Открыть список
Как стать автором
Обновить

Комментарии 59

Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая.

Тождество Эйлера как по мне так еще замечательней

image
У меня до сих пор в голове не укладывается, как пять фундаментальных математических констант, включая два трансцендентных числа, оказываются связаны между собой.
Да, если бы кто-нибудь тут статейку написал об этом было бы здорово
Интересно, какая геометрическая интерпретация этой связи.
Никак они не связаны в данном выражении. Уже обсуждали это в одном из подобных топиков.

Данное выражение гласит буквально следующее: «если взять единичный вектор и повернуть его на полоборота, получим -1», что логично, но никак не связывает никакие константы кроме 1 и -1.

Единственная известная мне связь между pi и e — через дзета-функцию Римана. Может ещё есть, не искал специально.

Хотя с другой стороны, если разложить экспоненту в ряд… Может и получится что-то интересное. Надо попробовать.
Думаю, надо немного пояснить свою мысль.
Пусть выражение e^(i*pi) + 1 = 0 связывает e и pi, и пусть нам известно значение числа pi = 3,14159265358979323. Вопрос: как вычислить e?
Для начала извлечём из обеих частей e^(i*pi) = -1 корень 6-й степени: e^(i*pi/6)=(sqrt(3)+i)/2=1+(sqrt(3)-2+i)/2. Потом возведём (1+x), где x=(sqrt(3)-2+i)/2, в степень -i*6/pi по формуле бинома Ньютона.
Только что проверил — ответ правильный.
Если разложить exp(i*x) в ряд, то мы увидим 1+i*x-x^2/2!-i*x^3/3!+x^4/4!+i*x^5/5!+..., т.е. как раз cos(x)+i*sin(x). Другой способ увидеть эту связь — заметить, что exp(x) — решение уравнения dy/dx=y(x), значит, для y=exp(i*x) выполняется dy/dx=i*y. Если мы разложим exp(i*x)=p(x)+i*q(x), где p и q вещественны, то получим dp/dx=-q, dq/dx=p, решением чего будет, опять же, косинус и синус.
Да, я был неправ.
Посмотрел в Википедии, в статье Пи_(число) приводится несколько красивых примеров соотношения между pi и e. Особенно красив т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса».
разве не такая интерпретация?: алгебраический плюс на имеет смысл операции сложения двух ортогональных векторов в декартовой плоскости действительных и мнимых чисел — синуса и косинуса (катеты треугольника с гипотенузой, совпадающей с радиусом единичной окружности), а экспонента туда попадает только из связи сложения двух рядов, в которые раскладываются синус и косинус, это и есть глубинная связь геометрии с матанализом и алгеброй..,
А вы знаете что на нашей планете система СИ удобна еще и тем что pi^2~g и в результате они замечастельно сокращаются в уравнениях :)
Никак не могу разобраться, как вставить красивую формулу, как у вас в тексте, поэтому пишу словами.

Формула «i равно корень из -1» некорректна. Корень из -1 имеет два значения. Поэтому поправьте на «i квадрат равно -1».
Берётся «LATEX» (ЛаТеХ), собирается уравнение, рендерится в картинку и вставляется как картинка. Есть и онлайн варианты:
www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Вы, безусловно, правы.
Здесь историческая точка зрения вступает в спор с современным определением комплексных чисел. Поправил, чтобы убрать противоречие.
Каждый раз, когда мне после прочтения обоснования формулы Эйлера, мне казалось, что я её понимаю, неделю спустя я обнаруживал, что снова не могу ничего вспомнить. Доктор, что со мной?
Может обоснование было не очень?
Память отбрасывает неиспользующуюся информацию. Вот если бы Вы кажный день использовали ее — тогда другое дело.
Синдром Эйлера. Он тоже долго не мог поверить, в то что это правда его формула!
Проблема в том, что извлечь кубический корень из комплексного числа можно либо подбором, либо вернувшись к исходному кубическому уравнению (и найдя его корень альтернативным способом). Непонятно, чем же помогали комплексные числа.
Такие уравнения (с тремя корнями) проще решать с помощью трисекции угла. Интересно, когда открыли этот способ?
Как раз формула Эйлера делает извлечение корней из комплексных чисел чисто механическим процессом.
Но формулу Эйлера придумали гораздо позже.
В последнем абзаце про это написано.
В таком случае, какая польза была от комплексных чисел во время между Бомбелли и Эйлером, если задача решения кубического уравнения сводилась к не менее сложной (в то время) и более непонятной задаче извлечения кубического корня из комплексного числа?
Новый подход. Деление чисел, до введения в оборот позиционных систем счисления, тоже было весьма не подарок.
Сужу по L'Algebra Opera товарища Бомбелли и моему абсолютному незнанию итальянского (надеюсь, более сведущие в языке поправят, если я не прав).

