Комментарии 58
Замечательная статья, спасибо за перевод!
Ещё в универе нам преподаватель математики (ну, одной из её многочисленных разновидностей) Наниев рассказывал про Рамануджана и его метод, хоть и вскользь. Но меня зацепило, запомнилось на всю жизнь.
Вот бы кто-нибудь сделал публикацию с подборкой известных и не очень художественных фильмов о математике и математиках. Было бы очень здорово. «Человека, который познал бесконечность» не пропустил лишь благодаря этой статье.
из фильмов посмотрите «Игры разума»
Игра в имитацию (про Алана Тьюринга).
«Умница Уилл Хантинг» — с натяжечкой, но задачи на доске вполне реальные, можно порешать;
«Пи» — довольно своеобразный, зато про математика;
«Доказательство» — на мой вкус так себе, но смотреть можно.
В английской википедии даже страница есть: en.wikipedia.org/wiki/List_of_films_about_mathematicians
«Пи» — довольно своеобразный, зато про математика;
«Доказательство» — на мой вкус так себе, но смотреть можно.
В английской википедии даже страница есть: en.wikipedia.org/wiki/List_of_films_about_mathematicians
По мотивам…
Гипатия — учёный греческого происхождения, философ, математик, астроном.
Agora / Агора (2009) IMDb, Кинопоиск
Джон Форбс Нэш — американский математик, работавший в области теории игр и дифференциальной геометрии.
A Beautiful Mind / Игры разума (2001) IMDb, Кинопоиск
Стивен Хокинг — английский физик-теоретик и популяризатор науки.
A Brief History of Time / Краткая история времени (1991) IMDb, Кинопоиск
Hawking / Хокинг (2004) IMDb, Кинопоиск
Hawking / Хокинг (2013) IMDb, Кинопоиск
The Theory of Everything / Вселенная Стивена Хокинга (2014) IMDb, Кинопоиск
Алан Тьюринг — английский математик, логик, криптограф, оказавший существенное влияние на развитие информатики.
The Imitation Game / Игра в имитацию (2014) IMDb, Кинопоиск
Enigma / Энигма (2001) IMDb, Кинопоиск
Ричард Фейнман — американский учёный. Основные достижения относятся к области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики.
Infinity / Бесконечность (1996) IMDb, Кинопоиск
The Fantastic Mr Feynman / Очаровательный мистер Фейнман (2013) IMDb, Кинопоиск
Пал Эрдёш — один из самых знаменитых математиков XX века.
N Is a Number: A Portrait of Paul Erdös (1993) IMDb, Кинопоиск
Сриниваса Рамануджан Айенгор — индийский математик.
Ramanujan (2014) IMDb, Кинопоиск
The Man Who Knew Infinity / Человек, который познал бесконечность (2015) IMDb, Кинопоиск
Ковалевская Софья — русский математик и механик. Первая в России и в Северной Европе женщина-профессор и первая в мире женщина — профессор математики.
A Hill on the Dark Side of the Moon (1983) IMDb
Sofia Kovalevskaya / Софья Ковалевская (1985) IMDb, Кинопоиск
Коксетер Гарольд — математик британского происхождения. Считается одним из крупнейших геометров XX века.
The Man Who Saved Geometry (2009) IMDb
Гипатия — учёный греческого происхождения, философ, математик, астроном.
Agora / Агора (2009) IMDb, Кинопоиск
Джон Форбс Нэш — американский математик, работавший в области теории игр и дифференциальной геометрии.
A Beautiful Mind / Игры разума (2001) IMDb, Кинопоиск
Стивен Хокинг — английский физик-теоретик и популяризатор науки.
A Brief History of Time / Краткая история времени (1991) IMDb, Кинопоиск
Hawking / Хокинг (2004) IMDb, Кинопоиск
Hawking / Хокинг (2013) IMDb, Кинопоиск
The Theory of Everything / Вселенная Стивена Хокинга (2014) IMDb, Кинопоиск
Алан Тьюринг — английский математик, логик, криптограф, оказавший существенное влияние на развитие информатики.
The Imitation Game / Игра в имитацию (2014) IMDb, Кинопоиск
Enigma / Энигма (2001) IMDb, Кинопоиск
Ричард Фейнман — американский учёный. Основные достижения относятся к области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики.
Infinity / Бесконечность (1996) IMDb, Кинопоиск
The Fantastic Mr Feynman / Очаровательный мистер Фейнман (2013) IMDb, Кинопоиск
Пал Эрдёш — один из самых знаменитых математиков XX века.
N Is a Number: A Portrait of Paul Erdös (1993) IMDb, Кинопоиск
Сриниваса Рамануджан Айенгор — индийский математик.
Ramanujan (2014) IMDb, Кинопоиск
The Man Who Knew Infinity / Человек, который познал бесконечность (2015) IMDb, Кинопоиск
Ковалевская Софья — русский математик и механик. Первая в России и в Северной Европе женщина-профессор и первая в мире женщина — профессор математики.
A Hill on the Dark Side of the Moon (1983) IMDb
Sofia Kovalevskaya / Софья Ковалевская (1985) IMDb, Кинопоиск
Коксетер Гарольд — математик британского происхождения. Считается одним из крупнейших геометров XX века.
The Man Who Saved Geometry (2009) IMDb
Есть, кстати, замечательная книга «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», очень рекомендую.
Мне в своё время очень понравился короткометражный фильм «Математик и чёрт»…
А где Вы нашли в интернетах этот фильм? Что-то все одни трейлеры…
Отличная статья, спасибо огромное!
Мне всегда нравилось представлять, что он он к нам по ошибке попал из будущего, как в одной фантастической книжке из детства.
Кстати, впервые о Рамануджане прочел в книге Последняя теорема Ферма, где ему посвящена отдельная глава — саму книгу очень рекомендую. (Перевод на русский)
Кстати, впервые о Рамануджане прочел в книге Последняя теорема Ферма, где ему посвящена отдельная глава — саму книгу очень рекомендую. (Перевод на русский)
Точнее, в самой книге он просто упоминается, но на том же сайте есть много дополнительных материалов.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Фильм снят по книге — советую. С выходом фильма можно надеяться на скорый перевод.
Прекрасная история, которую совешенной невозможно читать из-за графомании и сбивчивого повествования автора.
В чём именно заключается якобы графомания и сбивчивое повествование автора? Я вот прочитал статью с огромным удовольствием и не испытал никакого дискомфорта.
Текст можно сократить минимум в два раза, и он не потеряет ни одной детали. Чего только стоит анонсирование уникальности «способа Рамануджана» раз пять по тексту.
Меня больше напрягла навязчивая реклама Wolfram Language не по месту. Как будто вся статья — реклама, завёрнутая в обёртку интересного рассказа. Кстати, обычно рекламу можно заблокировать с помощью Adblock, ведь это самый скачиваемый и устанавливаемый блокировщик рекламы в мире!
Мне вначале тоже так показалось, но сейчас я думаю, что это не реклама, а просто «контекст» его жизни. Он свою Математику с 1986 года разрабатывает, скоре всего он мог бы приводить и другие примеры и аналогии, но выбрал Wolfram Language, потому как для него это естественнее и проще. Ну а проблемы «читателей» вождя не касаются :)
Полностью согласен с Keyten. Когда слово `Wolfram` встречается на странице 56 раз, причем в статье про человека, который жил за 100 лет до его изобретения и который никак с ним не связан (кроме как «ух ты, теперь мы умеем считать то же самое на компьютере»), и автор на протяжении всего текста вставляет совершенно неуместные высказывания про себя любимого — то становится весьма печально. Какой-нибудь рассказ вроде «плача математика» читается на одном дыхании, без пролистывания половины текста как рекламы.
Ну взять хотя бы
Я так понимаю, множество «мощных инструментов» на этом и заканчивается? Ибо даже приставки а-ля «и др.» не сделано. Значит, больше ничего и нет. Нескромно, однако.
Ну взять хотя бы
На сегодняшний день мы обладаем очень мощными инструментами (Mathematica и Wolfram Language), с помощью которых можно проводить эксперименты и делать открытия в математике (не говоря уже о вычислительной вселенной в целом).
Я так понимаю, множество «мощных инструментов» на этом и заканчивается? Ибо даже приставки а-ля «и др.» не сделано. Значит, больше ничего и нет. Нескромно, однако.
Вы забыли вычесть употребления слова Wolfram на странице. В самой статье оно встречается 17 раз. Рамануджан, к слову, 172 раза.
По поводу инструментов — ознакомьтесь со списком http://www.wolfram.com/products/ Вы увидите много продуктов: Wolfram|Alpha, Wolfram Cloud, Wolfram SystemModeler, Wolfram Finance Platform, Wolfram Datadrop и прочие, и конечно главными являются Wolfram Mathematica и язык Wolfram Language.
По поводу инструментов — ознакомьтесь со списком http://www.wolfram.com/products/ Вы увидите много продуктов: Wolfram|Alpha, Wolfram Cloud, Wolfram SystemModeler, Wolfram Finance Platform, Wolfram Datadrop и прочие, и конечно главными являются Wolfram Mathematica и язык Wolfram Language.
Правильно, так что по крайней мере 10% текста являются никому не нужной рекламой вольфрама, которую можно безболезненно вырезать нафиг (если бы это не было переводом, к вам претезний никаких, перевод отличный, спасибо).
Я в курсе, только к чему это? В мире математики не существует ни одного сколько-нибудь автоматизированного инструмента без префикса Wolfram? Я сам люблю пользоваться альфой, и у меня вполне себе обособленные отношения к продукту — который реально хорош и удобен — и политикой его продвижения. Напоминает анекдот про блоху, в несколько ином переложении. «Жил-был Рамануджан, который занимался математикой. А для этих вычислений можно использовать Вольфрам. А Вольфрам — это...»
По поводу инструментов — ознакомьтесь со списком http://www.wolfram.com/products/ Вы увидите много продуктов: Wolfram|Alpha, Wolfram Cloud, Wolfram SystemModeler, Wolfram Finance Platform, Wolfram Datadrop и прочие, и конечно главными являются Wolfram Mathematica и язык Wolfram Language.
Я в курсе, только к чему это? В мире математики не существует ни одного сколько-нибудь автоматизированного инструмента без префикса Wolfram? Я сам люблю пользоваться альфой, и у меня вполне себе обособленные отношения к продукту — который реально хорош и удобен — и политикой его продвижения. Напоминает анекдот про блоху, в несколько ином переложении. «Жил-был Рамануджан, который занимался математикой. А для этих вычислений можно использовать Вольфрам. А Вольфрам — это...»
Более того, сам Стивен Вольфрам сильно неприятен с его постоянной саморекламой и покровительно-наставническими ремарками.
Как обычно, для кино взяли актера журнально-модельной внешности
А что случилось с его числами? они были верными или нет и как это узнали?
Я начал увлекаться программированием, и читаю разные статьи об этом и наткнулся на этот сайт, конечно я не очень разбираюсь в программировании, но тут есть очень интересные статьи и хотелось бы увидеть статьи о начинающих программистах или как этому научиться. Статья о Рамануджане тоже очень зацепила. Спасибо вам!
Почитайте статью Стивена Вольфрама Распутывая историю Ады Лавлейс (первого программиста в истории
Хотите научиться программированию — читайте «Искусство программирования» Дональда Кнута.
Интересно было бы узнать сколько человек от начало до конца осилило полностью изучить его труд.
Не подскажут ли знающие математики по следующему вопросу:
решаются ли уравнения вида
a*exp(b*x)+c*exp(d*x)=f
нужно найти x (возможно существование нескольких корней).
И если да — то какой нужно применять подход? Пытался на вольфрам-альфа решать, но там либо задумывается навечно, либо говорит, что время на вычисления истекло.
решаются ли уравнения вида
a*exp(b*x)+c*exp(d*x)=f
нужно найти x (возможно существование нескольких корней).
И если да — то какой нужно применять подход? Пытался на вольфрам-альфа решать, но там либо задумывается навечно, либо говорит, что время на вычисления истекло.
В общем виде вы такое уравнение не решите аналитически. У него может быть 0, 1 или 2 действительных корня. В комплексной плоскости картина будет намного сложнее.
Спасибо. Так значит, совсем не решается? Можете дать ссылку на какие-нибудь материалы, где анализируются подобные уравнения? Интересует действительный случай, причем b*d>0, а также a*c<0.
Левая часть уравнения (если бы член f был равен нулю) решается без проблем — и на этой основе, действительно, можно указать ожидаемое количество корней уравнения, в котором f!=0.
У меня возникло ощущение, что функции вида: a1*exp(k1*x) + a2*exp(k2*x)+… имеют какое-то отношение к полиномам. Может быть, существует какое-то преобразование переменных, чтобы сделать из такой функции полином и далее уже искать его корни как обычно?
Левая часть уравнения (если бы член f был равен нулю) решается без проблем — и на этой основе, действительно, можно указать ожидаемое количество корней уравнения, в котором f!=0.
