Как стать автором
Обновить

Комментарии 13

Континуум-гипотеза не является парадоксом и не является нерешенной математической проблемой. Она просто недоказуема в стандартной теории множеств основывающейся на аксиоматике Цермело-Френкеля. То что недоказуемо отрицание этой гипотезы было установлено Геделем, а недоказуемость утверждения этой гипотезы была доказана Коэном. Это значит всего лишь, что континуум-гипотезу, равно как и ее отрицание можно добавлять в аксиоматику теории множеств. И будут получаться различные внутренне непротиворечивые теории множеств.

В качестве аналога можно рассмотреть пятую аксиому Евклида, о том, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Ее тоже нельзя доказать при помощи четырех других аксиом, а если вместо нее взять одно из двух противоположных утверждений, то получится либо геометрия Лобачевского, либо геометрия Римана. Но из этого не следует, что пятая аксиома Евклида является парадоксом, либо нерешенной математической проблемой.

Ровно также дело обстоит с континуум-гипотезой.

нерешенная ≠ неразрешимая

P.S. За наводку на статью спасибо, посмотрю что они там придумали :)
Вот, я бы тоже хотел когда-то так писать комментарии. В одной плоскости — как тот, кто понимает и объясняет для тех, кто понял статью, и в другой — как тот, кто понимает и объясняет для тех, кто хотел понять статью, но не понял (это сейчас я), но так, чтобы после объяснения у тех, кто не понял до прочтения объяснения, возникло желание ещё раз прочитать статью и попытаться её понять, взяв под руку википедию.

Поэтому я люблю популяризаторов науки (кем для меня являетесь и вы, stabuev). Просто спасибо!

Информативность и понятность этого комментария в бесконечность раз превосходит информативность и понятность статьи.


Спасибо.

Тоже об этом подумал, но вопрос — если её добавить в аксиомы математика останется непротиворечивой?
Именно так, ведь была доказана непротиворечивость этого факта, как и его отрицания аксиоматике.

Но в основаниях теории множеств вообще все непросто, потому что непротиворечивость принятой аксиоматики (ZFC) сама по себе не доказана, поэтому когда что-то доказывают в этой области оговаривают, «если не противоречива аксиоматика, то...»

По ходу тут какие-то проблемы с переводом, так как возможность обобщения модели, обученной на конечных наборах данных была показана Вапником и Червоненкисом ещё в 70-х. В итоге не понятно, о чем идёт речь в статье (скорее всего о чем-то другом), или что-то не так с формулировка и проблемы. Надо будет почитать оригинальную работу.

Посмотрел с утра работу, с первого наскока разобраться не получилось, довольно сложный язык + не всегда строгие формулировки, надо смотреть предысторию по ссылкам, но то, что я понял — это они берут конечные наборы из множества мощности континуума — отрезка [0, 1] и что-то крутят с ними. Попробую еще поковырять.
Поскольку действительные числа включают в себя иррациональные, а также рациональные и целые числа
Миллениалы изобрели доказательство теоремы Кантора
исследуя связь между обучаемостью и «сжатием», которое включает в себя поиск способа отображения характерных признаков большого набора данных на меньший набор...

Когда завели речь о сжатии, то вспомнилась проблема невычислимости Колмогоровской сложности и связанный с ней принцип Минимальный длины сообщения (… который, «в статистическом и индуктивном выводе и машинном обучении был разработан Уоллесом (англ. C. S. Wallace) и Болтоном (англ. D. M. Boulton) в 1968 году.»)

«Эта связь между сжатием и обобщением действительно фундаментальна в вопросе понимания процесса обучения.» — говорит Иегудаев

И и как справедливо указано выше,
нерешенная ≠ неразрешимая
то и невычислимая ≠ «невозможно вычислять»
т.е. просто невозможно в общем случае дать ответ на вопрос «а есть ли какой-то самый компактный способ представить информацию», что не исключает возможности какие-то способы находить.

Эта проблема, действительно, очень неплохо коррелирует с обучением: даже когда, казалось бы, нам известно «всё» про изучаемый предмет — не лишним будет всегда оставлять допущение, что «что-то про явление мы всё ещё не знаем». И это какое-то фундаментальное свойство природы, если нам заведомо неизвесна полная аксиоматика теории, которая это явление описывает.

очень похоже на различие между частотным и байесовским подходом
Ключевое различие в том, что понимать под случайной величиной. В частотных терминах мы под случайной величиной понимаем величину, значение которой мы спрогнозировать не можем, не оценив какие-то статистические закономерности. Нужно что-то обладающее объективной неопределенностью, в то время как при байесовском подходе случайная величина интерпретируется просто в качестве детерминированного процесса. Он может быть полностью спрогнозирован. Просто в данном детерминированном процессе мы не знаем часть факторов, влияющих на исход. Поскольку мы их не знаем, мы не можем спрогнозировать исход детерминированного процесса. Значит, для нас данный исход выглядит как случайная величина.
https://habr.com/ru/companies/yandex/articles/321434/

множество целых чисел «меньше», чем множество всех действительных чисел, также известное как континуум. (Поскольку действительные числа включают в себя иррациональные, а также рациональные и целые числа.)

Не поэтому. Множество натуральных чисел эквивалентно по мощности множеству рациональных, хотя не содержит ни дробей ни отрицательных чисел.

Работа Геделя и Коэна над гипотезой континуума допускает, что могут существовать параллельные математические вселенные, отвечающие законам стандартной математики: одна — в которой гипотеза континуума становится общепринятой аксиомой, то есть объявляется истинной, а вторая – в которой она же объявлена ложной.


Привет из квантовой физики :)
Зарегистрируйтесь на Хабре , чтобы оставить комментарий