Комментарии 47
4 угла по 90 и 4 по 180 — это выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.
Наиболее корректное и непротиворечивое определение выпуклых многоугольников включает в них точки лежащие на сторонах.
Количество углов в 180 градусов на каждой стороне восьмиугольника — бесконечно. Это вроде как не нарушает условие выпуклости.
А что такое плоскость?
Если мы из теории вернёмся в реальный мир, то пока не доказано что вселенная не плоская. И если мы возьмём 8-ми угольник достаточно большого размера, или в гравитационном поле, то можно будет построить такой 8-ми угольник.
Плоскость вполне себе определена в рамках евклидовой геометрии. Причём тут «давайте перейдем в реальный мир» и измерений кривизны вселенной? То, что вселенная не плоская, запрещает нам рассматривать идеализированные объекты, или что? Если вы хотите придумать такую поверхность, на которой можно построить такой восьмиугольник — это все равно будет другой такой же идеальный объект.
В задаче не сказано что решать её надо в рамках евклидовой геометрии.
Зачем придумывать? мы на шаре живём. На нём вполне можно начертить такой восьмиугольник. Так что восьмиугольный выпуклый участок земли может быть не только в теории, но и на практике.
мы на шаре живём. На нём вполне можно начертить такой восьмиугольник.

Это еще какое приближение! А если внимательнее посмотреть, то уже не шар — а геоид. А как только вы попробуете описать поверхность, на которой чертите свой восьмиугольник, достаточно подробно, до мельчайших деталей — столкнетесь с проблемой береговой линии)
Меня триггернул ваш порыв перевести все «из теории в реальность». Который на самом деле из теории в другую теорию, от одной модели к другой — и в этом нет ничего плохого. Просто противопоставление «теория-реальность» абсолютно не к месту.
Так это и есть из теории в реальность. Научат что нельзя, а потом участок земли отмерить не смогут, скажут это невозможно. Если задача невозможная, то первым делом следует уточнить условия, а потом уже заявлять что она невозможная. Речь-то не про школьников, а студентов.
Ну так поэтому и можно. У нас же проблема что сумма углов превосходит ту, что получается по формуле на плоскости.

Наоборот же. У нас проблема в том, что 4 прямых угла это всего 360 градусов и остававшиеся углы в среднем будут по 180 градусов, т.е. хотя бы один будет больше 180, чего не может быть в выпуклом многоугольнике как в евклидовой плоскости, так и на шаре.

оставшиеся углы будут в среднем по 180 градусов на плоскости, и более 180 градусов на шаре.
Треугольник с суммой углов 270 градусов(все прямые) на шаре нарисовать элементарно. 2 точки на экваторе, 3-я на полюсе.
Соответственно если добавить туда ещё 5 углов, по 180 градусов, получится 3*90+5*180=1170градусов возможная сумма углов на шаре для 8-ми угольника.
а на плоскости (8-2)*180=1080
более 180 градусов на шаре.

Не менее 180 градусов на шаре.


Соответственно если добавить туда ещё 5 углов, по 180 градусов

Что такое "угол 180 градусов" в многоугольнике на шаре? Это любая точка на стороне этого треугольника? Почему тогда всего 5, а не бесконечное количество? Почему квадрат в евклидовой плоскости не считается восьмиугольником с четырьмя прямыми углами и четырьмя углами по 180 градусов с вершинами в середине каждой стороны?

Да, любая точка.
Потому что в задаче восьмиугольник. 8-3=5.
вопрос про углы в 180 градусов не ко мне. Я такого не утверждал.

Почему только одна точка, а не больше или все сразу? Если любая точка считается углом — у вас бесконечноугольник. Если не любая — чем отличаются те, которые считаются?


Я подскажу — потому что у многоугольника соседние стороны не могут лежать на одной прямой (по всем известным мне определениям многоугольника). И углов в 180 градусов в многоугольнике быть не может. Вернее их там бесконечное количество, но в зачет N для N-угольника они не идут.


Потому что в задаче восьмиугольник. 8-3=5.

В задаче надо 4 прямых угла вообще-то.

Как только прочитал условие, сразу возник восьмиугольник в 3-х мерном состоянии с приподнятыми вершинами с углами по 90.
В корне не согласен с автором:
установили, что такой восьмиугольник невозможен.

Такая логика действует только с действительно талантливыми студентами, с которыми в принципе и подействует фраза «ДА эта задача решается». Большая часть скажет, невозможно, к чему доказательства пошли дальше.
На лицо типичная «ошибка выжевшего», попытка натягивания методики на жажду знаний индивидуумов.
Важная первая часть — 4 по 90. И восемь точек. На них построен восьмиугольник удовлетворяющий требованиям задачи. Причем тут бесконечности?
Любой прямоугольник, это 4 точки. Остальные четыре можно проставить где угодно на любой из сторон и назвать это творение восьмиугольником. Впрочем, математик я, так себе.

Вам не кажется глупым называть квадрат восьмиугольником?

Согласен, но и задание не очень…

Впрочем: «Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка)...».
Вы просто не с той стороны смотрите. Даны восемь гвоздей на плоскости. На них по кругу натянута веревка. Есть только два варианта. Веревка касается всех гвоздей. Или не всех. В первом случае это выпуклый восьмиугольник.
Два варианта могут быть и такими: убирание любого из гвоздей меняет выпуклую оболочку или есть гвоздь, который можно убрать не изменив оболочку.
Это как раз другая сторона :)
У меня проф деформация, что точки убирать нельзя. N мерная оболочка параболы дает N-1 делоне триангуляцию. А в этих точках просто неоднозначность, поделить можно по разному
Не спора, но понимания ради, спрошу — из какого определения взят упомянутый вами постулат?
Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно.

Это невозможно доказать лишь в рамках классической логики, которая для парадоксального выражения Гёделя вообще не применима. Это как раз хороший пример, когда для разрешения парадокса надо сделать два шага назад и усомниться в самых основах. Подробнее тут:


Как выше заметили, многоугольник может быть не только в евклидовой плоскости. На других поверхностях, например гиперболических, построить такой восьмиугольник не представляет труда.


В задаче про монетку тоже не хватает условия, что вероятность выпадения орла на каждом шаге остается неизменной, т.е. монетка stateless. Моя монетка выпадает решкой на чётных и орлом на нечётных бросках.


Я понимаю, что это "само собой подразумевается", но если уж речь идёт о "понять математику поглубже", то такие решения должны учитываться.

А ну ка расскажите как в таком случае монета определяет что она упала? Потому как если вы вводите в нее свойство памяти о предыдущем состоянии (чет нечет)

Мы сейчас про математику говорим или про техническую реализацию?


Ну и как-то обрывается на самом интересном месте ваш комментарий.

image
Постройте выпуклый восьмиугольник с четырьмя прямыми углами.

Упс, картинка в комментарии сверху пропала. Перезалил на HabraStorage.
image
логик Курт Гёдель навсегда изменил математику, доказав, что невозможно доказать, что всё истинное истинно

  1. Он доказал, что в определённого рода формальных системах есть высказывания, которые недоказуемы и при этом недоказуемы также их отрицания. Насчёт истинности этих высказываний не всё так просто.


  2. На математику это глобально никак не повлияло. А должно было?


  1. ну коцептуально теорема о неполноте связана с проблемой останова — а та повлияла весьма сильно.

Ну смотри. Построили формальную систему, т.е. задали аксиомы (которые и принимаются как истина, по сути синоним). Если найдеться такое утверждение (а теорема говорит о существованиии а не о возможности найти, но допустим нашли), то его придеться сделать аксиомой, либо его отрицание. Т.е. в том числе невозможно доказать истинность.

Это абсурдное утверждение, поэтому для него не просто нельзя доказать истинность, а для него понятие истинности вообще не применимо. Попробуйте сделать аксиомой утверждение "это утверждение ложно", либо его отрицание и посмотрите, что получится.

теорема говорит о существованиии а не о возможности найти

Это так, но на самом деле в доказательстве Гёделя такое утверждние строится явно.


его придеться сделать аксиомой, либо его отрицание

Не обязательно. Ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не считаются аксиомами в математике, хотя хорошо известно, что они недоказуемы.


Ну и если вы сделали какое-то утверждение аксиомой, то после этого оно становится доказуемым в один шаг (а именно указанием на то, что это аксиома).


Ну и добавлю на всякий случай, что 1) аксиомы задают теорию, но ещё не формальную систему — для последней также необходимы правила вывода, то есть дедуктивная система, и вот если она задана, то можно говорить о доказуемости; 2) а чтобы говорить об истинности, теории тоже недостаточно, нужна модель теории, иначе говоря семантика.

Это похоже на дзенский коан: «Наконец, кто-то задаёт вопрос, который никто не осмеливался задать, вопрос, которого я ждал: «Ты втираешь мне какую-то дичь Слушайте, а это вообще возможно?» Учитель улыбнулся и ответил: «Вот, наконец ты постиг Дзен»

Ну если преподавать все время только дзен методикой, то научиться именно решать не получиться. Так что дзен нужен в меру, а вот какова эта мера да дзен его знает

У моего ребенка со второго класса в учебнике то ли ошибки (а они есть — это факт, там на сайте издательства есть целый лист А4), то ли умышленно нерешаемые задачи. Так вот ведет это к тому, что если задача чуть посложнее, у ребенка сразу ответ — решения нет.

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Информация

Дата основания
Местоположение
Россия
Сайт
vdsina.ru
Численность
11–30 человек
Дата регистрации

Блог на Хабре