У меня возникло ощущение, что функции вида: a1*exp(k1*x) + a2*exp(k2*x)+… имеют какое-то отношение к полиномам. Может быть, существует какое-то преобразование переменных, чтобы сделать из такой функции полином и далее уже искать его корни как обычно?
Для изучения этого уравнения вы можете сделать очень многое в Wolfram Language, начать можно с (банально) интерактивного манипулятора.
Код:
Результат вычисления:
Код:
Manipulate[
Plot[
Evaluate[{a*E^(b*x)+c*E^(d*x),f}],
{x,-5,5},
PlotRange->{-5,5},
ClippingStyle->Directive[{Red,Dashed,Thick}],
PlotLegends->Placed["Expressions",Top],
AspectRatio->Automatic,
ImageSize->400],
{a,-5,5},{b,-5,5},{c,-5,5},{d,-5,5},{f,-5,5}]Результат вычисления:
Наивно, но всё же: разве здесь нельзя заменить exp(x) на, скажем, переменную t?
В итоге у нас получится полином вида a * t^b + c * t^d — f = 0 относительно t. Решаем полином, находим корни, выражаем обратно x.
Вот если корни для t будут отрицательные/мнимые — тут проблемы, да.
В итоге у нас получится полином вида a * t^b + c * t^d — f = 0 относительно t. Решаем полином, находим корни, выражаем обратно x.
Вот если корни для t будут отрицательные/мнимые — тут проблемы, да.
От этого не меняется ничего, хотя так сделать можно. Только при специальных наборах констант можно аналитически решить это уравнение или угадать корни.
В итоге у нас получится полином вида a * t^b + c * t^d — f = 0
Спасибо. К сожалению, это работает только для целых b и d. Тогда можно применить всю теорию, связанную с полиномами. Если же b и d дробные — то это будет уже не полином.
Есть идея попробовать привлечь гиперболические синусы и косинусы. Так, поскольку ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 — то выражение вида: exp(a*x)+exp(b*x)-c=0 можно преобразовать к виду: exp(x*(a+b)/2) * ch(x*(a-b)/2) — c=0.
Далее, учитывая, что exp(x)=ch(x)+sh(x), имеем:
(ch(x*(a+b)/2)+sh(x*(a+b)/2))*ch(x*(a-b)/2) — c=0
От экспонент полностью избавились, остались только гиперболические косинусы и синусы. У них есть много разных свойств — быть может, с их помощью можно прийти к чему-то решаемому. Хотя я склоняюсь к согласию, что такое уравнение не решается аналитически. Встречал его в нескольких книгах — всегда идет отсыл к численным методам.
Аналитически можно найти отрезок, на котором лежат корни уравнения.
Для этого нужно воспользоваться тем фактом, что a не ноль, разделить на него, затем взять логарифм левой и правой частей.
После этого можно воспользоваться тем фактом, что ln(a+b)=ln(a)+ln(1+b/a) и прийти к эквивалентной системе уравнений:
y = bx-ln(f/a)
y = -ln(1+c/a * exp( (d-b) * x )
Первое уравнение — прямая, второе уравнение — график логарифма.
Теперь можно заметить, что график логарифма расположен в полуплоскости y > 0 и лежит левее прямой x0=ln(-a/c) / (d-b) (это асимптота, когда аргумент логарифма приближается к 0 справа)
Отсюда следует, что действительные нули нужно искать на отрезке от пересечения первой прямой с осью абсцисс ( x=ln(f/a)/b ) до прямой x=x0
Далее, у меня есть гипотеза, что для отделения корней можно взять середину отрезка [ ln(f/a)/b; ln(-a/c)/(d-b) ]. В случае двух корней, первый будет в одной половине отрезка, второй — во второй.
В случае одного корня, его можно будет сразу искать методом половинного деления по всему отрезку.
Для этого нужно воспользоваться тем фактом, что a не ноль, разделить на него, затем взять логарифм левой и правой частей.
После этого можно воспользоваться тем фактом, что ln(a+b)=ln(a)+ln(1+b/a) и прийти к эквивалентной системе уравнений:
y = bx-ln(f/a)
y = -ln(1+c/a * exp( (d-b) * x )
Первое уравнение — прямая, второе уравнение — график логарифма.
Теперь можно заметить, что график логарифма расположен в полуплоскости y > 0 и лежит левее прямой x0=ln(-a/c) / (d-b) (это асимптота, когда аргумент логарифма приближается к 0 справа)
Отсюда следует, что действительные нули нужно искать на отрезке от пересечения первой прямой с осью абсцисс ( x=ln(f/a)/b ) до прямой x=x0
Далее, у меня есть гипотеза, что для отделения корней можно взять середину отрезка [ ln(f/a)/b; ln(-a/c)/(d-b) ]. В случае двух корней, первый будет в одной половине отрезка, второй — во второй.