Бомбелли по сути приравнял

image

и сказал, что x и y нужно искать подбором с ограничениями

image
image

Причём либо я дурак, либо он так и не объяснил, откуда ограничения собственно взялись.

И затем он рассуждает в духе
теперь нужно найти такой x, квадрат которого не больше 5, а куб не меньше 2; если мы примем x равным 1, то y непременно должен быть равен 2, при этом второе условие не выполняется, значит, x больше 1; x меньше 3, так как квадрат 3-х больше 5; примем x равным 2, тогда y равен 1, оба условия выполняются, значит

image

И да, это всё одним предложением на полстраницы.
Если «упростить все действия», то окажется, что он просто перебирает все x до sqrt(4/3*k), и проверяет для них условие x^3=k*x+b. Выигрыш мог бы быть, если бы из-под корня вынесли полный квадрат: sqrt(-121)=11*sqrt(-1), и стали искать корень в виде x+y*sqrt(-1). Тогда значений x надо проверять гораздо меньше. Правда, если мы ищем целый корень, то x должен быть полуцелым… Осталось понять, быстрее ли это, чем перебирать все делители b, не превосходящие sqrt(4/3*k).
Бомбелли еще предположил, что (в современных терминах) операции извлечения кубического корня и комплексного сопряжения коммутируют друг с другом, после чего умножил исходный корень на его сопряженную версию. Отсюда сразу же получается первая формула.

Ну а вторая из странных формул — это просто исходная формула в кубе, с упрощениями.
Наверное, когда получили формулу косинуса (синуса) тройного угла.
Спасибо!

Благодаря вашей статье кроме интересных подробностей истории комплексных чисел узнал ещё и то, что мой провайдер заблочил доступ к луркморю.
Кстати, про «мнимые» числа. Они противопоставляются вещественным(действительным) числа. Если брать на англ. «мнимое» — Imaginary, «действительное» — Real. И отображаются они на комплексной плоскости, где ось x — Real, а ось y — Imaginary.
На самом интересном месте. Будет ли продолжение?
А что бы вы хотели узнать?
Было бы интересно про комплексную меру.
Переход к геометрической интерпретации и расширение до нескольких мнимых единиц
Хочется узнать как продолжали функции вещественного переменного на поле комплексных чисел. Не конечный результат, это известно, а именно процесс. Наверняка хватало холиваров, что считать логарифмом или, скажем, синусом комплексного числа?
На самом-то деле не то чтобы, там достаточно внятная процедура была.
Если вы про про доказательство формулы Эйлера — оно есть в википедии. А вот каким путем к ней пришел к ней Эйлер — мне б тоже было интересно посмотреть.
Кажется, простое формальное сложение рядов довольно интуитивно и могло быть подходом, которым Эйлер додумался до ответа.
Так и есть, если без подробностей.
Где-то читал, что в средние века можно было купить алгоритм решения уравнения для какого-нибудь частного случая, чтобы потом отличиться во время математического турнира, этакий готовый «рецепт». Когда учился в школе, было ощущение, что нам преподают математику в виде готовых рецептов, не рассказывая о том, для каких целей потребовался тот или иной метод. Возможно, эта традиция пришла из средних веков.
Курс алгебры неспециализированных средних школ — это тоска-печаль, да. Что у нас, что у них, в общем-то.
Обожемой, у меня математический оргазм!

Так и хочется сказать: «Продолжайте, продолжайте же, чёрт побери!»

Серьёзно, расскажите что дальше было! Мне комплексные числа мозг взорвали ещё на втором курсе, когда с их помощью считались цепи в электротехнике, а никто при этом нифига не объяснял даже на курсе матана. Дескать вот вам корень из -1, он есть. Как хотите, так и понимайте.
Мне повезло теорию комплексных чисел узнать сначала на матане. Тогда это показалось какой-то математической схоластикой для мучения студентов. А позже на электротехнике всё стало на свои места — инструмент работает, задачи решаются :)
Ahiin
Млин. Наткнешься на хорошую статью. Но при ее беглом просмотре не видно картинок. Аж обидно! ;( Автор: не могли бы что-нибудь сделать с картинками, а то они теперь доступны с кодом 503! ;(
Извиняюсь за замедленную реакцию: я тут, между делом, женился и был немного занят.

Некий добрый самаритянин, пожелавший остаться неизвестным, уже перезалил изображения и отредактировал мою статью. Спасибо ему.
Никто ничего не перезаливал — просто сайт latex.codecogs.com поднялся…
Обе крупных иллюстрации сменили прописку в мое отсутствие.
Это бот. (Кстати, было бы неплохо сразу заливать картинки куда следует).
Но исходная жалоба была все-таки на формулы — а они никуда не переезжали.
Добрый самаритянский бот — тоже неплохо. Жаль, что он не в состоянии заодно и формулы подтянуть.
В ссылке на картинку есть формула. Так что при желании, их можно восстановить.
Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.