28 апреля

Какова геометрия Вселенной?

Блог компании Cloud4YМатематикаНаучно-популярноеКосмонавтика
Перевод
Автор оригинала: Erica Klarreich

Облачные решения хороши тем, что позволяют создавать проекты любой сложности, вплоть до виртуального дата-центра. Если попробовать визуализировать эти структуры, то получится этакая мини-вселенная. Давайте поиграем с геометрией, попробовав визуализировать разные модели нашей вселенной.

В нашем сознании вселенная кажется бесконечной. Но с помощью геометрии мы можем рассмотреть различные трехмерные формы, которые предлагают альтернативу «обычному» бесконечному пространству.


Когда смотришь на ночное небо, кажется, будто пространство расширяется во всех направлениях. Такова наша ментальная модель вселенной, но она не всегда является верной. В конце концов, было время, когда все думали, что Земля плоская, потому что изгибы нашей планеты было чрезвычайно трудно заметить, а уж про сферическую форму Земли и вовсе не думали.

Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы. Но мало кто задумывается о форме Вселенной. Подобно тому, как сфера стала альтернативой плоской Земле, другие трехмерные формы предлагают альтернативу «обычному» бесконечному пространству.

Мы можем задать два разных, но все же тесно связанных между собой вопросов о форме Вселенной. Один из них касается её геометрии: мелкозернистых локальных измерений таких элементов, как углы и области. Другой — о топологии: как эти локальные части сшиваются в общую форму.

Космологические данные свидетельствуют о том, что часть Вселенной, которую мы можем видеть, гладкая и однородная, по крайней мере приблизительно. Локальная ткань пространства выглядит одинаково в каждой точке и во всех направлениях. Только три геометрические формы подходят под это описание: плоская, сферическая и гиперболическая. Давайте рассмотрим эти модели, некоторые топологические предположения а также то, что говорят космологические данные о формах лучше всего описывающих нашу вселенную.

Плоская геометрия (планиметрия)


Это геометрия, которую мы изучали в школе. Углы треугольника составляют 180 градусов, а площадь круга — πr2. Самым простым примером плоской трёхмерной формы является обычное бесконечное пространство — то, что математики называют евклидовым пространством, — но есть и другие плоские формы, которые тоже нужно учитывать.



Эти формы сложнее визуализировать, но мы можем попробовать пофантазировать, думая в двух измерениях, а не в трёх. В дополнение к обычной евклидовой плоскости, мы можем создать другие плоские формы, вырезая часть плоскости и скрепляя её края вместе. Например, предположим, что мы вырезаем прямоугольный лист бумаги и скрепляем его противоположными краями. Склеивание верхней и нижней граней даёт нам цилиндр:



Потом мы можем заклеить правый и левый края, чтобы получить пончик (то, что математики называют тором):



Теперь вы, наверное, думаете: «но мне не кажется это плоским». И будете правы. Мы немного сжульничали, описывая, как устроен плоский тор. Если бы вы действительно попытались сделать тор из листа бумаги таким образом, вы бы столкнулись с определенными трудностями. Сделать цилиндр было бы легко, но заклеить концы цилиндра у вас бы не вышло: Бумага сминалась бы по внутреннему кругу тора и не растягивалась бы достаточно далеко по внешнему кругу. Вместо бумаги пришлось бы использовать какой-нибудь растягивающийся материал. Но это растяжение искажает длины и углы, меняя геометрию.

Внутри обычного трёхмерного пространства невозможно построить реальный, гладкий физический тор из плоского материала без искажения его геометрии. Но мы можем отвлечённо порассуждать о том, каково это — жить внутри плоского тора.

Представьте, что вы двумерное существо, чья вселенная — плоский тор. Поскольку геометрия этой вселенной происходит от плоского листа бумаги, все геометрические факты, к которым мы привыкли, такие же, только в маленьком масштабе: углы в треугольнике суммируются до 180 градусов и так далее. Но изменения, которые мы внесли в глобальную топологию путём вырезания и заклеивания, означают, что опыт пребывания в торе будет сильно отличаться от того, к чему мы привыкли.

