Как стать автором
Обновить

Комментарии 14

Спасибо! Такого хорошего объяснения я еще не встречал.
Пожалуйста! Это довольно редкий пример знаменитой математической проблемы, решение которой не требует введения очень сложных понятий и теорий.
Давно пора к Хабру прикрутить какой-нибудь TeX-компилятор.
А еще есть игрушка про построения циркулем и линейкой.
Занятная штука. Построил в ней пятиугольник, но система его почему-то не признаёт

Вероятно, слишком много шагов. Хочет 21 или лучше 15. А у вас 64.
За 21 шаг он бы начислил очки (в первой строке challenges 7/40). Построенные конструкции он подсвечивает при любом числе шагов.
Супер! Теперь еще о теории Галуа можно написать :)
Теория Галуа? Это которая показывает возможность разрешимости уравнений в радикалах? Для неё и двух постов не хватит. Если вы имели в виду поля Галуа, то это конечно гораздо проще.
зануда вкл.
всё-таки у поля две операции (сложение и умножение). то что мы называем делением и вычитанием — это лишь умножение на обратный по умножению и сложение с обратным по сложению соответственно. и ноль просто не имеет обратного по умножению, поэтому как раз фраза «можно ли делить на ноль» эквивалентна фразе «можно ли умножать число на число, которого не существует»
Согласен. Но тогда надо объяснять, что такое группа и обратный элемент.
Формально, поле — это множество элементов с 0, где определены две операции (обозначаются + и *), причём множество является абелевой группой по отношению к + с нейтральным элементом 0, множество ненулевых элементов является абелевой группой по отношению к *, и выполняется дистрибутивный закон (a+b)*c=a*c+b*c.
Построение правильного 17-угольника, напротив, возможно, потому что z=e^(2*pi/17) является корнем x^17-1=(x-1)(x^16+x^15+...+1) и имеет степень 16=2^4 над Q...


Неужели того, что степень равна 16, достаточно? Тогда бы мы умели выражать в радикалах корни неприводимых многочленов 8-й, 16-й степеней и т.п. Насколько я понимаю, для построения 17-угольника используется какой-то более сильный факт, связанный со структурой поля Z17 (то, что корни хорошо группируются по парам, четвёркам и восьмёркам сопряженных?)
Вы правы, степень 2^n — это только необходимое условие. Необходимым и достаточным условием будет существование цепочки расширений степени 2 (т.е. таких, которые можно построить циркулем и линейкой) Q⊂Q1⊂Q2⊂...⊂Qn=Q(z), [Q{i+1}:Qi]=2, [Q(z):Q]=2^n. Но для z=e2𝜋/p с простым p вида p=2^n+1 это условие всегда выполняется, как показывает теория Галуа.
Заранее прошу прощения за глупый вопрос и косноязычие. В доказательстве все просто и красиво, но существует ли некий «закон инварианта»? Т.е. такой закон, что утверждает: как бы мы не преобразовывали задачу — решения мы не найдем. Или по другому — отсутствие решения на данном множестве однозначно говорит об отсутствии решений на любом другом множестве?
Зарегистрируйтесь на Хабре , чтобы оставить комментарий

Публикации

Истории