Открыть список
Как стать автором
Обновить

Операции над комплексными числами

Математика
Здравствуй, %username%!
Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
Приятного чтения!

Итак, перейдем к более интересным и чуть более сложным операциям.
Я расскажу про показательную форму комлексного числа,
возведение в степень, квадратный корень, модуль, а также про синус и
косинус комплексного аргумента.
Думаю, начать стоит с модуля комплексного числа.
Комплексное число можно представить на оси координат.
По x будут расположены вещественные числа, а по y мнимые.
Это называется комплексная плоскость. Любое комплексное число, например

$z=6+8i$


очевидно можно представить как радиус-вектор:

Формула расчета модуля будет выглядить так:

$ r = |z| = \sqrt(x^2+y^2) $


Получается, что модуль комплексного числа z будет равен 10.
В прошлой части я рассказал про две формы записи комплексного числа:
алгебраическую и геометрическую. Есть еще показательная форма записи:

$z=r\:e^{i\phi}$


Здесь r — это модуль комплексного числа,
а φ — это arctg(y/x), если x>0
Если x<0,y>0 то

$φ=arctg(y/x)+\pi$


Если x<0,y<0 то

$φ=arctg(y/x)-\pi$


Есть замечательная формула Муавра, которая позволяет возвести комплексное число в
целую степень. Она была открыта французким математиком Абрахом де Муавром в 1707 году.
Выглядит она вот так:

$z^n=r^n{(cos(\phi) + i*sin(\phi))}^n$


В результате можем возвести число z в степень a:

$z.x=|z|^a*cos(a*arctg(y/x))$


$z.y=|z|^a*sin(a*arctg(y/x))$


Если Ваше комплексное число записано в показательном виде, то
можно использовать формулу:

$z^k=r^ke^{ik\phi}$


Теперь, зная как находится модуль комплексного числа и формулу Муавра, можем найти
n корень из комплексного числа:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\;cos{\frac{\phi+2\pi k}{n}}+i*sin{\frac{\phi+2\pi k}{n}}$


Здесь k это числа от 0 до n-1
Из этого можно сделать вывод, что существует ровно n различных корней n-ой
степени из комплексного числа.
Перейдем к синусу и косинусу.
Расчитать их нам поможет знаменитая формула Эйлера:

$e^{ix}=cos({x})+i*sin({x})$


Кстати, еще существует тождество Эйлера, которое является частным
случаем формулы Эйлера при x=π:

$e^{iπ}+1=0$


Получаем формулы для вычисления синуса и косинуса:

$sin\:z=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{{2i}}$


$cos\:z=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{{2}}$


Под конец статьи нельзя не упомянуть практическое применение комплексных
чисел, чтобы не возникало вопроса
image
сдались эти комплексные числа?
Ответ: в некоторых областях науки без них никак.
В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.
Надеюсь, теперь вы умеете оперировать комплексными числами и сможете
применять их на практике.
Если что-то в статье непонятно — пишите в комментариях, отвечу.
Теги:математикакомплексные числа
Хабы: Математика
Всего голосов 16: ↑8 и ↓8 0
Просмотры4.2K

Комментарии 11

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Похожие публикации

iOS-разработчик с нуля
14 апреля 202187 900 ₽Нетология
Web-разработчик на Python
15 апреля 202149 000 ₽OTUS
Машинное обучение
15 апреля 202156 000 ₽Нетология
STYL
15 апреля 202171 500 ₽XYZ School
Системный аналитик. Advanced
15 апреля 202145 000 ₽OTUS

Лучшие публикации за сутки