Для начала, на торе есть прямые пути, которые изгибаются и возвращаются туда, откуда начинались:



Эти пути выглядят изогнутыми на искаженном торе, но обитателям плоского тора они кажутся прямыми. А так как свет распространяется по прямым путям, то если посмотрите прямо, то увидите себя сзади:



На листе бумаги свет, который вы видите, проходил сзади, пока не достигал левого края, а затем снова появился справа, как будто в видеоигре:



Можно представить это иначе. Например, вы (или луч света) пересекаете одну из четырёх границ, появляясь в том, что кажется новой «комнатой». Но на самом деле это та же самая комната, только увиденная с новой перспективы.



Это значит, что вы также можете видеть бесконечное множество различных копий себя, глядя в разных направлениях. Это своего рода эффект «Зеркального коридора», за исключением того, что копии вас не являются отражениями:



На пончике они соответствуют множеству различных колец, по которым свет может перемещаться от вас к вам:



Точно так же мы можем построить плоский трехмерный тор, приклеив противоположные стороны куба. Визуализировать это пространство как объект внутри обычного бесконечного пространства не получится, но мы можем абстрактно рассуждать о жизни внутри него.

Подобно тому, как жизнь в двухмерном торе была подобна жизни в бесконечном двухмерном массиве одинаковых прямоугольных комнат, жизнь в трёхмерном торе подобна жизни в бесконечном трёхмерном массиве одинаковых кубических комнат. Вы увидите бесконечно много копий себя:



Трёхмерный тор — всего лишь один из 10 различных плоских конечных миров. Существуют также плоские бесконечные миры, такие как трехмерный аналог бесконечного цилиндра. В каждом из этих миров существует разный набор зеркальных залов.

Является ли наша Вселенная одной из этих плоских форм?


Когда мы смотрим в космос, мы не видим бесконечно много копий себя. Тем не менее, на удивление трудно исключить эти плоские формы. Во-первых, они все имеют одну и ту же локальную геометрию, что и евклидово пространство, поэтому никакое локальное измерение не может различить их.

И если бы вы увидели копию себя, то это далёкое изображение показало бы, как вы (или ваша галактика, например) выглядели в далеком прошлом, так как свет должен был долго путешествовать, чтобы добраться до вас. Может быть, мы видим там неузнаваемые копии себя. Что ещё хуже, разные копии себя, как правило, находятся на разных расстояниях от вас, поэтому большинство из них будут выглядеть по-разному. И, возможно, они всё равно слишком далеко, чтобы мы могли их увидеть.

Чтобы обойти эти сложности, астрономы, как правило, ищут не копии самих себя, а повторяющиеся черты в самом дальнем из того, что мы можем видеть: космическое микроволновое фоновое (CMB) излучение, оставшееся после Большого взрыва. На практике это означает поиск пар кругов в реликтовом излучении, которые имеют совпадающие узоры горячих и холодных точек, что позволяет предположить, что это действительно один и тот же круг, который мы видим с двух разных точек.



В 2015 году астрономы провели именно такой анализ, используя данные с космического телескопа Планка. Они прочесали данные о видах совпадающих кругов, которые мы ожидали увидеть внутри плоского трехмерного тора или другой плоской трехмерной формы, называемой пластиной, но им не удалось их найти.

Это означает, что если мы действительно живем в торе, то он, вероятно, настолько велик, что любые повторяющиеся узоры лежат за пределами наблюдаемой вселенной.

Сферическая геометрия


Мы все знакомы с двумерными сферами — поверхностью шара, апельсина, Земли. Но что бы означало для нашей вселенной быть трёхмерной сферой?

Сложно представить себе трёхмерную сферу, но её легко описать с помощью простой аналогии. Подобно тому, как двумерная сфера — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в обычном трёхмерном пространстве, так и трёхмерная сфера (или «трехсфера») — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в четырёхмерном пространстве.

Жизнь в трёх сферах сильно отличается от жизни в плоском пространстве. Чтобы почувствовать это, представьте, что вы двухмерное существо, живущее в двухмерной сфере. Двухмерная сфера — это вся Вселенная — вы не можете видеть и не можете получить доступ ни к одному из окружающих трёхмерных пространств. Внутри этой сферической вселенной свет движется по кратчайшим путям: по большим кругам. Для вас эти большие круги кажутся прямыми линиями.



