекта. Теперь докажем несколько теорем:
Теорема 1. Теория объектов или является пустым множеством, или не является множеством.
Доказательство
Пусть Теория объектов — это множество. Обозначим его за 
. Если оно пусто, то доказано. Если нет, то, воспользовавшись аксиомой воображения, должен существовать такой объект , что:
Но при этом должен существовать такой объект h, что:
Противоречие. Значит, или пусто или не существует (не является множеством). Что и требовалось доказать.
Нестрогий пример весьма типичен: меч, который может все сломать и щит который сломать нельзя. А раз они оба могут существовать, а их свойства распространяются только на некоторое множество, но Теория объектов — больше, чем множество.
. Если оно пусто, то доказано. Если нет, то, воспользовавшись аксиомой воображения, должен существовать такой объект , что:
Но при этом должен существовать такой объект h, что:
Противоречие. Значит, или
пусто или не существует (не является множеством). Что и требовалось доказать.Нестрогий пример весьма типичен: меч, который может все сломать и щит который сломать нельзя. А раз они оба могут существовать, а их свойства распространяются только на некоторое множество, но Теория объектов — больше, чем множество.
Теорема 2. Существует объект, для которого не определенно, является ли он множеством или нет.
Доказательство
Пусть в Теории множеств существует некоторый объект, который при умножении на него множества и только его выдает единицу. Тогда этот объект определен на всех множествах. Но не существует множества всех множеств. Следовательно, этот объект определен на больше чем множестве. Его существование не доказуемо и не опровержимо. Но так как все объекты из аксиоматики мы определяем на множестве, то такого объекта в Теории множеств быть не может. Что и требовалось доказать.
Следствием второй теоремы является континуум гипотеза. Ее можно переформулировать так: является ли множеством объект, мощность которого больше мощности счетного множества, но меньше континуума?
Назовем аксиоматику малой, если существует множество всех ее объектов и большой, если нет.
Теорема 3. Любая большая аксиоматика неполна.
Доказательство
Пусть в аксиоматике существует объект, определяющий истинность того или иного утверждения про объекты. Теперь для каждого объекта сформулируем утверждение. Таким образом, утверждений не меньше, чем объектов. Так как аксиоматика большая, то не существует множества всех объектов. Но предполагаемый объект должен быть определен на всех этих объектах. Значит, в аксиоматике его быть не может. Противоречие. Значит существует такое утверждение, истинность которого не определена. Значит аксиоматика неполна. Что и требовалось доказать.
Это приводит нас к границам человеческого сознания. Всегда будут утверждения, которые мы не сможем ни доказать, ни опровергнуть. И это, как оказывается, следствие парадокса Кантора. Частным случаем этого является Теорема Геделя. Отсюда следует и неполнота Теории объектов. Мы не сможем однозначно сказать, что является объектом, а что нет. Например, щит, который невозможно сломать, является объектом или нет? А меч, который все ломает? Тем не менее, вместе они существовать не могут. И сделав один такой выбор, придется сделать его еще и еще раз.
Назовем два объекта
и равными, если:И равными для множества
, если:Пусть дано два объекта. Расщеплением двух объектов
и назовем такой объект , что:
Так как любые два объекта образуют множество, то для любых двух объектов существует расщепление. Следовательно:
Теорема 4. Равных объектов не существует.
Нестрого говоря, в математике не существует равенства, есть только изоморфизмы.
