Исследователям из Microsoft Research удалось на несколько порядков ускорить вычисления в гомоморфной криптографической системе

прорыв будет когда sha256(sha256()) за один такт процессора научатся считать

Кхе-кхе к слову так говоря Microsoft Research является одной из самых крутых организаций в области Computer Science

academic.research.microsoft.com/RankList?entitytype=7&topDomainID=2&subDomainID=0&last=0&start=1&end=100

Одно дело хранящиеся данные т.е. стая шибко умных комаров расшифрует базу доноров первой группы крови с адресами.
Другое дело передавать информацию и по истечении какого-то времени шифрованная информация перестанет быть актуальной. Т.е. через сто лет шибко живучие комары расшифруют ее, но прилетев обнаружат, что людей с нужной группой крови нет, а может и городка этого нет…

Тут идея в том, что неизвестна часть слагаемых и — самое главное! — результат. Да, вы можете получить строчку из символов, сложенных с самими собой, или из одних нулей. Но при помощи этого базиса вам не удастся выделить сами значения.

Вы правы — шифрование становится несколько менее эффективным, но в целом статистически оно остается там же стойким.

зависит от спектра доступных операций.
гомоморфное шифрование — это грубо говоря такая штука:
C(k, d) — функция шифрования (k — ключ, d — данные), op — операция, A — алгоритм применения этой операции. Тогда A(C(k, d1), C(k, d2)) === C(k, d1 op d2).
то есть без знания ключа невозможно будет получить результат операции в любом случае.

Просто первым в голову пришло именно такое применение, просто если бы вам сказали что это позволит вычислять траекторию полета бабочек, нахождение косяков рыб, это бы не вызвало у вас таких эмоций, а так же у тех кто будет платить за это.
Наверное в США полно параноиков и маньяков(или фильмов стимулирующих увеличение обеих категорий) и доктор узнав что лечит, поцарапавшего ему машину пациента, может вколоть не то или не в том количестве. И да, у нас эти роли(финансирование etc.) выполняет клятва Гипократу.

Алкоголь, курение и выхлопы я соглашусь (причём в больших городах последнее особенно сильно вредит здоровью, особенно если дышать этим с детства) но мясо то вам чем не угодило?

Мы же не как хищники его сырым жрём (да, вы правы частично, наш желудок не такой как у хищников, сырое оно вредно конечно) а готовим иногда даже очень вкусно, в ограниченных весьма количествах, с гарнирами на всяких полезных для здоровья рисах и картошках.

Хотя я себе и в алкоголе далеко не всегда отказываю, особенно когда шашлычки, да под красное вино…

само собой имеется ввиду сложение зашифрованных чисел, без промежуточной полной расшифровки.

Да, сложить и умножить, и получить снова шифротекст.
Т.е. если есть
c1 = E(d1,k)
c2 = E(d2,k)
то можно посчитать
c3 = F1(c1,c2) = E(d1+d2,k)
c4 = F2(c1,c2) = E(d1*d2,k)
без знания k,d1,d2,d1+d2,d1*d2, или функции дешифрирования
( k — ключ, d1,d2 — открытый текст, c1,c2,c3,c4 — шифротексты, E() — шифрование )

А какие вообще операции можно выполнять над шифрованным текстом без расшифровки?
То есть как это вообще использовать-то можно?

То есть: «Какие операции нужно выполнять „втёмную“?»
Ну, например:

1. Любая камеральная проверка бухгалтерской отчётности. Знать конкретные числа — не обязательно. Производится сверка (сравнение) декларированных значений и внутренних показателей, потоков активов.
2. Обработка статистических данных. По правилам обработки отчётности предприятий нельзя выкладывать в открытый доступ данные, которые могут раскрыть частные показатели какого-либо предприятия. Например, если их в области таких всего два, то, зная свои показатели за год и общую статистику по области, то каждый из двух предпринимателей может узнать показатели конкурента. Соответственно, на такого рода данные накладывается гриф.
3. Реализация требования к персональным данным: «граждане должны иметь право и возможность ознакомиться с собранными о них персональными данными и вносить в них при необходимости коррективы». ГШ позволит избежать раскрытия всей базы Перс.Данных с обеспечением права на доступ.

Кстати, к вопросу «на основе операций умножения и сложения можно реализовать любую функцию». Кто-нибудь может показать, как, например, реализовать поиск с регулярками или хотя бы с вилдкадтами по закрытому тексту?