8 августа 2015

Магия тензорной алгебры: Часть 18 — Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Математика

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


Прошлая статья должна была быть о численном моделировании эффекта Джанибекова, но мне внезапно пришла в голову мысль, что этот эффект можно исследовать качественно, пусть и довольно приближенным первым методом Ляпунова. Однако, численное моделирование тоже весьма интересный вопрос, тем более лежащий в плоскости моих исследовательских задач. Поэтому, сегодня мы
  1. Окончательно определимся с тем, как использовать параметры Родрига-Гамильтона для описание ориентации тела в пространстве
  2. Рассмотрим формы представления уравнений движения свободного тела: покажем как тензорные уравнения можно превратить в матричные и компонентные.
  3. Выполним моделирование движения свободного твердого тела при различных соотношениях между главными моментами инерции и покажем, как проявляет себя эффект Джанибекова.


1. Дифференциальные уравнения свободного движения в тензорной форме


Мы уже не раз рассматривали эти уравнения в векторном виде

\begin{align*}
&m \, \vec a_{c} = \sum \vec F_k^{\,e} \\
&\mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = \sum \vec M_{c}(\vec F_k^{\,e}) 
\end{align*}

Векторная форма записи удобна для общего анализа характера зависимостей, она привычна и в ней видно, что означает конкретное слагаемое. Однако, для дальнейшего преобразования уравнений в форму, удобную для моделирования, перейдем к тензорной записи

\begin{align*}
&m \, \left(\ddot x^{\,i} + \Gamma_{\,kl}^{\,i} \, \dot x^{\,k} \, \dot x^{\,l} \right) = X^{\,i} \\
&I_{\,j}^{\,i} \, \dot\omega^{j} + \varepsilon^{\,ijk} \, \omega_{\,j} \, g_{\,kl} \, I_{\,p}^{\,l} \, \omega^{\,p} = M^{i}
\end{align*}

где x^{\,i} — контравариантные координаты центра масс тела; X^{\,i} — контравариантные компоненты главного вектора внешних сил, приложенных к телу; M^{\,i} — контравариантные компоненты главного момента внешних сил, приложенных к телу.

Система уравнений (2) уже является замкнутой, интегрируя её можно получить закон движения центра масс и зависимость угловой скорости тела от времени. Но, нас ещё будет интересовать ориентация тела, поэтому дополним данную систему уравнений

2 \, \varepsilon^{\,ijk} \, \lambda_{\,j} \, \dot\lambda_{\,k} + 2 \, \lambda_0 \, \dot\lambda^{\,i} - 2 \, \lambda^{\,i} \, \dot\lambda_0 = \omega^{\,i}

Уравнение (3) есть ничто иное как представление компонент угловой скорости через параметры ориентации Родрига-Гамильтона. Это выражение мы уже получали в предыдущих статьях. Теперь мы будем рассматривать его как дифференциальное уравнение, связывающее параметры ориентации с компонентами угловой скорости.

Однако, параметры Родрига-Гамильтона являются избыточными — их четыре, а для описания ориентации тела в пространстве достаточно трех координат. И число неизвестных в системе (2), (3) превышает число уравнений на единицу. Значит нам придется дополнить уравнения (2) и (3) уравнением связи между параметрами ориентации. В статье о параметрах Родрига-Гамильтона мы показали, что поворот тела удобно описывать единичным кватернионом, что есть

\lambda_0^2 + \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 = 1

или, в тензорном виде

\lambda_0^2 + \lambda_{\,i} \, \lambda^{\,i} = 1

Продифференцируем (4) по времени

2\, \lambda_0 \, \dot\lambda_0 + \dot\lambda_{\,i} \, \lambda^{\,i} + \lambda_{\,i} \, \dot\lambda^{\,i} = 0

С учетом коммутативности скалярного произведения полагаем \dot\lambda_{\,i} \, \lambda^{\,i} =  \lambda_{\,i} \, \dot\lambda^{\,i}, тогда

\lambda_0 \, \dot\lambda_0 + \lambda_{\,i} \, \dot\lambda^{\,i} = 0

и есть искомое уравнение связи. Полная система уравнений движения свободного твердого тела в тензорной форме будет иметь вид

\begin{align*}
&\dot x^{\,i} - v^{\,i} = 0 \\
&m \, \left(\dot v^{\,i} + \Gamma_{\,kl}^{\,i} \, v^{\,k} \, v^{\,l} \right) = X^{\,i} \\
&2 \, \varepsilon^{\,ijk} \, \lambda_{\,j} \, \dot\lambda_{\,k} + 2 \, \lambda_0 \, \dot\lambda^{\,i} - 2 \, \lambda^{\,i} \, \dot\lambda_0 - \omega^{\,i} = 0 \\
&\lambda_0 \, \dot\lambda_0 + \lambda_{\,i} \, \dot\lambda^{\,i} = 0 \\
&I_{\,j}^{\,i} \, \dot\omega^{j} + \varepsilon^{\,ijk} \, \omega_{\,j} \, g_{\,kl} \, I_{\,p}^{\,l} \, \omega^{\,p} = M^{i}
\end{align*}

Довольно страшновато — (6) содержит 13 нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с 13 неизвестными величинами. Страшно выглядит из-за общей тензорной записи, но при переходе к конкретным координатам, в нашем случае декартовым, система (6) значительно упростится.

2. Матричная форма дифференциальных уравнений движения твердого тела в декартовом базисе


Введем вектор-столбец фазовых координат тела

\mathbf y = 
\begin{bmatrix}
\mathbf x^T && \mathbf q^T && \mathbf v^T && \mathbf \omega^T
\end{bmatrix}^T

где \mathbf x = \begin{bmatrix} x_c && y_c && z_c  \end{bmatrix}^T и \mathbf v = \begin{bmatrix} v_{cx} && v_{cy} && v_{cz}  \end{bmatrix}^T — положение и скорость центра масс тела; \mathbf q = \begin{bmatrix} \lambda_0 && \lambda_1 && \lambda_2 && \lambda_3  \end{bmatrix}^T и \mathbf \omega = \begin{bmatrix} \omega_x && \omega_y && \omega_z \end{bmatrix}^T — ориентация и угловая скорость тела.

В декартовом базисе метрический тензор представлен единичной матрицей а символы Кристоффеля равны нулю, поэтому система уравнений (6) в матричной форме запишется так

\begin{align*}
&\mathbf{\dot x} - \mathbf v = \mathbf 0 \\
& 2\, \mathbf B \, \mathbf{\dot q} - \mathbf D \, \mathbf \omega = \mathbf 0 \\ 
&m \mathbf{\dot v} = \mathbf X \\
&\mathbf I_c \, \mathbf{\dot\omega} + \mathbf \Omega \, \mathbf I_c \, \mathbf \omega = \mathbf M_c
\end{align*}

где введены матрицы

\mathbf B = 
\begin{bmatrix}
\lambda_0 && \lambda_1 && \lambda_2 && \lambda_3 \\
-\lambda_1 && \lambda_0 && -\lambda_3 && \lambda_2 \\
-\lambda_2 && \lambda_3 && \lambda_0 && -\lambda_1 \\
-\lambda_3 && -\lambda_2 && \lambda_1 && \lambda_0 \\
\end{bmatrix}, \quad \mathbf D = 
\begin{bmatrix}
\mathbf 0^T \\
\mathbf E
\end{bmatrix}, \quad \mathbf \Omega = 
\begin{bmatrix}
0 && -\omega_z && \omega_y \\
\omega_z && 0 && -\omega_x \\
-\omega_y && \omega_z && 0
\end{bmatrix}

Разрешая систему (7) относительно первых производных, получаем

\begin{align*}
&\mathbf{\dot x} = \mathbf v \\
& \mathbf{\dot q} = \frac{1}{2} \, \mathbf B^{-1} \,  \mathbf D \, \mathbf \omega \\ 
&\mathbf{\dot v} = \frac{1}{m} \, \mathbf X \\
&\mathbf{\dot\omega}  = \mathbf I_c^{-1} \, \left(\mathbf M_c - \mathbf \Omega \, \mathbf I_c \, \mathbf \omega \right)
\end{align*}

систему уравнений движения в форме Коши.

3. Моделирование эффекта Джанибекова


В отсутствие внешних силовых факторов правая часть системы (8) равна нулю, и уравнение движения центра масс интегрируется легко, с учетом начальных условий

\mathbf x(t) = \mathbf x_0 + \mathbf v_0 \, t

Вращение гайки описывается системой семи уравнений первого порядка, которые получаем из (8), вводя безразмерные моменты инерции i_y = \frac{I_y}{I_x} и i_z = \frac{I_z}{I_x}

\begin{align*}
&\dot\lambda_0 = -\frac{1}{2} \, \left( \lambda_1 \, \omega_x + \lambda_2 \, \omega_y + \lambda_3 \, \omega_z \right) \\
&\dot\lambda_1 = \frac{1}{2} \, \left( \lambda_0 \, \omega_x + \lambda_3 \, \omega_y - \lambda_2 \, \omega_z \right) \\ 
&\dot\lambda_2 = -\frac{1}{2} \, \left( \lambda_3 \, \omega_x - \lambda_0 \, \omega_y - \lambda_1 \, \omega_z \right) \\ 
&\dot\lambda_3 = \frac{1}{2} \, \left( \lambda_2 \, \omega_x - \lambda_1 \, \omega_y + \lambda_0 \, \omega_z \right) \\
&\dot\omega_x = \left(i_y - i_z) \, \omega_y \, \omega_z \\
&\dot\omega_y = \frac{i_z - 1}{i_y} \, \omega_x \, \omega_z \\
&\dot\omega_z = \frac{1 - i_y}{i_z} \, \omega_x \, \omega_y
\end{align*}

Для численного интегрирования системы (9) зададим начальные условия

\begin{align*}
&\lambda_0(0) = 1, \quad \lambda_1(0) = \lambda_2(0) = \lambda_3(0) = 0 \\
&\omega_x(0) = \omega_0, \quad \omega_y(0) = \Delta\omega_y, \quad \omega_z(0) = 0
\end{align*}

где \omega_0 — угловая скорость гайки после схода с резьбы; \Delta\omega_y — начальное возмущение угловой скорости

При значениях параметров i_y = 2.0, \, i_z = 0.5, \, \omega_0 = 1.0, рад/с, \Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-10}, рад/с, движение гайки происходит следующим образом

Параметры ориентации Родрига-Гамильтона








Проекции угловой скорости на собственные оси



Из графиков видно, что при I_y > I_x > I_z, весьма незначительное возмущение вектора угловой скорости приводит к периодическому лавинообразному изменению ориентации гайки в пространстве.

Сравним полученный результат с движением тела, закрученным вокруг оси с максимальным моментом инерции, то есть положим I_x > I_y = I_z, задав следующие значения параметров i_y = 0.5, \, i_z = 0.5, \, \omega_0 = 1.0, рад/с, \Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-2}, рад/с

Параметры ориентации Родрига-Гамильтона









Проекции угловой скорости на собственные оси



Видно, что при достаточно значительном возмущении угловой скорости движение остается устойчивым вращением вокруг оси x с небольшой прецессией.

Похожая картина наблюдается для тела, закручиваемого вокруг оси с минимальным моментом инерции (I_x < I_y = I_z) i_y = 1.5, \, i_z = 1.5, \, \omega_0 = 1.0, рад/с, \Delta\omega_y = 1 \cdot 10^{-2}, рад/с

Параметры ориентации Родрига-Гамильтона









Проекции угловой скорости на собственные оси



Частота прецессии существенно меньше, чем при закрутке вокруг оси с максимальным моментом инерции, что логично, так как колебания происходят вокруг оси с большим моментом инерции, чем в случае I_x > I_y = I_z.

Заключение


Все расчеты выполнены автором в СКА Maple 18. Графики построены из лога расчета связкой Kile + LaTeX + gnuplot.

Хотелось бы ещё сделать анимацию, однако опыт автора в этом вопросе крайне мал. Поэтому хотел бы задать вопрос читателям — существует ли ПО (для Linux/Windows), с помощью которого имея набор значений параметров кватерниона ориентации в зависимости от времени сделать анимационный ролик, иллюстрирующий движение тела? Подозреваю, что подобное можно провернуть с Blender 3D, но не уверен.

А пока что, благодарю за внимание!

Upd:

Благодарности



Однако, я совершенно забыл написать о том, что данная статья (и предыдущая) подготовлена с использованием веб-приложения Markdown & LaTeX Editor, разработанный пользователем parpalak. Данная система позволяет набирать тексты статей в Makdown и LaTeX и генерирует код, пригодный для непосредственной вставки в хабра-редактор. Признателен автору за участие в тестировании продукта. С его разрешения, рекомендую данную систему к использованию при подготовке математизированных текстов статей

Продолжение следует…
Теги:эффект Джанибековадвижение свободного телаустойчивость движениямоделированиепараметры Родрига-Гамильтона
Хабы: Математика
+25
22,5k 125
Комментарии 14
Лучшие публикации за сутки

Минуточку внимания

Разместить