Например, представьте себе, что есть двое близнецов, которые внешне абсолютно одинаковы. Для множества людей, взятых с улицы, это один и тот же человек, лишь его копия. Но для матери, это два разных человека. Поэтому относительно людей, они — равны, а относительно матери – нет. Мы можем говорить лишь, что близнецы изоморфны для людей, но не равны. В связи с теоремой 4 можно получить весьма парадоксальный результат. Пусть нам дан некоторый объект
. И нам хотелось бы, чтобы хоть . Но давайте дадим объекту для удобства еще и имя , просто обозначение. Тогда, должно быть, . Но теперь я могу думать об этих объектах, как о двух разных и найти их расщепление. То есть, как не парадоксально, но A не равно и самому себе. То есть нет ни одного верного утверждения про объект в Теории объектов.Действительно, все дело в том, что мы не можем однозначно сказать, какой объект мы имеем в виду. Мы можем задать объект лишь для некоторого множества, но таких объектов бесконечно много. Более того, их больше, чем любое множество. Поэтому, говоря объект A, мы имеем в виду, что нам неважно какой из объектов с нужными нам свойствами мы имеем в виду. Но для любого объекта мы сможем придумать такое свойство, которые будет их различать. Например: имя, длина описания, форма, местоположение и так далее. Однако, это, вообще говоря, не значит, что мы не можем выбрать произвольный объект или их факторизацию.
Прикладной смысл
Будем называть аксиоматику перечислимой, если множество ее утверждений (равенств и неравенств) – перечислимо. Как следует из определения, для перечислимой аксиоматики существует алгоритм, который может автоматически доказывать теоремы и формулировать новые. Более того, исходя из нашего определения утверждений, такой алгоритм будет идентичен алгоритму, работающему с некоторой алгебраической структурой. Такая интерпретация потенциально реализует давнюю мечту избавить математиков от придумывания доказательств.
Инопланетное мышление
В Теории категорий есть категория
. Объектами этой категории являются множества. Это значит, что Теория категорий с не может быть сформулирована на языке классической Теории объектов, так как она работает с совокупностью объектов, больших чем множество ( – большая категория). Но, чтобы это исправить, достаточно построить Теорию ультра-множеств. Пусть ультра-множество состоит или из элементов, или из множеств. Тогда существует ультра-множество, содержащее в себе все множества. Теперь заменив в аксиоме воображения понятия множества на понятие ультра-множества, получим желаемый результат. В полученной Теории объектов мы уже сможем однозначно определить понятие множества. Такой процесс можно проделывать не один раз, причем в обе стороны, так как ультра-множества, содержащее в себе все ультра-множества не существует. Это приводит к появлению альтернативных Теорий объектов. Но этим дело не ограничивается.Одна из областей Теории категорий – это Теория топосов. Она описывает все такие пространства, в которых есть понятие элемента и «лежать в». Частным случаем является классическая Теория множеств. Так же, как известно, любая теория множеств задает однозначно некоторую логику. Поэтому топосы описывают еще и всевозможные логики. Теперь если мы еще раз посмотрим на нашу аксиомы воображения, то мы заметим в ней след нашего «родного» топоса. Понятие «лежать в»: "
", а бинарная логика лежит в понятие равенства. Ведь или или .Теоретически, мы можем переформулировать Теорию объектов на любой другой топос, получив тем самым непривычный для нас мир со своими законами. Один из фактов из Теории топосов – это независимость континуум гипотезы. То есть, что эта проблема существует и в других топасах. Видимо, практически всё будет иметь там аналогичный вид. Однако, возможно, что встретятся и весомые отличия, наталкивающие нас на новые идеи.
Вывод
Итогами наших исследований являются: формализация внутренней структуры логических утверждений, аксиома воображения, Теория объектов и четыре теоремы. Последние утверждают об отсутствии глобальных равенств в математике, неполноте больших аксиоматик и выводе некоторых ранее известных результатов и их обобщение простым путем (Континуум гипотеза и Теорема Геделя). Описание же структуры логических утверждений имеет и прикладной смысл, позволяющий более удобно понимать смысл предложений, разбивая их на системы алгебраических равенств. Дальнейшее же развитие предполагает поиск такой логики (топоса), в которой большие аксиоматики будут полны. Это даст возможность для единой аксиоматизации всей математики (теория всего).
Дополнительная литература
Теория категорий для программистов.
Автоматическое доказательство теорем. Презентация.
Теория топосов