В случае одного корня, его можно будет сразу искать методом половинного деления по всему отрезку.
Такое равенство ln(a+b)=ln(a)+ln(1+b/a) верно только в области a > 0, b > –a.
Спасибо. Насчет тождества с ln(a+b) — как-то призабылось! И подход с эквивалентной системой уравнений понравился.
Что же касается определения интервалов, в которых могут находиться корни, с целью последующего численного их отыскания — то я думаю, что можно и проще. Следует найти корень производной, что для данной функции легко делается аналитически. Корень этот существует не всегда, но если он существует — значит возможно два корня основного уравнения, и они будут лежать по разные стороны от корня производной. Если же корней производной нет — значит имеется 0 или 1 корней основного уравнения, и эти два случая тоже можно заранее продиагностировать аналитически.
Ну а там уже весь арсенал численных методов пойдет в ход. И половинное деление, и Ньютон. Мне просто хотелось красиво выразить ответ задачи в терминах исходных данных :) Видимо, не получится.
Что же касается определения интервалов, в которых могут находиться корни, с целью последующего численного их отыскания — то я думаю, что можно и проще. Следует найти корень производной, что для данной функции легко делается аналитически. Корень этот существует не всегда, но если он существует — значит возможно два корня основного уравнения, и они будут лежать по разные стороны от корня производной. Если же корней производной нет — значит имеется 0 или 1 корней основного уравнения, и эти два случая тоже можно заранее продиагностировать аналитически.
Ну а там уже весь арсенал численных методов пойдет в ход. И половинное деление, и Ньютон. Мне просто хотелось красиво выразить ответ задачи в терминах исходных данных :) Видимо, не получится.
Для данной функции, производная будет точно такой же по внешнему виду функцией, это же экспоненты:
u' = a*b*exp(b*x)+c*d*exp(d*x)
u' = a*b*exp(b*x)+c*d*exp(d*x)
Спасибо за статью! Читается легко и интересно, будто хороший фильм посмотрел (и даже лучше).
Спасибо за ваш труд, за то, что перевели!
Очень интересно было прочесть, что редкость, так как в последнее время такие объемные статьи совсем «нечитаются» :)
Да, очень любопытный вопрос в конце — что бы могли сделать великие люди прошлых столетий, при наличии у них вычислительной техники и современных программ? Может быть, мы уже осваивали экзопланеты в других системах? (мечтательно)
Очень интересно было прочесть, что редкость, так как в последнее время такие объемные статьи совсем «нечитаются» :)
Да, очень любопытный вопрос в конце — что бы могли сделать великие люди прошлых столетий, при наличии у них вычислительной техники и современных программ? Может быть, мы уже осваивали экзопланеты в других системах? (мечтательно)
На счет «сумма всех положительных чисел равна -1/12». Из статьи получается что он был первым кто пришел к этому результату. Но на сколько я знаю Эйлер за несколько сотен лет до этого был первым кто посчитал сумму всех натуральных чисел :)
Контр-интуитивность этого результата не перестаёт удивлять. Умом всё понимаешь — дзета-функция Римана, расширение области определения, и т.д. А вот как задумаешься — начиная с какого слагаемого сумма будет уменьшаться? А с какого — становится меньше нуля? Сразу становится понятен анекдот про «он стал поэтом, для математика ему не хватило воображения».
Тяжело читается.
В данном переводе статьи про Рамануджан Ramanujan
есть ссылка на 1 pdf и далее сайт не расшифровывается
а ведь там сайт вида Apache Index of для скачивания:
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/01
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/02
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/03
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/04
ramanujan.sirinudi.org/Volumes
ramanujan.sirinudi.org
в форматах pdf djvu html
и лично я скачиваю файлы списками автоматически
стремясь сохранить дату с сайта источника
есть ссылка на 1 pdf и далее сайт не расшифровывается
а ведь там сайт вида Apache Index of для скачивания:
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/01
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/02
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/03
ramanujan.sirinudi.org/Volumes/04
ramanujan.sirinudi.org/Volumes
ramanujan.sirinudi.org
в форматах pdf djvu html
и лично я скачиваю файлы списками автоматически
стремясь сохранить дату с сайта источника
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Кем был Рамануджан?