Открыть список
Как стать автором
Обновить
1233,86
Рейтинг
VDSina.ru
Серверы в Москве и Амстердаме

Пишем свой парсер математических выражений и калькулятор командной строки

Блог компании VDSina.ruПрограммированиеC++АлгоритмыМатематика
Перевод
Автор оригинала: Nicholas McDonald


Примечание: полный исходный код проекта можно найти здесь.

Вы когда-нибудь задавались вопросом, как цифровой калькулятор получает текстовое выражение и вычисляет его результат? Не говоря уже об обработке математических ошибок, семантических ошибок или работе с таким входными данными, как числа с плавающей запятой. Лично я задавался!

Я размышлял над этой задачей, проводя инженерные разработки для моей магистерской работы. Оказалось, что я трачу много времени на поиск одних и тех же физических единиц измерения, чтобы проверить преобразования и правильность своих вычислений.

Раздражение от монотонной работы помогло мне вскоре осознать, что единицы и их преобразования никогда не меняются. Следовательно, мне не нужно каждый раз искать их, достаточно сохранить информацию один раз, а затем спроектировать простой инструмент, позволяющий автоматизировать проверку преобразований и корректности!

В результате я написал собственный небольшой калькулятор командной строки, выполняющий парсинг семантического математического выражения и вычисляющий результат с необходимой обработкой ошибок. Усложнило создание калькулятора то, что он может обрабатывать выражения с единицами СИ. Этот небольшой «побочный квест» значительно ускорил мой рабочий процесс и, честно говоря, я по-прежнему ежедневно использую его в процессе программирования, хотя на его создание потребовалось всего два дня.

Примечание: спроектированный мной парсер выражений является парсером с рекурсивным спуском, использующим подъём предшествования. Я не лингвист, поэтому незнаком с такими концепциями, как бесконтекстная грамматика.

В этой статье я расскажу о своей попытке создания настраиваемого микрокалькулятора без зависимостей, который может парсить математические выражения с физическими единицами измерения и ускорить ваш процесс вычислений в командной строке.

Я считаю, что это не только любопытное, но и полезное занятие, которое может служить опорной точкой для создания любой другой семантической системы обработки математических выражений! Этот проект позволил мне разрешить многие загадки о принципах работы семантических математических программ. Если вы любите кодинг и интересуетесь лингвистикой и математикой, то эта статья для вас.

Примечание: разумеется, я понимаю, что существуют готовые библиотеки для решения подобных задач, но это показалось мне любопытным проектом, для которого у меня уже есть хорошая концепция решения. Я всё равно решил реализовать его и очень доволен результатом. Примерами подобных программ являются insect, qalculate!, wcalc. Важное отличие моего решения заключается в том, что программа не требует «запуска», а просто работает из консоли.

Мой первый калькулятор командной строки


Основная задача калькулятора командной строки — парсинг человекочитаемого математического выражения с единицами измерения, возврат его значения (если его возможно вычислить) и указание пользователю на место, где есть ошибка (если вычислить его невозможно).

В следующем разделе я объясню, как на стандартном C++ в примерно 350 строках кода можно реализовать изящный самодельный калькулятор командной строки.

Чтобы алгоритм и процесс были нагляднее, мы будем наблюдать за следующим примером математического выражения:


результат которого должен быть равен 1,35 м.

Примечание: я использую квадратные скобки, потому что bash не любит круглые. Тильды эквивалентны знакам «минус», их нужно писать так, чтобы отличать от бинарного вычитания.

Синтаксис математических выражений с единицами измерения


Вычисляемое математическое выражение должно быть представлено как однозначно интерпретируемая строка символов. Для вычисления выражения нам нужно ответить на ряд важных вопросов:

  1. Как выражаются числа с единицами измерения и как с ними можно выполнять действия?
  2. Какие символы допускаются в выражении и что они обозначают?
  3. Как символы группируются для создания структур/операций с математическим смыслом?
  4. Как преобразовать выражение на основании его структуры, чтобы получить математическое вычисление?

Представление чисел и единиц измерения


Чтобы различные операции могли работать с парами «число-единица измерения», нужно задать их структуру и операторы. В следующем разделе я вкратце расскажу, как реализовать такие пары «число-единица измерения».

