Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора

938MeV 13 января в 15:49 41k
Теорема Пифагора — пожалуй, самая известная из математических теорем. Сколько существует оригинальных доказательств! Сколько применений она находит в технике! Сколькими благами цивилизации мы обязаны этой великой теореме! Однако, совсем недавно, я открыл для себя совершенно новую, ранее неизвестную грань этой теоремы, которая значительно расширяет область ее применения. Именно этим открытием я и хочу поделиться с вами, уважаемые читатели Geektimes. Пожалуйста, не судите строго, если описанные с статье факты, вам известны. Это скроее развлекательная история с научно-популярным элементом, чем строгая математика.
Геометрическое доказательство теоремы Пифагора
Геометрическое доказательство теоремы Пифагора

Вокруг да около


История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в Википедии.

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна $c^2$, а во втором — площадь незакрашенной области равна $a^2 + b^2$. Таким образом, $c^2 = a^2+b^2$. Теорема доказана!

Зарождение идеи


В этой статье я хочу не только рассказать что-то новое и познавательное о теореме Пифагора, но и поделиться своей историей о том, как в моей голове зародилась интересная идея, которую я сумел сформулировать, доказать и даже предположил возможность обобщения на более высокую размерность. Но обо всем по порядку.

Египетские треугольники


С давних времен науке известны так называемые египетские треугольники. Это такие прямоугольные треугольники, у которых катеты и гипотенуза выражаются целыми числами. Можно сказать и иначе: египетские треугольники — это такие тройки натуральных чисел $\lbrace a,b,c\rbrace \in \mathbb{N}$, которые образуют прямоугольный треугольник. Мы все, наверняка, хоть раз встречались с ними в школе на уроках геометрии. Для примера привожу несколько таких троек:

$\begin{split} 3^2+4^2&=5^2\\ 5^2+12^2&=13^2\\ 6^2+8^2&=10^2\\ 8^2+15^2&=17^2\\ 9^2+12^2&=15^2 \end{split}$


Во-первых, это красивые математические объекты. А во-вторых, с ними очень удобно решать задачи! Нет никаких квадратных корней и иррациональных чисел в ответе.

Загадочные четверки


И вот, году этак в 2004 — 2005, в пору подготовки к ЕГЭ, когда я сутками напролет решал просто какую-то бесконечную прорву хитро-вычурных задач из части С, мне то и дело стали попадаться не тройки, а уже четверки чисел, которые обладали похожими свойствами: а именно, сумма квадратов трех из них давала полный квадрат четвертого. Этот факт заинтриговал меня настолько, что я до сих пор наизусть помню некоторые из них. На самом деле, таких четверок бесконечно много и только в пределах чисел до 1000 их существует около 84 000. А вот, к примеру, пять таких четверок, из тех, что компьютер нашел перебором, пока я писал эту статью:

$\begin{split} 1^2+4^2& + 8^2&=9^2\\ 2^2+3^2& + 6^2&=7^2\\ 3^2+4^2& + 12^2&=13^2\\ 4^2+5^2& + 20^2&=21^2\\ 6^2+13^2& + 18^2&=23^2 \end{split}$


Заметив такое удивительное совпадение, я стал думать. Вопрос, который меня занимал в связи с этим загадочным обстоятельством, наличием не только троек, но и четверок, обнаруживающих свойства египетского треугольника, был таков: "А что бы это все могло значить?" Я перебирал варианты, какие только приходили в голову. В фантазии себя никак не ограничивал. Много раз садился за стол, выписывал известные мне наборы четверок и вдумчиво на них смотрел… часами… без перерыва… и… ничего не происходило. У меня был школьный товарищ Саня, с которым я как-то поделился своими идеями. Но его больше интересовали гуманитарные науки. Он стал юристом и сейчас служит в звании майора милиции. Саня сказал мне примерно следующее:«Вот странный ты человек. Делать тебе больше нечего. Мало тебе задают домашек? Хватит думать о всякой ерунде!». А, надо сказать, думал я, не переставая, и думал много лет, время от времени возвращаясь к этой загадке. Еще будучи школьником, я сделал вывод, что это, вероятнее всего, имеет отношение к великой теореме Ферма (на которую я тоже много раз подолгу смотрел). Шли годы. Ничего не получалось. Озарение не приходило. И я понял, что, вероятно, дальше чем «что-то связанное с теоремой Ферма» я никуда уже не продвинусь. Но не тут то было

Шерлок нашел зацепку


Итак, в 2014 году ехал я в автобусе по Новосибирску. А может быть это было метро. Дорога не близкая. Заняться нечем. И в очередной раз решил я подумать о моей школьной загадке. И вот что я подумал.

Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник. И тут! Как гром среди ясного неба

Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!

Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так!

Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.

Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!

О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо. Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект. Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла — прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.

Новая теорема


Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые грани-катеты и секущая грань-гипотенуза. Пришло время нарисовать еще одну картинку.
Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды
Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды

На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Теорема


Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, у которой площади граней-катетов равны — $A,B,C$, и площадь грани-гипотенузы — $D$. Тогда $D^2 = A^2 + B^2 + C^2$

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.


Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.

Доказательство


Выразим площади $A,B,C,D$ через длины векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

$A = \frac{1}{2}ab,\quad B = \frac{1}{2}ac, \quad C = \frac{1}{2}bc$


где $a = |\vec{a}|, \quad b = |\vec{b}|, \quad c = |\vec{c}|$.

Площадь $D$ представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{g}$ и $\vec{h}$

$\begin{split}\vec{g} &= \vec{b}-\vec{a}\\ \vec{h} &= \vec{c}-\vec{a}\end{split}$


Как известно, векторное произведение двух векторов — это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Поэтому

$\begin{split} D &= \frac{1}{2}\left|\vec{g} \times \vec{h} \right|=\\ &=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{matrix}\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -a & b & 0\\ -a & 0 & c \end{matrix}\right|\right| = \\ &= \frac{1}{2} \left| (bc)\vec{e}_x + (ac)\vec{e}_y + (ab)\vec{e}_z \right| = \\ &=\frac{1}{2} \sqrt{(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2} \end{split}$


Таким образом,

$D^2 = \frac{1}{4}(ab)^2 + \frac{1}{4}(ac)^2 + \frac{1}{4}(bc)^2 = A^2 + B^2 + C^2$


Что и требовалось доказать!

ЭВРИКА!


Моему восторгу не было границ! Я буквально прыгал от счастья. Конечно, это не бог весть какая сложная теорема, и доказательство очень простое, но ведь сам. И до меня — никто! Я был в этом искренне убежден в течение около года. Попытки найти хоть какие-то свидетельства о том, что это уже известно и доказано терпели неудачу одна за другой, и я думал, что совершил открытие. Это непредаваемое чувство! Я хотел поделиться этой теоремой со всем миром. Говорил о ней друзьям, знакомым математикам, просто знакомым с техническим/математическим образованием и без. Никто не разделял моего восторга и энтузиазма. Всем было попросту безразлично. Будто бы я не придумал и доказал теорему, а просто в магазин за хлебом сходил. Ну и что тут такого? Вот уж действительно… Как говорится, «Как скучно мы живём! В нас пропал дух авантюризма, мы перестали лазить в окна к любимым женщинам, мы перестали делать большие хорошие глупости.» (из фильма «Ирония судьбы»).

Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз. Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства — до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира. Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.

Послесловие


В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!

Вот ссылка на статью:

Amir-Moéz, Ali R., Robert E. Byerly, and Robert R. Byerly. «Pythagorean theorem in unitary spaces.» Publikacije Elektrotehničkog fakulteta. Serija Matematika (1996): 85-89.

Статья опубликована издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, — просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить!

Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!

P.S.


Эрудированный читатель в комментариях прислал ссылку
Теорема де Гуа

Выдержка из Википедии


В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]


Так что я опоздал не на 18 лет, а как минимум на пару веков!

Источники


Читатели указали в комментариях несколько полезных ссылок. Вот эти и некоторые другие ссылки:

  1. Теорема де Гуа
  2. Теорема Пифагора
  3. Пифагорова тройка
  4. Пифагорова четверка
  5. Равенство Парсеваля
Проголосовать:
+68
Сохранить: