Комментарии 55
Попробуйте гомеоморфными преобразованиями растянуть кольцо из «пальцев» на одной из рук до таких размеров, что весь человек может через него пролезть. Ну, дальше собственно останется только пролезть.
На первом и последнем кадре у человечка тени нетопологичные.
Можно, конечно, придраться к отсутствию теней у «рук». Но, они бы мешали сфокусироваться на механизме высвобождения, выступали бы в роли визуального мусора.
Если уж на то пошло — меня смущает затемнение левой части лица(т.е. свет справа, что сходится и с тенями) и правой части «рук», хотя может на руках просто блики.
«Мищенко, Фоменко — (Краткий) Курс дифференциальной геометрии и топологии»,
а также задачник
«Мищенко, Фоменко — Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии».
Этот пример еще разобран в книжках тов. Прасолова по наглядной топологии.
Насколько я понял, нужно произвести деформации с выворачиванием наизнанку одновременно обеих рук. Примерно, как в видео "Как вывернуть сферу наизнанку?", смотреть со 2:00 или с 6:15. Хотя я не представляю как это сделать IRL, но математик-кун заверяет, что сей финт ушами — «честная» непрерывная деформация без изломов и разрывов.
Это ответ для самого первого комментария nick4fake, кажется, я промахнулся с кнопкой «Ответить»
здесь никаких выворачиваний наизнанку нет! сей прием возможен на сфере, но не возможен на топологическом человеке, который, в свою очередь, является сферой с двумя ручками =)
Спасибо за наглядную иллюстрацию.

Мне, почему-то, из курса топологии запомнилось только как превратить квадрат в сферу, тор, лист Мебиуса и бутылку Клейна.
Чтобы читатели выносили только качественный материал из статьи:

Увы, квадрат никак не превратить в ни одно из перечисленных многообразий (непрерывными деформациями). Но взяв замкнутый квадрат (квадрат с границей) и отождествив соответствующим образом его стороны, можно получить все перечисленное + проективную плоскость.
И что же мешает проделать то же самое с квадратом без границы? Все лишь надо склеивать не только границу, а полоску вдоль границы.
«полоска вдоль границы» — а какая именно? По аксиоме полноты у нас сколь угодно много полосок вдоль границы, на расстоянии <e, и это для любого положительного e.
Квадрат должен быть строго замкнут. Чтобы была возможность попарно отождествить стороны
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
А можно пример, где прикладная физика опирается на топологию?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Современная физика != «прикладной физике».

В современной же физике достаточно вспомнить многообразие Калаби — Яу как математический аппарат теории струн.

И, конечно же, можно рекомендовать к прочтению эту статью.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
вся современная физика — это суть Алгебраическая Топология, которая тоже будет на пальцах =)
не даром многие математики становятся по жизни физиками. приведу наглядный пример — Новиков Сергей Петрович
Очень интересно будет прочитать Ваше изложение гомологий, сам собирался сюда что-нибудь про них написать и потом рассказать про использование гомологий в обработке изображений. Но теперь подожду :)
До (ко)гомологических теорий он так очень нескоро дойдет (и не факт, что он в курсе приложений).
Так что пишите, должно быть чертовски интересно (про приложения в основном).
Я уже давно собираюсь, но меня останавливает то, что параллельно придется на пальцах объяснять про циклические группы (хотя я уже почти придумал, как это сделать). Но все равно быстро не получится. Про приложения будет к лету, когда мы (надеюсь) запустим наш первый промышленный проект, реально использующий гомологические методы.
Мне известны методы распознания образов, использующие гомологии. Какова типа обработку изображений производит Ваше приложение?
Да в принципе все очень традиционно — сегментация изображений (по сути текстурная, но при довольно большом диапазоне масштабов текстур) и распознавание типа областей. Изображения медицинской природы. Просто качество у них такое отвратительное, что традиционные методы работают плохо.
Если честно, то название темы у меня в голове начало порождать картины топологий, заданных на множестве пальцев.
на меня название такой же эффект производит… в свое время топологический человек со своими пальцами зацепил, хотел рассказать, в итоге коснулся еле-еле =)
Странно, что в статье не было упоминания знаменитой гипотезы Пуанкаре и ее доказательства российским ученым. Все же единственная из решенных проблем тысячелетия.
Наверное вы хотели сказать Теорему Пуанкаре?) Факт был мной беспощадно забыт, до сего момента, спасибо, учту!=)
Про доказательства вообще лучше не говорить, ну материал не для хабра. Наша цель — наглядность и простота! Пусть жертвой мелочей=)
было бы супер почитать объяснение Теоремы Пуанкаре «на пальцах»!
Предлагаю запретить людей, выражающихся таким образом о топологии.
Я тоже только за — только всех разом. А с расхожими интернет-фразами очевидно у народа все хуже и хуже.
Осознаю, что хромает. Но, к сожалению, пока не хватает и опыта и грамотности.
У вас есть довольно серьезная неточность. То, что вы называете гомеоморфизмом на самом деле является гомотопической эквивалентностью. Любой гомеоморфизм есть гомотопическая эквивалентность, но не наоборот. С первого взгляда концепции очень похожи, но дьявол в деталях. Например, обсуждавшаяся выше гипотеза Пуанкаре как раз является утверждением об эквивалентности этих штук для n-сферы.

Топологический человек вообще является примером объемлющей изотопии, т.к. рассматривается вложение человека в трехмерное пространство. Если рассматривать человека просто как многообразие, то задача становится тривиальной.

Кстати эти понятия почему-то очень часто смешивают в популярных изложениях, хотя это совершенно разные вещи.
Прошу не путаться и не путать здешних обывателей! Сейчас все объясню.
Сразу замечу, что в статье никаких классов отображений не определялось, только интуитивные представления о «хороших» деформациях.
«Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.» — это НЕ есть определение гомотопической эквивалентности!
Просто мы между собой пока математическое сообщество не слышит договорились называть это гомеоморфностью двух фигур.

Опять же, изложен интуитивный подход: мы не знаем, что такое многообразие «где-то там», оно всегда хорошо вложено в трехмерное пространство. Отсюда и примерчики.

По поводу смешивания понятий… В популярных изложениях никогда не встречал понятия гомотопической эквивалентности, да и зачем оно там нужно, изложения же популярные =)
это НЕ есть определение гомотопической эквивалентности

Полностью согласен, но на гомеоморфизм это тоже не похоже, ведь мы лепим из пластилина в трехмерном пространстве, поэтому гомеоморфные многообразия начинают выглядеть негомеоморфными при таком определении (тот же человек с часами). Я согласен, что гомотопическая эквивалентность в данном случае — излишняя концепция, но все-таки мне думается, что следовало бы показать различие между гомеоморфизмом, изотопией и объемлющей изотопией. Уж что такое функция здесь должны понять.

Мне кажется, что излишнее упрощение также вредно, как и излишее усложнение. Наглядный пример можно наблюдать в последнее время на каком-нибудь Дискавери.
Я Вас понял! =) Спасибо большое, возьму на заметку! Тоже очень интересный сюжет =)
А вам спасибо за статью и желание рассказать о столь интересных вещах.
Думаю, компьютерному сообществу будет интереснее, когда вы до триангуляции 3-х мерных фигур дойдете. Но такими объемами постов это будет не скоро :)
Могут и не дойти вообще. Конечно, топология при преобразовании триангуляций важна, но сама топология без триангуляции может обойтись. Хотя можно сразу перейти к атласам многообразий, там эти темы смыкаются.
Почему-то эта область мне вспомнилась первая, как имеющая практическое приложение. Ведь на хабре практиков куда больше.
Что Вы имеете в виду под трехмерными фигурами? Просто если трехмерные многообразия необязательно с краем, тогда это будет сложнее чем рассказать про триангуляции двухмерным «с внутренностью».
Это были бы «тетрангуляции». Наверное, штука полезная для какого-нибудь метода конечных элементов для расчётов в ОТО…
Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.