Единицы измерения СИ — простая реализация на C++


В международной системе единиц физические величины выражаются как произведение 7 основных единиц: времени, длины, массы, электрического тока, термодинамической температуры, количества вещества и силы света.


Каждую физическую величину можно создать из произведения степеней этих единиц. Мы называем полную сложную производную единицу «размерностью». Создадим структуру, отражающую этот факт, сохранив в ней вектор степеней, связанный с каждой основной единицей:

struct unit{              // Generic SI Derived-Unit

  vector<double> dim;     // Vector of base-unit powers

  unit(){};               // Constructors
  unit(dlist d){
    for(auto&e: d)
      dim.push_back(e);
  }

};

void fatal(string err){
  cout<<err<<endl;
  exit(0);
}

//Comparison Operators
bool operator==(const unit& l, const unit& r){
  if(l.dim.size() != r.dim.size())
    fatal("Dimension mismatch");
  for(int i = 0; i < l.dim.size(); i++)
    if(l.dim[i] != r.dim[i]) return false;
  return true;
}

bool operator!=(const unit& l, const unit& r){
  return !(l == r);
}

Мы можем задать каждую основную единицу как константу типа unit:

const unit D   = unit({0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}); //No Dimension
const unit s   = unit({1, 0, 0, 0, 0, 0, 0});
const unit m   = unit({0, 1, 0, 0, 0, 0, 0});
const unit kg  = unit({0, 0, 1, 0, 0, 0, 0});
const unit A   = unit({0, 0, 0, 1, 0, 0, 0});
const unit K   = unit({0, 0, 0, 0, 1, 0, 0});
const unit mol = unit({0, 0, 0, 0, 0, 1, 0});
const unit cd  = unit({0, 0, 0, 0, 0, 0, 1});

Зададим набор перегруженных операторов для структуры единиц. Разные единицы можно умножать/делить, но нельзя прибавлять/вычитать. При сложении/вычитании одинаковых единиц получается та же единица. Единицу без размерности нельзя использовать как степень, но единицу можно возвести в степень:

unit operator+(unit l, unit r){
  if(l == r) return l;
  fatal("Unit mismatch in operator +");
}

unit operator-(unit l, unit r){
  if(l == r) return l;
  fatal("Unit mismatch in operator -");
}

unit operator/(unit l, unit r){
  if(l.dim.size() != r.dim.size())
    fatal("Dimension mismatch");
  for(int i = 0; i < l.dim.size(); i++)
    l.dim[i] -= r.dim[i];
  return l;
}

unit operator*(unit l, unit r){
  if(l.dim.size() != r.dim.size()) 
    fatal("Dimension mismatch");
  for(int i = 0; i < l.dim.size(); i++)
    l.dim[i] += r.dim[i];
  return l;
}

unit operator%(unit l, unit r){
  if(l == r) return l;
  fatal("Unit mismatch in operator %");
}

template<typename T>
unit operator^(unit l, const T f){
  for(int i = 0; i < l.dim.size(); i++)
    l.dim[i] *= f;
  return l;
}

Пары значений «число-единица»


Числа, связанные с единицами, называются «значениями» и задаются следующим образом:

struct val{
  double n = 1.0;  // Magnitude (default = unity)
  unit u;          // Dimension

  val(){};  //Dimensionless Single Value
  val(double _n, unit _u):n{_n},u(_u){};
};

bool operator==(const val& l, const val& r){
  if(l.u != r.u) return false;
  if(l.n != r.n) return false;
  return true;
}

Аналогично единицам мы зададим набор перегруженных операторов, действующих между значениями и возвращающих новое значение:

val operator+(val l, const val& r){
  l.u = l.u + r.u;
  l.n = l.n + r.n;
  return l;
}

val operator-(val l, const val& r){
  l.u = l.u - r.u;
  l.n = l.n - r.n;
  return l;
}

val operator*(val l, const val& r){
  l.n = l.n * r.n;
  l.u = l.u * r.u;
  return l;
}

val operator/(val l, const val& r){
  l.n = l.n / r.n;
  l.u = l.u / r.u;
  return l;
}

val operator%(val l, const val& r){
  l.n -= (int)(l.n/r.n)*r.n;
  l.u = l.u%r.u;
  return l;
}

val operator^(val l, const val& r){
  if(r.u != D) fatal("Non-Dimensionless Exponent");
  l.n = pow(l.n, r.n);
  l.u = l.u ^ r.n;
  return l;
}

