Комментарии 146
Одна из лучших статей последнего времени! Спасибо! =)
Ещё в универе нам много рассказывали про различные упрощения и усложнения, парадоксы и т.д. Канторовой теории множеств. Но тогда ещё не говорили, что это «наивная теория множеств». =)
Ещё в универе нам много рассказывали про различные упрощения и усложнения, парадоксы и т.д. Канторовой теории множеств. Но тогда ещё не говорили, что это «наивная теория множеств». =)
«окружность — это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром»
К этому моменту ученики уже знают, что такое окружность. Поэтому сие пижонское (так сказал наш препод) определение принимается исключительно как основа для некоторых доказательств.
Вообще, вместо буквы N должна быть еврейская буква «алеф», но при попытке вставить соответствующий символ юникода у меняиз ушей полезла мацанаправление текста изменилось на «справа налево», и я, не разобравшись, как вернуть его в исходное состояние, плюнул.
Символ ℵ лучше брать не из еврейского алфавита, а из letter-like symbols. Его код там U+2135, и направление текста он не меняет.
Вот оно как. Спасибо, буду знать!
Надеюсь, когда-нибудь здесь прикрутят LaTeX.
Надеюсь, когда-нибудь здесь прикрутят LaTeX.
Есть сайт, который генерит картинки на лету из теха. Например, example.com/?x^2 — это картинка с формулой x^2, которую можно сразу же куда-нибудь вставить. Только я адрес не помню, поищите. :) Если найдёте, скажите мне. :) Ещё есть похожий сайт www.texpaste.com
От себя могу посоветовать этот ресурс. Активно пользуюсь им при написании статей.
Сразу генерируется html-код для вставки в статью. Потом есть возможность отредактировать. Можно редактировать сам код, но в случае больших формул это затруднительно, и всё же довольно удобно
Сразу генерируется html-код для вставки в статью. Потом есть возможность отредактировать. Можно редактировать сам код, но в случае больших формул это затруднительно, и всё же довольно удобно
Я сам пользовался codecogs.com. Но иногда он глючил: генерировал картинки со слишком большими индексами и кешировал их. Приходилось вставлять пробелы или пустые {}.
Потом мне это надоело, и я сделал свой похожий сервис.
Потом мне это надоело, и я сделал свой похожий сервис.
Отличная статья! Спасибо.
Ударения ставятся как в латинском: Чезáре Бурáли-Фóрте
Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии.
Ударения ставятся как в латинском: Чезáре Бурáли-Фóрте
Эм. Ну как минимум в «Чезаре» ударение на первый слог.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B5
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B5
Да, ударение на первом слоге тоже возможно:
Кстати, по вашей ссылке у первой же персоны ударение поставлено на второй слог.
Вариант Чезáре рекомендуется в справочнике Р. С. Гиляревского и Б. А. Старостина «Иностранные имена и названия в русском тексте» (3-е изд., М., 1985). Но при этом в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко это имя чаще приводится с ударением на первом слоге.Но коллега итальянец, сидящий в двух метрах от меня, ставит ударение на второй слог.
Кстати, по вашей ссылке у первой же персоны ударение поставлено на второй слог.
Насколько я помню, у Бурбаки, несмотря на то, что они жили сильно позже и пользовались более схожими обозначениями, определение единицы ещё более сложно выглядит.
Тут, кстати, в забавном виде выглядит недавняя статья про недостатки языка Mathematica, в которой предъявляется претензия в его математической некорректности.
Тут, кстати, в забавном виде выглядит недавняя статья про недостатки языка Mathematica, в которой предъявляется претензия в его математической некорректности.
Если для определения единицы используется понятие Un, которое, в свою очередь есть «множество всех множеств, содержащих ровно один элемент», то можно ли назвать это строгим определением?
Спасибо за отличную статью, только вчера рассказывал семье о кризисе оснований математики, а тут такой подарок. А вообще, больше всего мне нравится позиция Кронекера, который, глядя на эти безобразия, сказал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.»
Спасибо за отличную статью, только вчера рассказывал семье о кризисе оснований математики, а тут такой подарок. А вообще, больше всего мне нравится позиция Кронекера, который, глядя на эти безобразия, сказал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.»
Если для определения единицы используется понятие Un, которое, в свою очередь есть «множество всех множеств, содержащих ровно один элемент», то можно ли назвать это строгим определением?
Да, именно этот момент возмутил Пуанкаре. Не знаю, считал ли Бурали-Форти, что даёт единице новое определение, исходя из голой логики. Если считал, то, вероятно, был неправ. Но мне видится, что он ничего такого не подразумевал, а просто строил абстрактную числовую систему со своей абстрактной единицей, которую в нуждах животноводства можно отождествить с единицей натуральной.
Пеано определяет целые числа как класс эквивалентности пар натуральных чисел. Никого ведь не возмущает, что при таком определении целое число 1 — это {(x, y ∈ N) | x — y = 1 }, т.е. в определении целого числа 1 участвует натуральное число 1?
Скажите, а как все это соотносится с определением натурального ряда как серии множеств рекурсивно включающих пустое множество? Ведь в том случае счет вообще не нужен, а достаточно лишь базового отношния принадлежности. Стало быть натуральное число х меньше у, если соответствующее иксу множество является подмножеством игрека.
Я правильно понимаю, что описанный в статье формализм в итоге и привел к описанию через рекурсию?
Я правильно понимаю, что описанный в статье формализм в итоге и привел к описанию через рекурсию?
