itresume Jan 26 2021 at 21:49

Что за зверь — аффинные преобразования?

4 min

52K

Скорее всего, каждый из Вас хоть раз в жизни слышал термин «аффинные преобразования». Действительно, все постоянно о них говорят: «инвариантность к аффинным преобразованиям», «аугментация с помощью аффинных преобразований», «аффинные преобразования в компьютерной графике» и так далее. Однако, далеко не все могут сходу ответить на простой вопрос: «А расскажите, что такое аффинные преобразования простыми словами».

Вы сможете? В любом случае, давайте немного обсудим этот вопрос.

Что такое аффинное преобразование?

Начнем с классики - определение из Википедии.

Аффинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Внесем немного ясности.

Во-первых, что значит «отображение в себя»? Это значит, что если мы находились в пространстве R^n , то после образования мы должны остаться в нем же. Например: если мы применили какое-то преобразование к прямоугольнику и получили параллелепипед, то мы вышли из R^2 в R^3 . А вот если из прямоугольника у нас получился другой прямоугольник, то все хорошо, мы отобразили исходное пространство в себя. Формально это описывается так: «преобразование отображает пространство R^n в R^n ». Если записать с помощью формул: $f: R^n \rightarrow R^n$ .

Во-вторых, что такое «скрещивающиеся прямые»? Конечно, все это проходили в школе, но на всякий случай напомним. Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Вот если бы они лежали в одной плоскости и пересекались, они назывались бы пересекающимися. А если в разных плоскостях, то скрещивающимися. Пример - на рисунке.

В целом, это определение уже нам что-то говорит и мы начинаем потихоньку рисовать для себя картинку. Как минимум, мы должны остаться в той же плоскости: значит мы представляем себе декартову систему координат. Здесь речь идет о нескольких прямых, так что давайте представим 2 параллельных линии. Из определения мы понимаем, что после преобразования эти линии должны остаться параллельными. Ну что ж, тогда просто сдвигаем их куда-нибудь из исходного местоположения, да и все.

По сути, мы с Вами только что описали один из видов аффинных преобразований - сдвиг.

Но давайте пойдем чуть дальше и дадим еще одно определение (не нами придуманное).

Преобразование плоскости называется аффинным, если оно непрерывно, взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.

Звучит это, пожалуй, чуть сложней и путанней, но дает нам больше конкретной информации, чем предыдущее определение.

Преобразование называется непрерывным, если «близкие точки переходят в близкие». Т.е. иначе - если у нас есть две точки и они находятся рядом, то после преобразования они все равно будут находиться где-то поблизости друг от друга.

Далее - преобразование взаимооднозначно, если разные точки переводятся в разные точки и в каждую точку переводится какая-то точка. Например: если мы отобразили отрезок и он слипся в точку - это не взаимооднозначное преобразование. Из отрезка мы должны получить ровно такой же отрезок, тогда будет взаимооднозначно (если это сработает для всех отрезков, конечно).

Итак, с определениями мы разобрались. Давайте теперь запишем в общем виде, а как выглядит преобразование координат в формульном виде.

Пусть у нас есть исходная система координат. Точка в этой системе характеризуется двумя числами - и . Совершить переход к новым координатам и мы можем с помощью следующей системы:

$\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y + \lambda \\ y' = \gamma x + \delta y + \mu \end{cases}$

При этом, числа $\alpha, \beta, \gamma, \mu$ должны образовывать невырожденную матрицу:

$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$

На всякий случай: матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е.

$\begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} \neq 0$

Можно записать и в более общем в виде.

Аффинное преобразование $f: R^n \rightarrow R^n$ - преобразование вида f(x) = Mx +v , где - обратимая матрица, а $v \in R^n$ . В данном случае, само собой, -мерный вектор.

Примеры аффинных преобразований

Мы с Вами достаточно подробно разобрали, что такое аффинное преобразование и как его можно описать с помощью формул. Давайте теперь рассмотрим популярные примеры.

Приходят ли Вам в голову какие-нибудь претенденты на роль $\alpha, \beta, \gamma, \mu, \delta, \lambda$ ? Позвольте мы внесем свои предложения.

Поворот

Пусть $\alpha = cos(\alpha), \beta = sin(\alpha), \gamma = -sin(\alpha), \delta = cos(\alpha), \lambda = \mu = 0$ .

Значит, матрица примет вид:

$\begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix}$

И новые координаты будут выглядеть так:

$\begin{cases} x' = xcos\alpha + y sin\alpha \\ y' = -xsin\alpha + y cos\alpha \end{cases}$

Ничего не напоминает? Если Вы еще не узнали, то встречайте - это просто повернутая система координат на угол $\alpha$ . Т.е. мы применили аффинное преобразование и наша система координат повернулась. Пример этого Вы можете видеть на графике.

Растяжение-сжатие

Теперь мы предлагаем сконструировать матрицунесколько иначе:

$\begin{pmatrix} 1/k_x & 0 \\ 0 & 1/k_y \end{pmatrix}$

Новые координаты тогда принимают вид:

$\begin{cases} x' = x/k_x \\ y' = y/k_y \end{cases}$

В целом, тут даже уже из вида системы уравнений понятно, что мы просто растягиваем наши оси, если коэффициент меньше 1 и сжимаем, если больше 1. Пример на рисунке.

Кстати говоря, а попробуйте поставить вместо k_x число -1, а вместо k_y просто 1. Что получится? Правильно, мы просто отразим нашу систему координат относительно оси .

Сдвиг

Ну и давайте напоследок еще один пример.

Пусть теперь матрица никак не меняет исходные координаты (т.е. $\alpha = \delta = 1 ,beta = \gamma = 0$ ). А вот $\lambda$ пусть равняется -dx , а $\mu = -dy$ .

Таким образом, наша система принимает вид:

$\begin{cases} x' = x - dx \\ y' = y - dy \end{cases}$

Если отразить это на графике, то мы просто сдвинули начало координат в точку (dx, dy) . Вот, собственно, и вся премудрость.

Эпилог

Эта короткая статья позволит Вам чуть сильней прочувствовать «внутренности» аффинных преобразований (мы надеемся на это). После прочтения попробуйте все-таки ответить на вопрос, который мы ставили в самом начале - «А расскажите, что такое аффинные преобразования простыми словами». Теперь сможете?

P.S. Кстати говоря, было бы неплохо не верить нам на слово и проверить самим - а матрицы , которые мы использовали - точно невырожденные? Может мы вообще что-то противозаконное сделали?...

Tags:

Hubs: