Pull to refresh

Comments 55

Проблема в том что не все действительные числа (и на самом деле большинство таких чисел) не представимы в виде конечной записи в двоичной и какой-бы то ни было другой системе счисления. Для числа 1/pi попробуйте вычислить его порядковый номер, его не существует (это будет число с бесконечным количеством знаков) в этом и проблема. А кантор доказывает равномощностность рациональных чисел и натуральных.
Вы пробовали найти «номер» для Pi/4 например?
Но мы же можем последовательно вычислять последовательность знаков после запятой, после чего алгоритмически вычислять порядковый номер для Pi/4. Просто это будет бесконечный процесс, т.к. у числа бесконечно много знаков после запятой. Но т.к. есть алгоритм, то и есть взаимо-однозначное соответсвие.
Но т.к. есть алгоритм, то и есть взаимо-однозначное соответсвие.
Простите, но соответсвтвие между чем и чем?
Между числом, и порякдовым номером, которого не существует, ибо алгоритм никогда не выполнится, так?
ну тогда надо говорить так — между числом которогоне существует и порядковым номером, которого не существует.
Число Pi/4 мы уточняем знак за знаком, это бесконечный итеративный процесс. По мере получения очередного знака, мы получаем конкретное число и вычисляем для него порядковый номер.
Т.е. бесконечную непереодическую дробь — можно рассматривать как несуществующее число, а можно рассматривать, как результат работы некоторого бесконечного алгоритма, который на каждом шаге выдает очередную цифру и в этом смысле порядковый номер можно тоже рассматривать как некое число, являющееся результатом работы бесконечного алгоритма.
Ну, если рассуждать в ключе, что иррациональных чисел не существует, то и доказывать ничего не нужно дополнительно: нумеруем рациональные и всё. Что, как я понял, и было сделано. Вот только иррациональные числа существуют сами по себе, и это доказано строго математически. А то, что мы можем «пощупать» только их приближения — это не проблема иррациональных чисел и уж никак не опровержение их существования.

А что является результатом работы алгоритма, который не завершится никогда? Рассуждая на пальцах: либо «ничего» (или другой определённый конкретный ответ), и тогда все иррациональные числа имеют «одинаковый номер» — нет однозначности, либо «не определено», и тогда мы не можем сравнить номера, как следствие, не можем проверить однозначность соответствия.

Или, например, так: вот для двух разных «конечных рациональных» чисел при грамотно построенной нумерации (например, по квадрату) всегда будет два конечных номера, которые можно сравнить и убедиться, что номера разные. А как сравнить между собой два бесконечных номера?
Ну в таком же ключе можно сказать, что и номер для такого числа существует сам по себе.
Есть существование числа самого по себе, а есть конкретная запись числа. Мы можем абстрагироваться от конкретных цифр числа — просто введя обозначение, например Pi/4. Точно также, мы можем асбтрагировать номер этого числа, пусть порядковый номер числа Pi/4 будет C(Pi/4). И в этом смысле он также существует сам по себе. Где противоречие?
Смысл в том, что по номеру можем восстановить число.
Точно также, мы можем асбтрагировать номер этого числа, пусть порядковый номер числа Pi/4 будет C(Pi/4).
Отлично. И какому числу сооствествует номер С(Pi/4)+1?
Вот тут надо подумать, возможен ли алгоритм для обратного поиска, чтобы по номеру однозначно определять десятичную дробь, которая ему соответствует.
Пока идей как это сделать нет.
Ну а раз алгоритма обартного поиска нету, то и некорректно заявлять
Но т.к. есть алгоритм, то и есть взаимо-однозначное соответсвие.
А это значит что ваши «доказательства» бездоказательны :)

Я даже упрощу задачу… Вместо нахождения самого числа Rev(C(Pi/4) + 1) просто определите больше оно или меньше чем Pi/4.
Согласен, что взаимо-однозначного соответсвия нет, но алгоритм устанавливает соответсвие в одну сторону каждому R на [0,1] ставит в соответствие N. Для обратной задачи нужно подумать либо доказать, что такого алгоритма нет.
Еще один изъян алгоритма, описан с комментарии: habr.com/post/358526/#comment_11354864.
Как его устранить — пока тоже нет идей.
Согласен, что взаимо-однозначного соответсвия нет
Замечатель, получается заголовок статьи прямо сейчас врет. Надеюсь вы его поправите.

но алгоритм устанавливает соответсвие в одну сторону каждому R на [0,1] ставит в соответствие N
И все равно вы за свое… Еще одна задачка для вас: что больше, C(Pi/4) или C(Pi/3) (вы же их «пронумеровали», т.е. дали порядковый номер)?

Pi/3 > 1, выходит за интервал [0,1]. Над обобщением для чисел за пределами диапазона [0,1] — еще не размышлял.
Предлагаю рассмотреть числа: Pi/4 и Pi/5.
Алгоритм проходит по всем уровням последовательно, сверу вниз, а на каждом уровне слева направо, от меньших чисел к большим, поэтому C(Pi/5) < C(Pi/4).
Pi/3 > 1, выходит за интервал [0,1].
Да, мой косяк. Надо конечно Pi/5.