Теперь представьте, что вы и ваш двумерный друг тусуетесь на Северном полюсе, и ваш друг идет на прогулку. В то время как ваш друг прогуливается, вначале он будет становиться все меньше и меньше в вашем зрительном пространстве, так же, как и в нашем обычном мире (хотя он не будет уменьшаться так быстро, как мы привыкли). Это из-за того, что пока ваше зрительное пространство будет увеличиваться, ваш друг будет занимать все меньше и меньше места в нём:



Но как только друг проходит экватор, происходит что-то странное: он начинает казаться всё больше и больше, чем дальше уходит. Это потому, что процент, который он занимает в вашем зрительном пространстве, растёт:



Когда ваш друг будет в трёх метрах от Южного полюса, он будет выглядеть такими же большими, как и в трёх метрах от вас:



А когда он достигнет самого Южного полюса, его можно будет увидеть во всех направлениях, так что он заполнит весь ваш визуальный горизонт:



Если на Южном полюсе никого нет, то ваш визуальный горизонт — это нечто ещё более странное: вы сами. Всё потому, что свет, исходящий от вас, будет идти по всей сфере, пока не вернется к вам.

Это можно соотнести с жизнью в трёхмерной сфере. Каждая точка на трёхсфере имеет противоположную точку, и, если там есть объект, мы увидим его как фон, будто это небо. Если же там ничего нет, то вместо этого мы увидим самих себя в качестве фона – будто наш экстерьер был наложен на воздушный шар, затем вывернут наизнанку и надут, чтобы стать целым горизонтом.



Трёхсфера является фундаментальной моделью сферической геометрии, но это не единственное такое пространство. Подобно тому, как мы строили плоские пространства, вырезая кусок из евклидового пространства и склеивая его, мы можем строить сферические пространства, склеивая подходящий кусок из трех сфер. Каждая из этих склеенных форм, как и в торе, будет иметь эффект «лабиринта отражений», но в этих сферических формах есть только ограниченное количество комнат, через которые можно пройти.

Может ли наша Вселенная быть сферической?


Даже самые самовлюбленные люди не могут представить себя фоном всего ночного неба. Но, как и в случае с плоским тором, тот факт, что мы не видим какое-либо явление, не означает, что оно не может существовать. Окружность сферической вселенной может быть больше, чем размер обозримой вселенной, что делает фон слишком далёким, чтобы его можно было разглядеть.

Но в отличие от тора, сферическая вселенная может быть обнаружена с помощью чисто локальных измерений. Сферические формы отличаются от бесконечного евклидового пространства не только глобальностью топологии, но и тончайшей геометрией. Например, из-за того, что прямые линии в сферической геометрии представляют собой большие окружности, треугольники получаются более пухлые, чем их евклидовые аналоги, а сумма углов больше 180 градусов:



В сущности, измерение космических треугольников является основным способом, с помощью которого космологи проверяют, является ли Вселенная изогнутой. Для каждой горячей или холодной точки на космическом микроволновом фоне известны ее диаметр по горизонтали и расстояние от Земли, что образует три стороны треугольника. Мы можем измерить угол, под которым пятно скрывается в ночном небе — один из трёх углов треугольника. Затем проверить, подходит ли для плоской, сферической или гиперболической геометрии (в которой сумма углов треугольника больше 180 градусов) комбинация из длины сторон и измеренного угла.

Большинство таких исследований, наряду с другими измерениями кривизны, свидетельствуют о том, что Вселенная либо плоская, либо очень близка к плоской. Но одна исследовательская группа недавно заявила, что часть данных, полученных с помощью космического телескопа Планка в 2018 году, свидетельствуют о существовании сферической вселенной. Другие исследователи возражают против этого утверждения, полагая, что это скорее всего, статистическая случайность.

Гиперболическая геометрия


В отличие от сферы, которая изгибается сама по себе, гиперболическая геометрия раскрывается вовне. Это геометрия гибких шляп, коралловых рифов и седел. Базовая модель гиперболической геометрии – это бесконечное пространство, подобно плоскому евклидовому пространству. Но поскольку гиперболическая геометрия распространяется наружу намного быстрее, чем плоская, не существует способа поместить даже двумерную гиперболическую плоскость внутри обычного евклидового пространства, если только мы не хотим исказить его геометрию. Здесь, например, искажено представление о гиперболической плоскости, известной как диск Пуанкаре:



С нашей точки зрения, треугольники вблизи пограничного круга выглядят намного меньше, чем вблизи центра, но с точки зрения гиперболической геометрии все треугольники одинакового размера. Если бы мы попытались сделать треугольники одинакового размера – например, используя растягивающийся материал для нашего диска и увеличивая каждый треугольник по очереди, выходя наружу из центра, — наш диск стал бы похож на гибкую шляпу и сгибался бы все больше и больше по мере того, как мы прокладывали себе путь наружу. По мере приближения к границе, этот изгиб становился бы все более неконтролируемым.

С точки зрения гиперболической геометрии, граничная окружность бесконечно далека от любой внутренней точки, так как для этого нужно пересечь бесконечно много треугольников. Таким образом, гиперболическая плоскость простирается до бесконечности во всех направлениях, точно так же, как и евклидовая плоскость. Но с точки зрения локальной геометрии жизнь в гиперболической плоскости сильно отличается от того, к чему мы привыкли.

В простой евклидовой геометрии окружность прямо пропорциональна её радиусу, но в гиперболической геометрии окружность растет экспоненциально по сравнению с радиусом. Мы можем видеть экспоненциальное скопление в массах треугольников вблизи границы гиперболического диска.



Из-за этой особенности математики любят говорить, что в гиперболическом пространстве легко заблудиться. Если ваш друг уйдёт от вас в обычном евклидовом пространстве, он начнёт выглядеть меньше, но это будет происходить медленно, потому что ваш визуальный круг растёт не так стремительно. В гиперболическом пространстве ваш зрительный круг растёт в геометрической прогрессии, так что вскоре ваш друг будет выглядеть сжатым до экспоненциально мелкой точки. Если вы внимательно не отследили его маршрут, найти дорогу к нему будет практически невозможно.



А в гиперболической геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов — например, треугольники в нашей плитке диска Пуанкаре имеют углы, составляющие 165 градусов:



Боковые стороны этих треугольников не выглядят прямыми, но это только потому, что мы смотрим на гиперболическую геометрию через искаженную линзу. Для жителя диска Пуанкаре эти кривые являются прямыми линиями, потому что самый быстрый способ добраться из точки A в точку B – срезать путь к центру:



Есть вполне закономерный способ изготовления трехмерного аналога диска Пуанкаре – просто сделайте трехмерный шар и заполните его трехмерными формами, которые становятся меньше по мере приближения к граничной зоне, как треугольники в диске Пуанкаре. И точно так же, как в плоской и сферической геометрии, мы можем сделать ряд других трехмерных гиперболических пространств, вырезая подходящий кусок трехмерного гиперболического шарика и склеивая его грани.

Может ли наша Вселенная быть гиперболической?


Гиперболическая геометрия, с ее узкими треугольниками и экспоненциально растущими кругами, не похожа на геометрию пространства вокруг нас. И действительно, как мы уже видели, большинство космологических измерений указывают на плоскую вселенную.

Но при этом возможность того, что мы живем либо в сферическом, либо в гиперболическом мире, не исключена, так как маленькие кусочки обоих этих миров выглядят почти плоскими. Например, малые треугольники в сферической геометрии имеют углы, которые составляют лишь чуть более 180 градусов, а малые треугольники в гиперболической геометрии имеют углы, которые составляют лишь чуть менее 180 градусов.

Неспроста древние люди считали, что Земля плоская – кривизна Земли была слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить. Чем больше сферическая или гиперболическая форма, тем более плоская каждая маленькая деталь. Поэтому, если наша Вселенная имеет чрезвычайно большую сферическую или гиперболическую форму, то та часть, которую мы можем наблюдать, может быть настолько близка к плоской, что ее кривизна может быть обнаружена только с помощью сверхточных приборов, которые нам ещё только предстоит изобрести.

Что ещё полезного можно почитать в блоге Cloud4Y

Компьютерные бренды 90-х, ч.3, заключительная
Можно ли взломать корабль?
Пасхалки на топографических картах Швейцарии
Как мама хакера проникла в тюрьму и заразила компьютер начальника
Как «сломался» банк

Подписывайтесь на наш Telegram-канал, чтобы не пропустить очередную статью. Пишем не чаще двух раз в неделю и только по делу.
Теги:Космосматематикагеометрияпространство
Хабы: Блог компании Cloud4Y Математика Научно-популярное Космонавтика
+29
12,3k 58
Комментарии 89
Лучшие публикации за сутки