Комментарии 59
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая.
Тождество Эйлера как по мне так еще замечательней
Отличный комикс про тождество Эйлера: img0.joyreactor.com/pics/post/comics-SMBC-math-nsfw-629982.gif
У меня до сих пор в голове не укладывается, как пять фундаментальных математических констант, включая два трансцендентных числа, оказываются связаны между собой.
Да, если бы кто-нибудь тут статейку написал об этом было бы здорово
Интересно, какая геометрическая интерпретация этой связи.
Никак они не связаны в данном выражении. Уже обсуждали это в одном из подобных топиков.
Данное выражение гласит буквально следующее: «если взять единичный вектор и повернуть его на полоборота, получим -1», что логично, но никак не связывает никакие константы кроме 1 и -1.
Единственная известная мне связь между pi и e — через дзета-функцию Римана. Может ещё есть, не искал специально.
Хотя с другой стороны, если разложить экспоненту в ряд… Может и получится что-то интересное. Надо попробовать.
Данное выражение гласит буквально следующее: «если взять единичный вектор и повернуть его на полоборота, получим -1», что логично, но никак не связывает никакие константы кроме 1 и -1.
Единственная известная мне связь между pi и e — через дзета-функцию Римана. Может ещё есть, не искал специально.
Хотя с другой стороны, если разложить экспоненту в ряд… Может и получится что-то интересное. Надо попробовать.
Думаю, надо немного пояснить свою мысль.
Пусть выражение e^(i*pi) + 1 = 0 связывает e и pi, и пусть нам известно значение числа pi = 3,14159265358979323. Вопрос: как вычислить e?
Пусть выражение e^(i*pi) + 1 = 0 связывает e и pi, и пусть нам известно значение числа pi = 3,14159265358979323. Вопрос: как вычислить e?
Если разложить exp(i*x) в ряд, то мы увидим 1+i*x-x^2/2!-i*x^3/3!+x^4/4!+i*x^5/5!+..., т.е. как раз cos(x)+i*sin(x). Другой способ увидеть эту связь — заметить, что exp(x) — решение уравнения dy/dx=y(x), значит, для y=exp(i*x) выполняется dy/dx=i*y. Если мы разложим exp(i*x)=p(x)+i*q(x), где p и q вещественны, то получим dp/dx=-q, dq/dx=p, решением чего будет, опять же, косинус и синус.
Посмотрел в Википедии, в статье Пи_(число) приводится несколько красивых примеров соотношения между pi и e. Особенно красив т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса».
А ещё 
.
как же тут не хватает тега irony xkcd.com/217/
разве не такая интерпретация?: алгебраический плюс на имеет смысл операции сложения двух ортогональных векторов в декартовой плоскости действительных и мнимых чисел — синуса и косинуса (катеты треугольника с гипотенузой, совпадающей с радиусом единичной окружности), а экспонента туда попадает только из связи сложения двух рядов, в которые раскладываются синус и косинус, это и есть глубинная связь геометрии с матанализом и алгеброй..,
А вы знаете что на нашей планете система СИ удобна еще и тем что pi^2~g и в результате они замечастельно сокращаются в уравнениях :)
del
Никак не могу разобраться, как вставить красивую формулу, как у вас в тексте, поэтому пишу словами.
Формула «i равно корень из -1» некорректна. Корень из -1 имеет два значения. Поэтому поправьте на «i квадрат равно -1».
Формула «i равно корень из -1» некорректна. Корень из -1 имеет два значения. Поэтому поправьте на «i квадрат равно -1».
Берётся «LATEX» (ЛаТеХ), собирается уравнение, рендерится в картинку и вставляется как картинка. Есть и онлайн варианты:
www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Вы, безусловно, правы.
Здесь историческая точка зрения вступает в спор с современным определением комплексных чисел. Поправил, чтобы убрать противоречие.
Здесь историческая точка зрения вступает в спор с современным определением комплексных чисел. Поправил, чтобы убрать противоречие.
Каждый раз, когда мне после прочтения обоснования формулы Эйлера, мне казалось, что я её понимаю, неделю спустя я обнаруживал, что снова не могу ничего вспомнить. Доктор, что со мной?
Проблема в том, что извлечь кубический корень из комплексного числа можно либо подбором, либо вернувшись к исходному кубическому уравнению (и найдя его корень альтернативным способом). Непонятно, чем же помогали комплексные числа.
Такие уравнения (с тремя корнями) проще решать с помощью трисекции угла. Интересно, когда открыли этот способ?
Такие уравнения (с тремя корнями) проще решать с помощью трисекции угла. Интересно, когда открыли этот способ?
Как раз формула Эйлера делает извлечение корней из комплексных чисел чисто механическим процессом.
Но формулу Эйлера придумали гораздо позже.
Сужу по L'Algebra Opera товарища Бомбелли и моему абсолютному незнанию итальянского (надеюсь, более сведущие в языке поправят, если я не прав).
Бомбелли по сути приравнял
и сказал, что x и y нужно искать подбором с ограничениями
Причём либо я дурак, либо он так и не объяснил, откуда ограничения собственно взялись.
