Комментарии 4
Альтернативное решение для третей задачи. Пусть x[i] это количество красных шаров после i-ой итераци, а N — общее число шаров (константа). Очевидно, x[0]=n. На i-ой итерации шанс вытащить красный шар это x[i]/N, а чёрный — (N-x[i])/N. При красном шаре x[i+1]=x[i], а при чёрном x[i+1]=x[i]+1. Получаем (я опускаю тут корректную запись матожидания, так как latex в комментариях не работает)
x[i+1] = x[i] + (N-x[i])/N = (N-1)/N x[i] + 1.
То есть мы получили итеративную формулу, и дальше просто надо найти общую формулу для i-го члена. Это просто. Пусть a=(N-1)/N, тогда x[i+1] = ax[i]+1. Получаем
x[0] = n, x[1] = an+1, x[2] = a^2n+a+1, x[3] = a^3n+a^2+a+1,
и так далее. Получаем сумму k членов геометрической прогрессии с показателем a плюс na^k. Отсюда после простых преобразований:
x[i] = N-(N-n)*a^k,
что очевидно совпадает с вашей формулой.
Задачи и разборы экзамена ШАД. Часть первая — разогрев