Задумался над Кронекером, и его божественной функцией, И вдруг вспомнил Маяковского
И понял, что он был не поэт ни разу, а с кафедры алгебры…
Кстати, я не понял, зачем черта отрицания в формуле итальянца.
Единица — что? Единица — ноль!
И понял, что он был не поэт ни разу, а с кафедры алгебры…
Кстати, я не понял, зачем черта отрицания в формуле итальянца.
Тоже об этом подумал. А может он в другом месте как-то хитроумно определяет Un, без использования числа один?
1. Пусть у нас есть два бесконечных множества: N и X
2. Предположим, что каждому числу из X мы смогли взаимооднозначно сопоставить число из N (пересчитать).
3. Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
4. С потенциальными бесконечностями всё просто: отсутствие чего-то не может быть больше или меньше отсутствия чего-то другого. То есть все бесконечности эквивалентны.
5. С актуальными бесконечностями веселее: мы можем взаимооднозначно сопоставить все числа из N всем числам из (N+1), потом добавить к (N+1) число, которое с N сопоставлено не было (первое натуральное число), и получить множество, которое в соответствии с тезисом (3) мощнее N, то есть несчётно.
6. И, какое совпадение, это новое множество (N+1) U (1) — это и есть то самое N. То есть N не счётно и мощнее самого себя.
В каком пункте ошибка? ;-)
2. Предположим, что каждому числу из X мы смогли взаимооднозначно сопоставить число из N (пересчитать).
3. Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
4. С потенциальными бесконечностями всё просто: отсутствие чего-то не может быть больше или меньше отсутствия чего-то другого. То есть все бесконечности эквивалентны.
5. С актуальными бесконечностями веселее: мы можем взаимооднозначно сопоставить все числа из N всем числам из (N+1), потом добавить к (N+1) число, которое с N сопоставлено не было (первое натуральное число), и получить множество, которое в соответствии с тезисом (3) мощнее N, то есть несчётно.
6. И, какое совпадение, это новое множество (N+1) U (1) — это и есть то самое N. То есть N не счётно и мощнее самого себя.
В каком пункте ошибка? ;-)
В третьем. Множества равномощны, если между ними существует взаимно однозначное отображения. Но из существования «неоднозначного» отображения (когда остаётся лишний элемент) не следует, что они не равномощны.
В пункте (2) мы вводим антитезис, что взаимооднозначное соответствие таки установлено. Что вообще говоря применимо лишь для актуальных бесконечностей.
Это понятно. Вопрос в определениях. Множество А называется более мощным, чем множество B, только если биекции между ними не существует, а существует лишь вложение B в A. То есть после второго пункта можно уже особо и не рассуждать.
Вы не знакомы с доказательством от противного? В пункте (2) вводится предположение, в пункте (5) мы получаем противоречие.
Да, но в пункте (3) написана чушь собачья, так что неясно что вся эта цепочка должна из себя изображать.
Множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Множество называется более мощным, если существует инъекция в него другого множества, а биекции не существует. Это всё определения, если желаете их оспорить — создайте свою теорию множеств.
Вы показали, что возможна инъекция множества в равномощное ему. Это верно, и это ничему не противоречит. Если проводить аналогию с числами, возможность инъективного отображения — это отношение «меньше или равно», а не «меньше». Нет ничего парадоксального в том, что число меньше или равно самому себе.
Вы показали, что возможна инъекция множества в равномощное ему. Это верно, и это ничему не противоречит. Если проводить аналогию с числами, возможность инъективного отображения — это отношение «меньше или равно», а не «меньше». Нет ничего парадоксального в том, что число меньше или равно самому себе.
В пункте (5) обнаруживается элемент, который не отображён на другое множество, что исключает биекцию, существование которой предположено в (2).
В пункте (5) вы выкидываете нафиг ту биекцию, о которой шла речь в пункте (2), делаете магические пассы руками создавая некое другое отображение и делаете вид, что мы всё ещё говорим о той же самой биекции. Так как в пункте (3) вы не говорите о том, что нужно рассматривать ровно то же отображение, что и в пункте (2), то вся конструкция некорректна.
Вы либо должны изменить пункт (3) запретив менять биекцию, либо убрать надругательства над отображением из пункта (5) — в любом случае ваше доказательство развалится.
Вы либо должны изменить пункт (3) запретив менять биекцию, либо убрать надругательства над отображением из пункта (5) — в любом случае ваше доказательство развалится.
Я не выкидываю, а дополняю элементом, которого в нём нет и для которого нет дополнительных элементов во втором множестве, так как мы все из них уже задействовали в биекции (не забываем, что бесконечности у нас тут актуальные, так что квантор всеобщности вполне уместен).
Не так важно что вы там куда дополняете и куда сдвигаете. Важно что вы это делаете. После ваших преобразований отображение начинает давать элементам множества X другие номера. Это другое отображение. Если ваш пункт (3) говорит про все и всяческие отображения — то он неверен и никак не следует из пункта (2). Если он говорит только и исключительно про отображение из пункта (2) — то он верен, но его нельзя применять к другому отображению из пункта (5).
Добавляя элемент, вы получаете новое множество. Соответственно, нужно и для него доказать отсутствие биекции. Вот смотрите, ваш же тезис:
Но вы не находите способ найти число в X. Вы просто берёте другое множество: X ∪ {e}. В данном случае, если смотреть пункт 5, то я могу доказать наличие биекции между двумя множествами, а значит, они равномощны. Но это не имеет никакого значения, потому одно из рассматриваемых множеств (N+1) ∪ {1} не имеет никакого отношения к тому, что взято изначально, т.е. (N+1). Если вы ведёте рассуждения относительно (N+1), то и дальше должны именно в нём искать такой элемент, а не добавлять извне.
Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
Но вы не находите способ найти число в X. Вы просто берёте другое множество: X ∪ {e}. В данном случае, если смотреть пункт 5, то я могу доказать наличие биекции между двумя множествами, а значит, они равномощны. Но это не имеет никакого значения, потому одно из рассматриваемых множеств (N+1) ∪ {1} не имеет никакого отношения к тому, что взято изначально, т.е. (N+1). Если вы ведёте рассуждения относительно (N+1), то и дальше должны именно в нём искать такой элемент, а не добавлять извне.
Вы опять же применяете свойства потенциальной бесконечности (к которой можно безболезненно прибавлять и убавлять не теряя в мощности) к актуальной (с которой этот фокус уже не проходит).
Да что вы заладили со своей актуальной бесконечностью? Актуальный vs. потенциальный — это филосовская категория, а мы про математику, причём про конкретную теорию (теорию множеств Кантора). Пожалуйста, сформулируйте ФАТ, введя туда понятия актуальной бесконечности, докажите её непротиворечивость, тогда и порассуждаем.
Существование инъекции не опровергает возможность существования биекции.
А вот существование лишних элементов опровергает.
Не в вашем случае. Вы взяли биекцию, изменили её, получили инъекцию — имеете право. Но почему вы вдруг после этого начинаете применять к этой инъекции знания, которые к ней не относились?
Вы берете биекцию и при помощи нее строите инъекцию.
Что вы этим пытаетесь доказать совершенно непонятно. Это уже другое отображение.
Что вы этим пытаетесь доказать совершенно непонятно. Это уже другое отображение.
Очевидно, что множество натуральных чисел несчётно. В точности как завещал товарищ Кантор :-)
Счетное множество можно разбить на любое конечное число счетных подмножеств. Это не делает исходное множество не счетным.
То, что множество счетное, отлично сочетается с тем, что можно выделит из него счетное подмножество так, чтобы остались «лишние» элементы. Тут нет противоречия. Более того, множество «лишних» элементов вполне можно сделать счетным. Например множество четных чисел счетное (есть биекция с множеством натуральных). При этом «лишние» — все нечетные. И для них тоже существует биекция с множеством натуральных.
Нет тут противоречия.
То, что множество счетное, отлично сочетается с тем, что можно выделит из него счетное подмножество так, чтобы остались «лишние» элементы. Тут нет противоречия. Более того, множество «лишних» элементов вполне можно сделать счетным. Например множество четных чисел счетное (есть биекция с множеством натуральных). При этом «лишние» — все нечетные. И для них тоже существует биекция с множеством натуральных.
Нет тут противоречия.
Противоречия нет лишь при потенциальной бесконечности. При этом совершенно не важно на конечное число счётных подмножеств я делю или нет. К бесконечности бесконечность хоть бесконечное число раз можно прибавлять она от этого большей бесконечностью не станет.
А вот при актуальной вы уже не можете так просто делить счётное множество на любое конечное число счётных подмножеств. Просто потому что у вас «каждый элемент на счету».
А вот при актуальной вы уже не можете так просто делить счётное множество на любое конечное число счётных подмножеств. Просто потому что у вас «каждый элемент на счету».
Потрудитесь это обосновать.
Пока это выглядит как бред.
Пока это выглядит как бред.
Если вы забыли доказательство Кантора о несчётности континуума, то я напомню: Там вводится новое число, определение которого является самоотрицанием «пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу». Это выражение такого же порядка, что и «пусть x — это такое число из N, которое на 1 больше любого числа». Оба выражения вводят новое число как отрицание всего множества чисел. То есть иллюстрируют давно известный факт, что не всё, что можно описать, может существовать.
Вот ответьте мне на несколько вопросов:
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
2. Почему вас так задевает альтернативная точка зрения, что вы не поленились сходить в профиль и опустить оппоненту карму?
3. Ещё чуть-чуть и я не смогу писать стать, но смогу оставлять комментарии. Кому вы тем самым сделали хуже — мне или себе?
2. Этому вас учит научный подход?
Вот ответьте мне на несколько вопросов:
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
2. Почему вас так задевает альтернативная точка зрения, что вы не поленились сходить в профиль и опустить оппоненту карму?
3. Ещё чуть-чуть и я не смогу писать стать, но смогу оставлять комментарии. Кому вы тем самым сделали хуже — мне или себе?
2. Этому вас учит научный подход?
Ох… Писали бы вы лучше статьи. Кстати, возможно, именно от вас я впервые узнал про FRP, за что благодарю.
Скажите, вы действительно не понимаете, где именно вы неправы?
Скажите, вы действительно не понимаете, где именно вы неправы?
Я действительно не так сильно сомневаюсь в своих мыслительных способностях, как вы в моих :-)
То есть вы всерьёз полагаете, что вы умный и видите очевидное противоречие в современной теории множеств, формулировку которого, если постараться, можно уместить в объём твита. А другие математики глупые и этого очевидного противоречия уже более века не замечают. И ничто в этой истории не вызывает у вас подозрений. Я правильно излагаю?
Я склонен полагать, что математикам, которые замечают противоречия, быстро сливают карму ;-) И физикам, кстати, тоже.
Забавно читать это в статье про Бурали-Форти, который противоречие заметил и никаких кармических проблем не возымел.