Производные единицы как скомбинированные основные единицы


Имея строку, представляющую единицу или другую физическую величину, мы можем извлечь пару «число-единица» при помощи таблицы поиска. Значения создаются умножением основных единиц и сохраняются в map с ссылкой по символу:

map <string, val> ud = {

  //Base Unit Scalings
  {"min", val(60, s)},
  {"km",  val(1E+3, m)},
  //...

  //Derived Units (Examples)
  {"J",   val(1, kg*(m^2)/(s^2))},    //Joule   (Energy)
  //...

  //Physical Constants
  {"R",   val(8.31446261815324, kg*(m^2)/(s^2)/K/mol)},
  //...

  //Mathematical Constants
  {"pi",  val(3.14159265359, D)},
  //...

};

//Extract Value
val getval(string s){
  auto search = ud.find(s);
  if(search != ud.end()){
    val m = ud[s];
    return m;
  }

  cout<<"Could not identify unit \""<<s<<"\""<<endl;
  exit(0);
}

Если задать, что некоторые величины являются безразмерными, то можно включить в таблицу поиска и математические константы.

Примечание: скомбинированные единицы обычно представляются неким «ключом» или строкой, которые люди могут понимать по-разному. В отличие от них, таблицу поиска легко модифицировать!

Примечание: оператор ^ в таблице поиска требует заключения в скобки из-за его низкого порядка предшествования.

Парсинг выражений


Для своего калькулятора я задал пять компонентов выражения: числа, единицы, операторы, скобки и особые символы.

Каждый символ в допустимом выражении можно отнести к одной из этих категорий. Следовательно, первым шагом будет определение того, к какому классу принадлежит каждый символ, и сохранение его в виде, включающем в себя эту информацию.

Примечание: «особые» символы обозначают унарные операторы, преобразующие значение. Примеры кода написаны на C++ и используют стандартную библиотеку шаблонов.

Мы зададим «класс парсинга» при помощи простого нумератора и зададим «кортеж парсинга» как пару между символом и его классом парсинга. Строка парсится в «вектор парсинга», содержащий упорядоченные кортежи парсинга.

enum pc {                         //Parse Class
  NUM, UNT, OPR, BRC, SPC
};

using pt = std::pair<pc,char>;    //Parse Tuple

using pv = std::vector<pt>;       //Parse Vector

Мы создаём вектор парсинга, просто сравнивая каждый символ со множеством символов, содержащихся в каждом классе.

// Error Handling

void unrecognized(int i, char c){

  cout<<"Unrecognized character \""<<c<<"\" at position "<<i<<endl;

  exit(0);

}

// Construct a parse vector from a string!

pv parse(string e){

  pv parsevec;

  // Iterate over the string

  for(string::size_type i = 0; i < e.size(); i++){

    const char c = e[i]; // Get the next character

    // Permissible characters for each class

    string brackets = "[]";
    string operators = "+-*/^%";    //Binary Operators
    string special = "!~E";         //Unary Operators
    string numbers = "0123456789.";

    // Identify the class and add a parse tuple to the vector

    if(numbers.find(c) != string::npos)
      parsevec.push_back(pt(NUM, c));

    else if(isalpha(c))
      parsevec.push_back(pt(UNT, c));

    else if(operators.find(c) != string::npos)
      parsevec.push_back(pt(OPR, c));

    else if(brackets.find(c) != string::npos)
      parsevec.push_back(pt(BRC, c));

    else if(special.find(c) != string::npos)
      parsevec.push_back(pt(SPC, c));

    else unrecognized(i, c);

  }

  return parsevec;

}

Структура нашей основной программы заключается в сжатии выражения, построении вектора парсинга и передаче его в вычислитель, возвращающий вычисленное выражение:

// MAIN FILE

using namespace std;

// ...