И затем он рассуждает в духе
И да, это всё одним предложением на полстраницы.
Бомбелли по сути приравнял
и сказал, что x и y нужно искать подбором с ограничениями
Причём либо я дурак, либо он так и не объяснил, откуда ограничения собственно взялись.
И затем он рассуждает в духе
теперь нужно найти такой x, квадрат которого не больше 5, а куб не меньше 2; если мы примем x равным 1, то y непременно должен быть равен 2, при этом второе условие не выполняется, значит, x больше 1; x меньше 3, так как квадрат 3-х больше 5; примем x равным 2, тогда y равен 1, оба условия выполняются, значит
И да, это всё одним предложением на полстраницы.
Если «упростить все действия», то окажется, что он просто перебирает все x до sqrt(4/3*k), и проверяет для них условие x^3=k*x+b. Выигрыш мог бы быть, если бы из-под корня вынесли полный квадрат: sqrt(-121)=11*sqrt(-1), и стали искать корень в виде x+y*sqrt(-1). Тогда значений x надо проверять гораздо меньше. Правда, если мы ищем целый корень, то x должен быть полуцелым… Осталось понять, быстрее ли это, чем перебирать все делители b, не превосходящие sqrt(4/3*k).
Бомбелли еще предположил, что (в современных терминах) операции извлечения кубического корня и комплексного сопряжения коммутируют друг с другом, после чего умножил исходный корень на его сопряженную версию. Отсюда сразу же получается первая формула.
Ну а вторая из странных формул — это просто исходная формула в кубе, с упрощениями.
Ну а вторая из странных формул — это просто исходная формула в кубе, с упрощениями.
Наверное, когда получили формулу косинуса (синуса) тройного угла.
Спасибо!
Благодаря вашей статье кроме интересных подробностей истории комплексных чисел узнал ещё и то, что мой провайдер заблочил доступ к луркморю.
Благодаря вашей статье кроме интересных подробностей истории комплексных чисел узнал ещё и то, что мой провайдер заблочил доступ к луркморю.
Кстати, про «мнимые» числа. Они противопоставляются вещественным(действительным) числа. Если брать на англ. «мнимое» — Imaginary, «действительное» — Real. И отображаются они на комплексной плоскости, где ось x — Real, а ось y — Imaginary.
На самом интересном месте. Будет ли продолжение?
А что бы вы хотели узнать?
Было бы интересно про комплексную меру.
Переход к геометрической интерпретации и расширение до нескольких мнимых единиц
Хочется узнать как продолжали функции вещественного переменного на поле комплексных чисел. Не конечный результат, это известно, а именно процесс. Наверняка хватало холиваров, что считать логарифмом или, скажем, синусом комплексного числа?
Если вы про про доказательство формулы Эйлера — оно есть в википедии. А вот каким путем к ней пришел к ней Эйлер — мне б тоже было интересно посмотреть.
Где-то читал, что в средние века можно было купить алгоритм решения уравнения для какого-нибудь частного случая, чтобы потом отличиться во время математического турнира, этакий готовый «рецепт». Когда учился в школе, было ощущение, что нам преподают математику в виде готовых рецептов, не рассказывая о том, для каких целей потребовался тот или иной метод. Возможно, эта традиция пришла из средних веков.
Об этом немного есть в данном топике.
Обожемой, у меня математический оргазм!
Так и хочется сказать: «Продолжайте, продолжайте же, чёрт побери!»
Серьёзно, расскажите что дальше было! Мне комплексные числа мозг взорвали ещё на втором курсе, когда с их помощью считались цепи в электротехнике, а никто при этом нифига не объяснял даже на курсе матана. Дескать вот вам корень из -1, он есть. Как хотите, так и понимайте.
Так и хочется сказать: «Продолжайте, продолжайте же, чёрт побери!»
Серьёзно, расскажите что дальше было! Мне комплексные числа мозг взорвали ещё на втором курсе, когда с их помощью считались цепи в электротехнике, а никто при этом нифига не объяснял даже на курсе матана. Дескать вот вам корень из -1, он есть. Как хотите, так и понимайте.
Ahiin
Млин. Наткнешься на хорошую статью. Но при ее беглом просмотре не видно картинок. Аж обидно! ;( Автор: не могли бы что-нибудь сделать с картинками, а то они теперь доступны с кодом 503! ;(
Млин. Наткнешься на хорошую статью. Но при ее беглом просмотре не видно картинок. Аж обидно! ;( Автор: не могли бы что-нибудь сделать с картинками, а то они теперь доступны с кодом 503! ;(
Извиняюсь за замедленную реакцию: я тут, между делом, женился и был немного занят.
Некий добрый самаритянин, пожелавший остаться неизвестным, уже перезалил изображения и отредактировал мою статью. Спасибо ему.
Некий добрый самаритянин, пожелавший остаться неизвестным, уже перезалил изображения и отредактировал мою статью. Спасибо ему.
Все формулы поломатые :(
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Откуда есть пошло комплексное число