А вы всерьёз думаете, что ZF над современной матлогикой — единственная возможная основа для математики, и остальные варианты рассмотрению не подлежат? Конечно, при рассуждениях в альтернативных теориях обычно указывают, в какой аксиоматике и логике мы сейчас работаем. Но, по большому счёту, это тоже математика.
Да, ZFC сейчас наиболее успешна, это отрицать трудно.
Да, ZFC сейчас наиболее успешна, это отрицать трудно.
Скорее доминирующая. И это не математика, а мета-математика, ибо в своём формализме совсем потеряла связь с реальностью. Каких успехов она достигла? Смогла разделить один шар на два точно таких же? Никакой практической ценности этот мысленный онанизм не даёт :-)
Было бы интересно знать о существовании сообществ математиков, занимающихся разработкой альтернативных моделей. Про любителей, всерьёз изучающих многомерную геометрию, я знаю. Удивительно, что удалось найти всего два таких форума на всю планету, учитывая, что с точки зрения линейной алгебры это лишь частный случай. А про альтернативные математики вообще ничего не нашлось. С трудом нашёл какой-то учебник, где описывалась теория множеств без аксиомы выбора (ну, и ещё популярную книжку про аксиому детерминированности) — и всё. Где оппозиция? Опять по кухням собирается?
И это не математика, а мета-математика, ибо в своём формализме совсем потеряла связь с реальностью.
Неправда! ZF о чём говорит, если рассматривать на философском уровне? О том, что нам надо из рассуждений явно исключать любые универсальные абсолютные категории. Это очень полезная в жизни и в карьере айтишника вещь. Очень часто при аналитике требуется как раз такие категории в рассуждениях постараться выявить и устранить. Конечно, это можно и без знания ZF понять, «житейской» мудростью, но лично для меня в своё время знакомство с наивной теорией Кантора и со способом эту теорию обойти, было таким сильным впечатлением, что никакой житейской мудрости не понадобилось и я закончил университет с таким важным пунктиком в своём фундаменте.
Я не говорю, что формализм — это плохо, но строиться он должен на продуктивном наборе аксиом. Математика не должна замыкаться в себе, а должна находить себе применение в реальном мире.
А кто вам сказал, что математика должна быть прикладной? Вон, игра в «контру» или майнкрафт ни разу не прикладная, стоит ли осуждать людей, которые ей занимаются?
Для того, чтобы называть нечто «альтернативной теорией», надо это нечто сначала сформулировать. При таком раскладе разговор начался бы иначе и продолжился бы иначе. Одно дело — «я считаю, что ZFC говно, и такая-то теория лучше. так вот, в этой теории...». Совсем другое — «вы ничего не понимаете в бесконечности, она не такая, а совсем другая».
Спорить о свойствах бесконечности отдельно от теории — всё равно что спорить о том, сгорают ли вампиры на свету, не указав конкретный фэнтезийный сеттинг. И то, и другое — мысленные конструкты, свойства которых зависят от других конструктов, а не выводятся непосредственно.
Спорить о свойствах бесконечности отдельно от теории — всё равно что спорить о том, сгорают ли вампиры на свету, не указав конкретный фэнтезийный сеттинг. И то, и другое — мысленные конструкты, свойства которых зависят от других конструктов, а не выводятся непосредственно.
ZF, разумеется, не единственная возможная теория. Однако, когда мы говорим о доказательстве, мы говорим о доказательстве в рамках определённой теории, так что прежде всего необходимо определиться с рамками. Кроме того, при доказательстве в рамках любой теории нельзя нарушать правила элементарной логики, что и допускает автор «парадокса».
«пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу»
Такого в том доказательстве нет. Существование x в нем не постулируется, а доказывается.
Доказывается только, что такое число не равно любому наперёд заданному набору чисел. Существование такого числа для бесконечного набора чисел никак не доказывается.
пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу
Можно ссылочку? Я теорию множеств Кантора изучал по учебнику, а не по его оригинальным работам. Эта цитата без контекста мало что даёт.
Освежите в памяти «диагональный метод». Именно число не равное всем он и строит.
Не так. Он берёт множество действительных чисел и в нём ищет такое число. Вы берёте множество N \ {1} и на очередном шаге почему-то дополняете его единицей. Это явно некорректный шаг, ибо изначальное утверждение было относительно N \ {1}. Далее, он не создаёт и не добавляет извне число «не равное всем», а находит его и доказывает, что оно не маппится на N.
Странная ссылочка. Даже мне, с моими весьма слабыми способностями к математике, видно множество противоречий. Самое очевидное: даже если, как утверждает автор, диагональный метод дает только 1 новый элемент, это еще не значит, что не существует метода дающего большее количество новых элементов (например счетное множество новых элементов). Бремя доказательства отсутствия такого метода лежит на авторе.
Да и зачем вы тащите на хабр старую и давно протухшую бяку. Легко же находятся статьи, аргументированно разносящие логические построения Зенкина в клочья, например. Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется (а ведь на его использовании строятся все рассуждения Зенкина).
Да и зачем вы тащите на хабр старую и давно протухшую бяку. Легко же находятся статьи, аргументированно разносящие логические построения Зенкина в клочья, например. Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется (а ведь на его использовании строятся все рассуждения Зенкина).
Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется.
Хм. Итак, есть две формулировки
«Предположим противное. Допустим, есть счётная нумерация вещественных чисел… Получаем число, не имеющее номера — противоречие».
И
«Возьмём произвольную счётную последовательность вещественных чисел… Получаем число, не входящее в эту последовательность».
Я разницы не вижу. По-моему, во втором случае всё равно неявно используется доказательство от противного. Собственно, конструктивного определения несчётного множества у нас нет — есть только отрицательное — «то, для которого не существует биекции с конечным или счётным». Уже потом появляются биекции с доказанными несчётными.
В первом случае для доказательства несчетности используется предположение о счетности — это и есть доказательство от противного ( из утверждения следует его отрицание ) и именно на основании этого Зенкин получает то, что у него идет по номером (2) и что ему так не нравится.
Во втором же случае (если я всё понял правильно) для доказательства не счетности предположение о счетности не используется, а напрямую доказывается, что любая инъекция из N в R не является биекцией. Это не является доказательством от противного.
Во втором же случае (если я всё понял правильно) для доказательства не счетности предположение о счетности не используется, а напрямую доказывается, что любая инъекция из N в R не является биекцией. Это не является доказательством от противного.
это еще не значит, что не существует метода дающего большее количество новых элементов (например счетное множество новых элементов).Об этом тоже есть в статье. Или вы прочитали только рецензию на форуме? :-)
А в цитатах нет ничего про несчётность. Там просто описываются алгоритмы получения чисел не входящих в некоторую последовательность, единственное свойство которой — оно бесконечно, но не обязательно захватывает все действительные числа. А вот чтобы доказать несчётность — уже приходится вводить тезис о счётности и опровергать его.
2. Почему вас так задевает альтернативная точка зрения, что вы не поленились сходить в профиль и опустить оппоненту карму?
Ответ на этот вопрос:
На остальные глупости отвечу вечером, когда будет время.
Про Кантора вы очень не правы, про что вам уже писали.
Ок, дали определение. Предположите существование — получите противоречие. Вывод: предположение не верно и объекта, удовлетворяющего определению не существует. Что дальше?
Это, образно, можно назвать одной из причин заката наивной теории множеств и начала аксиоматической теории множеств. И что?
Меня ниже поправили. Отличный пример моей неправоты. Мне хватило одного замечания, вас же толпа народа пытается заставить думать над вашими высказываниями и это не выходит.
пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу
Ок, дали определение. Предположите существование — получите противоречие. Вывод: предположение не верно и объекта, удовлетворяющего определению не существует. Что дальше?
не всё, что можно описать, может существовать.
Это, образно, можно назвать одной из причин заката наивной теории множеств и начала аксиоматической теории множеств. И что?
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
Меня ниже поправили. Отличный пример моей неправоты. Мне хватило одного замечания, вас же толпа народа пытается заставить думать над вашими высказываниями и это не выходит.
2Ответил.
3См. 2. Но мне определенно нравится ваше отсутствие сомнений. Аж 2 пункта праведного гнева.
2Мы сейчас вообще-то о математической аксиоматической теории. Утверждения в рамках нее доказываются строго.
Счетное множество можно разбить на любое конечное число счетных подмножеств
Поправка — на любое счётное число счётных подмножеств.
Чтобы доказать несчетность, необходимо показать существование «непосчитанного» элемента для любого способа подсчета, а не для некоего заранее заданного, как вы пытаетесь сделать.
И, наоборот, для доказательства счетности достаточно привести один способ построения биекции.
И, наоборот, для доказательства счетности достаточно привести один способ построения биекции.
Обоснуйте необходимость «любого способа подсчёта». Не припомню такого в определении биективного отображения.
Вы издеваетесь или действительно нифига не понимаете? Зачем вы вообще взяли два множества? Возьмите ℕ и создайте инъекцию:
1→2Так как «слева» у нас использованы все числа, а «справа» у нас осталась единица, то мы «доказали» (если следовать вашей логике), что мощность ℕ больше мощности ℕ. Вряд ли на таком фундаменте можно построить какую-либо осмысленную теорию.
2→3
…
Вообще-то я именно это и сделал, используя ровно ту же схему доказательства, что использовал Кантор для обоснования несчётности вещественных чисел.
Кантор делал совсем не это. Он взял отображение и начал его исследовать. Вы же предварительно его изменили: добавили какие-то элементы, что-то куда-то сдвинули. Получили совсем другое отображение которое отчего-то вдруг не оказалось биекцией. Ну а с чего ему быть биекцией-то?
С бесконечными последовательностями много вещей, которые можно делать с конечными, делать нельзя. В конце концов вас не удивляет что «Σ((-1)n-1/n)=log(2)», а «Σ(1/(2n-1)-1/(4n-2)-1/(4n))=log(2)/2» притом, что в эти две суммы суммируют одни и те же элементы?
С бесконечными последовательностями много вещей, которые можно делать с конечными, делать нельзя. В конце концов вас не удивляет что «Σ((-1)n-1/n)=log(2)», а «Σ(1/(2n-1)-1/(4n-2)-1/(4n))=log(2)/2» притом, что в эти две суммы суммируют одни и те же элементы?
Ну не знаю, может потому, что N и (N+1) U (1) — это одно и то же лицо?
Это с потенциальными бесконечностями это делать нельзя, а с актуальными очень даже можно.
Меня удивляет где вы потеряли значок предела :-)
Это с потенциальными бесконечностями это делать нельзя, а с актуальными очень даже можно.
Меня удивляет где вы потеряли значок предела :-)
Вас так удивляет, что из множества в подмножество этого же множества можно построить биекцию? Да, существует биекция между N и «N + 1».
Я вам сейчас вообще мозг сломаю: существует биекция между всеми натуральными и всеми четными. Как, например, существует биекция между вещественной прямой и любым ее промежутком.
Вы построили биекцию между множеством и его подмножеством — это нормально. Не понятно какие на основании этого вы делаете выводы.
Я вам сейчас вообще мозг сломаю: существует биекция между всеми натуральными и всеми четными. Как, например, существует биекция между вещественной прямой и любым ее промежутком.
Вы построили биекцию между множеством и его подмножеством — это нормально. Не понятно какие на основании этого вы делаете выводы.
Нет, меня удивляет как люди ведутся на актуализацию бесконечности. Приятных снов :-)
Меня больше удивляет само понятие потенциальной бесконечности. С актуальной всё понятно — есть бесконечное множество — счётное, континуальное, промежуточное в случае отрицания континуум-гипотезы, аморфное в случае отрицания аксиомы выбора… с ним что-то делают, строят какие-то отображения, описывают свойства. Всё более-менее понятно. Кроме «аксиомы зависимого выбора» — в ней каким-то образом участвует построение бесконечности. Впрочем, не знаю, есть ли в ней толк. А потенциальная… закладываться на способ заполнения бесконечности? Спасибо, не надо. Так вы и дедекиндово (или не-дедекиндово? В общем то, которое не конечно и не эквивалентно своей части) множество построить не сможете.
Потому что смотреть надо в определение счетного и несчетного множеств, а не в определение биекции.
Дальше — тривиальные следствия из определений, на уровне силлогизмов.
Дальше — тривиальные следствия из определений, на уровне силлогизмов.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Журавлёв… «Основы теоретической механики»
Весьма благодарен за наводку на эту книгу
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Очень хорошая статья. Спасибо. Кстати Журавлев преподавал нашему курсу в МФТИ. И про эту цитату я услышал впервые лично от него. А еще смею похвастаться, что я самолично очень-очень давно вырезал эту цитату из электронной книги и вставил в интернет)
Спасибо! Хоть и далек от математики, читаю все Ваши статьи с удовольствием!
Прекрасный язык. Надеюсь, вы преподаете и ваши ученики вас любят :)
А знаете, как программист 21-го века, привыкший видеть на экране разного рода деревья и диаграммы, я в этом нахожу что-то хорошее. По крайней мере, тут можно попробовать понять что где начинается и что где кончается. Может стоит развить такой язык?
Фреге заявлял, конечно, что «удобство наборщика в типографии определённо не есть высшее благо»,У нас уже давно вся вёрстка стала компьютерной, так что через столько лет он в чём-то прав. Вёрстку может делать сам автор как ему удобнее. А если что-то сложно сделать, например, при помощи LaTeX — то это, извините, проблема самого LaTeX.
Средствами двадцать первого века можно и обычную формулу развернуть в синтаксическое дерево. С другой стороны, если создавать «деревья» Фреге в каком-то редакторе (не WYSIWYG, конечно), то в любом случае придётся набирать какую-то строку символов.
Обжекшен! Уже давно можно не экономить бумагу, давайте перестанем использовать обозначения в один символ?
У этих обозначений куча других недостатков, кроме удобства набора.
Принятое сейчас обозначение импликации — →, прекрасно запоминается. Я когда впервые увидел A → B, так сразу понял, в что тут из A следует B, но не наоборот (да, я знаю, что импликация — это не совсем следование. и даже совсем не следование — но я сейчас говорю про интуитивность восприятия математического символа — а интуитивно импликация именно как следование и воспринимается).
Это обозначение можно и развернуть: B ← A. Хоть так обычно не пишут — но тут сразу понятно, что мы просто развернули стрелочку, а не сделали что-то более хитрое.
Обозначения Фреге же не дают такого понимания. Постоянно приходится напоминать себе: «причина — снизу», «причина — снизу», «причина — все еще снизу»… Единственное их достоинство — в них куда меньше скобок, чем в «строчных» формулах. Но заметьте: совсем без скобок обойтись Фреге не удалось!
Если и переходить к диаграммам, то лучше на основе все той же стрелочки. Ведь стрелочку можно развернуть в любом направлении, не только горизонтально — и задать ей любую длину.
Тогда A → (B → C) превратится во что-то вроде
Принятое сейчас обозначение импликации — →, прекрасно запоминается. Я когда впервые увидел A → B, так сразу понял, в что тут из A следует B, но не наоборот (да, я знаю, что импликация — это не совсем следование. и даже совсем не следование — но я сейчас говорю про интуитивность восприятия математического символа — а интуитивно импликация именно как следование и воспринимается).
Это обозначение можно и развернуть: B ← A. Хоть так обычно не пишут — но тут сразу понятно, что мы просто развернули стрелочку, а не сделали что-то более хитрое.
Обозначения Фреге же не дают такого понимания. Постоянно приходится напоминать себе: «причина — снизу», «причина — снизу», «причина — все еще снизу»… Единственное их достоинство — в них куда меньше скобок, чем в «строчных» формулах. Но заметьте: совсем без скобок обойтись Фреге не удалось!
Если и переходить к диаграммам, то лучше на основе все той же стрелочки. Ведь стрелочку можно развернуть в любом направлении, не только горизонтально — и задать ей любую длину.
Тогда A → (B → C) превратится во что-то вроде
B
A →↓
C
А вот интересно, что такое
с которого всё начинается? Возможно, когда формулу писали, такой объект ещё был возможен, но сейчас-то? Ведь всем известно, что такой объект множеством не является.
И если у них есть операция «найти мощность множества», то что им мешало просто взять множество {{}} и найти его мощность? Или там принцип такой — ничего конструктивного, идём исключительно от универсума путём накладывания ограничений?
множество всех множеств, содержащих ровно один элемент
с которого всё начинается? Возможно, когда формулу писали, такой объект ещё был возможен, но сейчас-то? Ведь всем известно, что такой объект множеством не является.
И если у них есть операция «найти мощность множества», то что им мешало просто взять множество {{}} и найти его мощность? Или там принцип такой — ничего конструктивного, идём исключительно от универсума путём накладывания ограничений?
Насколько я понимаю, там была попытка написать как можно большую часть статьи при помощи закорючек. Если сейчас структура нормальной статьи — это введение на человеческом языке — формула — пара слов — еще формула… — то там все эти переходные части тоже писались закорючками. Эту формулу не следует рассматривать как формальное определение — потому что это часть математического повествования.
Оригинала я не читал, но представляю, о чем там могла идти речь (в переводе на русский с закорючечного):
В таком виде формула рассуждения выглядят рационально. А если давать определение ординальному числу 1 — то, конечно же, надо либо определять его как ординал множества, состоящего из пустого — либо как ординал, следующий за ординалом пустого множества, если операция получения следующего ординала уже определена.
Оригинала я не читал, но представляю, о чем там могла идти речь (в переводе на русский с закорючечного):
и так, мы показали, что все вполне упорядоченные множества можно разбить на классы эквивалентности, каждому из которых сопоставлено ординальное число. В один из таких классов попадут все множества, состоящие из одного элемента. Число 1 — это и есть ординальное число, сопоставленное такому классу эквивалентности.
В таком виде формула рассуждения выглядят рационально. А если давать определение ординальному числу 1 — то, конечно же, надо либо определять его как ординал множества, состоящего из пустого — либо как ординал, следующий за ординалом пустого множества, если операция получения следующего ординала уже определена.
Когда формулу писали, такой объект был вполне возможен. Писалась она, напомню, для формулировки первого из парадоксов наивной теории множеств.
Я, кстати, не могу сходу сообразить, к какому противоречию приведёт его существование сейчас.
Я, кстати, не могу сходу сообразить, к какому противоречию приведёт его существование сейчас.
Однозначный фан! :)
P.S. глубина статьи прямо пропорциональна бессонице автора вызванной отпечатком формулы на сетчатке :)
P.S. глубина статьи прямо пропорциональна бессонице автора вызванной отпечатком формулы на сетчатке :)
Поскольку ветка дискуссии, начинающаяся вот с этого комментария, непоправимо замусорилась, я выложу своё финальное (надеюсь) возражение здесь. Для начала докажем теорему.
Теорема: счётное количество попарно различных точек на плоскости не может находиться на одной и той же прямой.
Доказательство: предположим обратное. Пусть у нас есть такое множество S. Поскольку его точки попарно различны, прямая, на которой они лежат, определяется единственным образом. Рассмотрим любую точку A, не принадлежащую этой прямой. Как известно, счётное множество не изменится, если добавить к нему ещё один элемент. Поэтому S U {A} = S. Однако множество S U {A} не лежит на одной прямой, значит, не лежит и S. Противоречие.
Звучит странно? Однако здесь используется тот же метод, что и в «антимонии» г-на vintage. Проблема в том, что он путает равномощность и равенство. Это простительно (т.е. формально некорректно, но не приводит к ложным выводам), пока элементы множеств «безлики». Однако как только они начинают участвовать в тех или иных отношениях, случается, выражаясь математическим языком, кирдык.
Упражнение для самостоятельной работы: докажите, используя «винтажный метод», что у множества натуральных чисел не существует несобственных подмножеств.
Теорема: счётное количество попарно различных точек на плоскости не может находиться на одной и той же прямой.
Доказательство: предположим обратное. Пусть у нас есть такое множество S. Поскольку его точки попарно различны, прямая, на которой они лежат, определяется единственным образом. Рассмотрим любую точку A, не принадлежащую этой прямой. Как известно, счётное множество не изменится, если добавить к нему ещё один элемент. Поэтому S U {A} = S. Однако множество S U {A} не лежит на одной прямой, значит, не лежит и S. Противоречие.
Звучит странно? Однако здесь используется тот же метод, что и в «антимонии» г-на vintage. Проблема в том, что он путает равномощность и равенство. Это простительно (т.е. формально некорректно, но не приводит к ложным выводам), пока элементы множеств «безлики». Однако как только они начинают участвовать в тех или иных отношениях, случается, выражаясь математическим языком, кирдык.
Упражнение для самостоятельной работы: докажите, используя «винтажный метод», что у множества натуральных чисел не существует несобственных подмножеств.
«Когда палец указывает на небо — дурак смотрит на палец»
Я ничего не путаю, я лишь показываю (и со мной согласны более именитые математики, раз я для вас недостаточный авторитет, чтобы прислушиваться к моим аргументам), что Канторовская логика, основанная на актуальности бесконечности, приводит к полнейшим глупостям.
Ну и на последок цитата того самого «опального учёного», которому, я не сомневаюсь, вы бы с радостью слили карму, за «не следование курсу партии»:
Я ничего не путаю, я лишь показываю (и со мной согласны более именитые математики, раз я для вас недостаточный авторитет, чтобы прислушиваться к моим аргументам), что Канторовская логика, основанная на актуальности бесконечности, приводит к полнейшим глупостям.
Ну и на последок цитата того самого «опального учёного», которому, я не сомневаюсь, вы бы с радостью слили карму, за «не следование курсу партии»:
Рассел, например, считал, что корнем всех «парадоксальных зол» является так называемая «самоприменимость» понятий и потому предложил запретить использование в математике таких логических конструкций, в которых нечто утверждается или отрицается относительно самих этих конструкций (логицизм).www.ccas.ru/alexzen/papers/vf2/vf2-rus.html
Брауэр отказался от использования закона исключенного третьего (интуиционизм), что, по образному, но очень точному выражению Гильберта равносильно тому, как если бы «боксерам запретили пользоваться на ринге кулаками».
Сам же Гильберт вообще предложил изгнать семантику-смысл из математических утверждений (формализм) и свести всю математику к «игре в символы» (мета-математика, претендующая на то, чтобы стать «единственно верной» теорией доказательства, и рассматривающая всю математику от Пифагора до наших дней как содержательную, неформальную, т.е. «наивную», и потому не отвечающую мета-математическим критериям строгости доказательств.).
Общим для всех этих «технологий», более похожих на грубое хирургической вмешательство, чем (по мягкому выражению Гильберта) на «лекарства против парадоксов», является готовность пожертвовать любой частью здорового тела математической науки, но не столько для избавления математики от парадоксов (см. ниже), сколько ради сохранения … теории трансфинитных чисел Г.Кантора, которая, например тому же Гильберту представлялась «заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека». Хотя ни для кого и никогда не было секретом, что для «спасения» математического «Титаника» было достаточно «запретить» использование в математике актуальной бесконечности и «пожертвовать» именно теорией трансфинитных чисел Георга Кантора. Однако, никто из указанных (и неуказанных) выше борцов за дело, которое «выходит за пределы узких интересов специальных наук», не пожелал «покинуть рай, в который привел математиков Кантор, и удалиться в менее роскошные, но более надежные обиталища».
Но, как известно, не бывает правил без исключений, и в этом смысле, пожалуй, дальновиднее всех поступил Г.Вейль, который, по его собственному признанию все же решил удалиться в далекие от всяких парадоксов, более спокойные и надежные области математики. Примечательно, что примеру Вейля последовали 99% работающих математиков, т.е. таких математиков, чьи научные результаты, в конечном счете, являются доступными верификации «числом или экспериментом».
Батенька, если мы будем мериться ссылками на авторитеты, вы определённо проиграете. Давайте лучше по существу.
Ваш «парадокс» основан на том, что вы задаёте биекцию между множествами, а затем подменяете одно из них. «Ошибка» Кантора в глазах товарища Зенкина имеет ту же природу.
Я не утверждаю, что ZF, или ZFC, или ещё какой-нибудь, прости Господи, интуитивизм есть безусловное благо и безусловная истина. Однако стремление подвести под математическое знание максимально прочный базис я нахожу здоровым. И в вещах типа парадокса Банаха-Тарского, например, я ничего ужасного не вижу: если даже реальный, физический мир на низких или высоких уровнях ведёт себя контринтуитивно (квантовая механика, теория относительности), то миру математических абстракций это тем более простительно.
Вы с вашим Зенкиным предлагаете «пожертвовать» «теорией трансфинитных чисел»? Да пожалуйста. Подайте сюда альтернативную теорию, посмотрим, какова её доказательная сила и к каким парадоксам она приводит. Да, и уже существующий корпус математических текстов на язык новой теории не забудьте перевести.
Ваш «парадокс» основан на том, что вы задаёте биекцию между множествами, а затем подменяете одно из них. «Ошибка» Кантора в глазах товарища Зенкина имеет ту же природу.
Я не утверждаю, что ZF, или ZFC, или ещё какой-нибудь, прости Господи, интуитивизм есть безусловное благо и безусловная истина. Однако стремление подвести под математическое знание максимально прочный базис я нахожу здоровым. И в вещах типа парадокса Банаха-Тарского, например, я ничего ужасного не вижу: если даже реальный, физический мир на низких или высоких уровнях ведёт себя контринтуитивно (квантовая механика, теория относительности), то миру математических абстракций это тем более простительно.
Вы с вашим Зенкиным предлагаете «пожертвовать» «теорией трансфинитных чисел»? Да пожалуйста. Подайте сюда альтернативную теорию, посмотрим, какова её доказательная сила и к каким парадоксам она приводит. Да, и уже существующий корпус математических текстов на язык новой теории не забудьте перевести.
ПРАВКА. Отображения для точки А в S не задано (его нет). Поэтому при добавлении точки А в S имеем новое множество. Теорема Кантора-Бернштейна. Множество S равномощно подмножеству S в S U A. Само множество S U A не равномощно никакому подмножеству из S. Множества неравномощны. Отображение должно быть биективным (взаимно-однозначным).
Противоречия нет. На самом деле у Вас задано биективное отображение между множеством S и множества точек, лежащих на прямой. Вы пытаетесь прикрутить то, чего отображением не отображается. (Грубо говоря, добавить к множеству натуральных чисел отрицательное, или рациональное число). Отображения точки, не лежащей на прямой, в точку множества S, даëт пустое множество. Добавив A в S a у Вас будет новое множество S U A, которое по-прежнему равномощно натуральному, но не равномощно исходному множеству, так как нет образа для точки А.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Про Бурали-Форти, Пуанкаре и то самое определение единицы