// Compress the command line input
string compress(int ac, char* as[]){
  string t;
  for(int i = 1; i < ac; i++)
    t += as[i]; // append to string
  return t;
}   // Note that spaces are automatically sliced out

// Compress, Parse, Evaluate
int main( int argc, char* args[] ) {

  string expression = compress(argc, args);
  pv parsevec = parse(expression);

  val n = eval(parsevec, 0);
  cout<<n<<endl;

  return 0;

}

Для нашего примера выражения это будет выглядеть так:


Распарсенный пример выражения. Каждый символ в строке может быть отнесён к конкретной категории. Числа обозначены красным, единицы оранжевым, операторы синим, скобки фиолетовым, а особые символы — зелёным.

С самым лёгким мы закончили. Создан вектор парсинга из входящих данных командной строки и теперь мы можем оперировать с числами, связанными со значениями.

Как вычислить вектор парсинга, чтобы получить единичное значение?

Вычисление выражений


Нам осталось вычислить вектор парсинга, для чего требуется информация о структуре семантических математических выражений.

Здесь можно сделать следующие важные наблюдения:

  1. Связанные друг с другом числа и единицы в выражении всегда находятся рядом
  2. Унарные операторы можно применять напрямую к связанным с ними парами «число-единица»
  3. Двоичные операторы используются между парами «число-единица», возвращая одну новую пару «число-единица»
  4. Двоичные операторы имеют определённый порядок вычислений
  5. Скобки содержат выражения, которые сами по себе можно вычислить для получения пары «число-единица»
  6. Сбалансированное выражение без унарных операторов или скобок всегда состоит из N значений и N-1 операторов

После создания пар «число-единица» и применения унарных операторов вектор парсинга преобразуется в сбалансированную последовательность значений и операторов.

Одновременно внутри рекурсивным образом вычисляются скобки, чтобы свести их к одному значению.

В общем случае это означает, что вектор парсинга можно вычислить при помощи рекурсивной функции, возвращающей пару «число-единица».

Рекурсивная функция вычисления вектора парсинга


Рекурсивная функция eval описывается следующим процессом:

  1. Итеративно обходим вектор парсинга
    1. Когда встречаем скобку, вызываем eval для внутреннего выражения, чтобы получить значение
    2. Извлекаем пары «число-единица», применяя унарные операции, и сохраняем в вектор
    3. Извлекаем бинарные операции и сохраняем в вектор
  2. Применяем двоичные операторы в правильном порядке, используя наши сбаланированные векторы значений и операторов


Создание упорядоченной последовательности значений и операторов


Начнём с определения функции eval, получающей дополнительный параметр n, обозначающий начальную точку:

val eval(pv pvec, int n){

  if(pvec.empty()) return val(1.0, D);
  if(pvec[0].first == OPR) invalid(n);

  vector<val> vvec;   //Value Sequence Vector
  vector<char> ovec;  //Binary Operator Sequence Vector

  // ...

Примечание: пустой вектор парсинга возвращает безразмерное единичное значение и вектор парсинга не может начинаться с оператора.

Мы итеративно проходим по строке, отслеживая начальную и конечную точку текущей наблюдаемой последовательности. Когда мы встречаем скобку, то находим конечную точку скобки и вызываем функцию вычисления для внутреннего выражения:

  // ...

  size_t i = 0, j = 0;  //Parse section start and end
  while(j < pvec.size()){

    //Bracketing
    if(pvec[j].second == '['){

      i = ++j;  //Start after bracket
      for(int nbrackets = 0; j < pvec.size(); j++){
        if(pvec[j].second == '[') //Open Bracket
          nbrackets++;
        else if(pvec[j].second == ']'){
          if(nbrackets == 0) //Successful close
            break;
          nbrackets--; //Decrement open brackets
        }
      }

      //Open Bracket at End
      if(j == pvec.size())
        invalid(n+i-1);

      //Recursive sub-vector evaluate
      pv newvec(pvec.begin()+i, pvec.begin()+j);
      vvec.push_back(eval(newvec, n+j));
    }

    // ...

Это приведёт к рекурсии, пока не будет найдено выражение вектора парсинга, не содержащее скобок, а значит, состоящее из сбалансированной последовательности значений и операторов.


При вычислении внутреннего выражения скобки возвращается некое значение. После уничтожения всех скобок останется только сбалансированная последовательность значений и операторов.

Операторы можно добавлять напрямую, а значения задаются комбинацией чисел, единиц и унарных операторов. Мы можем создать значение, найдя последовательность идущих друг за другом кортежей парсинга, представляющих её, и построив его соответствующим образом:

    // ...

    //Add Operator
    if(pvec[j].first == OPR)
      ovec.push_back(pvec[j].second);

    //Add Value
    if(pvec[j].first == NUM ||
       pvec[j].first == UNT ||
       pvec[j].first == SPC ){

      i = j; //Start at position j
      while(pvec[j].first != OPR &&
            pvec[j].first != BRC &&
            j < pvec.size()) j++; //increment

      //Construct the value and decrease j one time
      pv newvec(pvec.begin()+i, pvec.begin()+j);
      vvec.push_back(construct(newvec, n+j));
      j--;
    }

    j++; //Increment j

    //Out-of-Place closing bracket
    if(pvec[j].second == ']')
      invalid(n+j);

  }

  // Check if sequence is balanced
  if(ovec.size() + 1 != vvec.size())
    fatal("Operator count mismatch");

  // ...

Мы конструируем значения из их последовательности кортежей парсинга, выявляя числовые компоненты, единицы и унарные операторы.

Создание пар «число-единица» и унарные операторы


Так как этот калькулятор поддерживает представление в числах с плавающей запятой, значение может состоять и из предэкспоненты, и из степени. Кроме того, обе эти величины могут иметь знак.

Знак извлекается как первый символ, за которым следует последовательность чисел. Значение извлекается при помощи stof:

val construct(pv pvec, int n){

  unit u  = D;       //Unit Initially Dimensionless
  double f = 1.0;    //Pre-Exponential Value
  double p = 1.0;    //Power
  double fsgn = 1.0; //Signs
  double psgn = 0.0;

  size_t i = 0;      //Current Index
  string s;
  bool fp = false;   //Floating Point Number?

  //First Character Negation
  if(pvec[i].second == '~'){
    fsgn = -1.0;
    i++;
  }

  //Get Numerical Elements
  while(i < pvec.size() && pvec[i].first == NUM){
    s.push_back(pvec[i].second);
    i++;
  }

  if(!s.empty()) f = stof(s);   //Extract Value
  s.clear();                    //Clear String

  //...

Примечание: унарный оператор, обозначающий смену знака, например, -1, представлен здесь в виде тильды (~), потому что так проще отличать его от бинарного оператора вычитания.

Далее мы проверяем наличие записи с плавающей запятой и повторяем это, чтобы получить знак и величину степени:

  //...

  //Test for Floating Point
  if(pvec[i].second == 'E'){
    i++;
    psgn = 1.0;

    if(pvec[i].second == '~'){
      psgn = -1.0;
      i++;
    }

    while(i < pvec.size() && pvec[i].first == NUM){ //Get Number
      s.push_back(pvec[i].second);
      i++;
    }
    if(!s.empty()) p = stof(s);
    else fatal("Missing exponent in floating point representation.");
    s.clear();
  }

  //Double floating point attempt
  if(pvec[i].second == 'E')
    invalid(n+i);

  //...

Наконец, мы извлекаем оставшуюся единицу как строку и получаем соответствующее значение. Применяем оставшиеся в конце унарные операторы и возвращаем окончательный вид значения:

  //...

  //Get Unit String
  while(i < pvec.size() && pvec[i].first == UNT){
    s.push_back(pvec[i].second);
    i++;
  }

  if(!s.empty()){
    val m = getval(s);
    f *= m.n; //Scale f by m.n
    u = m.u;  //Set the unit
  }

  if(pvec[i].second == '!'){
    f = fac(f);
    i++;
  }

  if(i != pvec.size())  //Trailing characters
    invalid(n+i);

  return val(fsgn*f*pow(10,psgn*p), u);
}

Этот процесс сводит все комбинации унарных операторов, чисел и единиц к структурам значений, с которыми можно оперировать при помощи бинарных операторов:


Здесь вы видите, как выражение с унарным оператором сводится к значению.

Примечание: позиция передаётся функции создания, чтобы была известна абсолютная позиция в выражении для обработки ошибок.

Сжатие упорядоченной последовательности значений и операторов


Наконец, у нас получилась сбалансированная последовательность значений и бинарных операторов, которую мы можем сжать, используя правильный порядок операций. Два значения, связанные стоящим между ними оператором, можно сжать при помощи простой функции:

val eval(val a, val b, char op){
  if(op == '+') a = a + b;
  else if(op == '-') a = a - b;
  else if(op == '*') a = a * b;
  else if(op == '/') a = a / b;
  else if(op == '^') a = a ^ b;
  else if(op == '%') a = a % b;
  else{
    std::cout<<"Operator "<<op<<" not recognized"<<std::endl;
    exit(0);
  }
  return a;
}

Чтобы сжать всю сбалансированную последовательность, мы итеративно обходим вектор парсинга по разу для каждого типа оператора в правильном порядке и выполняем бинарные вычисления. Стоит заметить, что умножение и деление могут происходить одновременно, как и сложение с вычитанием.

  //...

  function<void(string)> operate = [&](string op){
    for(size_t i = 0; i < ovec.size();){
      if(op.find(ovec[i]) != string::npos){
        vvec[i] = eval(vvec[i], vvec[i+1], ovec[i]);
        ovec.erase(ovec.begin()+i);
        vvec.erase(vvec.begin()+i+1, vvec.begin()+i+2);
      }
      else i++;
    }
  };

  operate("%");
  operate("^");
  operate("*/");
  operate("+-");

  return vvec[0];
}

Получаем окончательный результат по нулевому индексу и возвращаем его.


Скобки вычисляются рекурсивно, как внутренне сбалансированная последовательность значений и операторов. После устранения всех скобок из основного выражения возвращается окончательное значение.

Примечание: эта рекурсивная структура отражает древовидную природу семантики математического выражения.

Результаты и выводы


Описанная выше структура была обёрнута в простой инструмент командной строки, который я назвал «dima» (сокращённо от «dimensional analysis»). Полный исходный код можно найти здесь.

Этот простой калькулятор командной строки будет правильно вычислять выражения с единицами измерения.

Единицы правильно комбинируются и раскладываются:

 dima J
1 kg m^2 s^-2
> dima J / N
1 m
> dima J/N + 2cm
1.02 m

одновременно позволяя быстро узнавать значения констант:

> dima R
8.31446 kg m^2 K^-1 mol^-1 s^-2

При необходимости таблицу поиска выражений с единицами можно модифицировать.

Можно расширить эту систему, добавив способ задания функций/преобразований с именами.

Ещё одно потенциальное улучшение: можно добавить некий буфер вычислений, при помощи оператора присваивания сохраняющий переменные в новом словаре, доступ к которому можно получить при других последующих вычислениях. Однако для такого сохранения состояния потребуется запись в файл или запуск процесса.

Этот семантический математический парсер можно полностью преобразовать и создать другие полезные математические программы.

Например, можно попробовать алгебраически преобразовывать выражения с переменными, чтобы находить более изящное представление на основании какого-нибудь способа оценки (длины, симметрии, повторяющихся выражений и т.д.)

Ещё одной возможной вариацией может стать вспомогательная функция дифференцирования, использующая алгоритмическую природу производных.



На правах рекламы


Наша компания предлагает виртуальные серверы в аренду для любых задач и проектов, будь то серьёзные выслечения или просто размещение блога на Wordpress. Создавайте собственный тарифный план в пару кликов и за минуту получайте готовый сервер, максимальная конфигурация бьёт рекорды — 128 ядер CPU, 512 ГБ RAM, 4000 ГБ NVMe!

Теги:c++математикаинжениринг
Хабы: Блог компании VDSina.ru Программирование C++ Алгоритмы Математика
Всего голосов 32: ↑30 и ↓2 +28
Просмотры6.5K

Комментарии 14

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Похожие публикации

Лучшие публикации за сутки

Информация

Дата основания
Местоположение
Россия
Сайт
vdsina.ru
Численность
11–30 человек
Дата регистрации
Представитель
Mikhail

Блог на Хабре