Алгоритм проходит по всем уровням последовательно, сверу вниз, а на каждом уровне слева направо, от меньших чисел к большим, поэтому C(Pi/5) < C(Pi/4).
Как интересно… ну раз C(Pi/5) < C(Pi/4)то чему тогда равно C(Pi/4) - C(Pi/5).
Рассматривая проблему континуума с алгоритмической точки зрения, любое рациональное число из [0,1] — вычисляется бесконечно долго, а т.к. его порядковый номер — функция от цифр самого числа, то и порядковый номер таких чисел вычисляется бесконечно долго. Поэтому результаты арифметических действий над такими номерами тоже вычисляются бесконечно долго.
в предыдущем комментарии, я опечатался, вместо «рациональное» должно быть "иррациональное".
Вы путаете теплое с мягким. Долго оно вычисляется или нет не существенно, существует оно или нет вот в чем вопрос.

В вашем подходе, чтобы число было пронумерованно, должна существовать запись этого числа принадлежащая какому-то уровню. Соответственно вопрос, существует ли такая запись иррационального числа (например, Pi/5, как предрагалось раньше), которая принадлежит хоть какому-то уровню?

Или другими словами, вы утверждаете, что ваш алгоритм перебирает все вещественные числа, но доказательство этого вы не привели, а лишь ограничились фразой:
мы можем пронумеровать все числа из диапазона [0,1], т.к. мы последовательно проходим по каждому уровню и последовательно нумеруем все возможные комбинации на данном уровне

Которая говорит толькто то, что вы можете пронумеровать все числа, которые можно вписать в вашу таблицу, но из этого никак не следует что все вещественные числа могут быть вписаны в вашу таблицу. На этом диагональный принцип как раз и строится, он предъявляет число, которое нельзя вписать в таблицу, пусть и немного другой структуры.

Проблема в том, что и для многих рациональных чисел не подобрать номер.
Например 1/3.

Кстати, мысль по поводу обратно поиска.

Возьмем сколь угодно большое число, X.
Разложим его на сумму степеней двойки: X = 2^1 + 2^2 +… + 2^k + L(k+1)
Если L(k+1) — нечтное — то цифра на уровне k+1 — 1, если четное — то — 0.
Далее, используя соотношение: Lk = (Lk-1 — 1)*S + N + 1, мы всегда сможем вычислить порядковый номер цифры для предыдущего уровня.

Т.о. двигясь в сторону корня дерева (вверх) и мы в итоге построим конкретное десятичное число, которому соответсвует данный номер.

Но это подразумевает, что мы должны использовать опредленное значение номера. Т.е. если рассмотреть номер для числа Pi/5 — число С(Pi/5), то обратное восстановление невозможно в силу того, что сам номер — не определен, т.к. он вычисляется бесконечно долго. Как-то так…
У вас тут прямо новая, нескучная математика…

Возьмем сколь угодно большое число, X.
Разложим его на сумму степеней двойки: X = 2^1 + 2^2 +… + 2^k + L(k+1)
Если L(k+1) — нечтное — то цифра на уровне k+1 — 1, если четное — то — 0.
Ну давайте, разложите C(Pi/4). Даже любопытно.
Кстати, а C(Pi/4) само четное или нечетное?

Т.о. двигясь в сторону корня дерева (вверх) и мы в итоге построим конкретное десятичное число, которому соответсвует данный номер.
Движение как-бы надо начать из некой позиции.

Т.е. если рассмотреть номер для числа Pi/5 — число С(Pi/5), то обратное восстановление невозможно в силу того, что сам номер — не определен, т.к. он вычисляется бесконечно долго. Как-то так…
Т.е. все что вы тут предложили ранее, это не работает и чушь, причем вы это сами понимаете?
Нет. Так просто сказать нельзя. И про иррациональные числа тоже так просто сказать нельзя. Всё нужно доказывать. И доказательство существования иррациональных чисел есть. А доказательство существования этого номера — нет. Есть только попытки итерационного приближения.
Число существует не потому что мы дали ему имя/обозначение. Я тоже могу ввести число Гладина, которое в поле действительных чисел при делении на единицу не равно себе. От этого оно существовать не станет.
а разве это действие
Я тоже могу ввести число Гладина, которое в поле действительных чисел при делении на единицу не равно себе. От этого оно существовать не станет.
не потребует внесения изменения в аксиоматику поля?
А в моих рассуждениях разве есть противоречие аксиомам поля?
Не, не потребует. Я его ввожу и называю в рамках обычных аксиом.
пусть порядковый номер числа Pi/4 будет C(Pi/4).

Отлично а зачем тогда ваше доказательство? Пусть для любого числа x из R его номер это n(x), где n пренадлежит N. Как вам такое "доказательство"?
Ваш алгоритм С никогда не заканчивается потому что для Pi/4 он выглядит так:


while True:
    find_next_digit()

Задача о том чтобы придумать несчетное число алгоритмов параметризованных вещесвтенным числом и задача о том чтобы построить взаимно однозначное соответсвие между множеством [0,1] и N — это разные задачи.


Но верно то, что между множеством Q и N бикция таки есть.

Есть существование числа самого по себе, а есть конкретная запись числа.
Кстати, вот интересное следствие:
Существуют действительные (иррациональные) числа, которые не могут быть записаны конечным числом знаков, какую бы систему обозначений мы не приняли исходно.

P.S. кстати, а как в рамках рассматриваемой статьи определяется понятие действительного числа?
Интересно выглядит: квадрат со стороной 1 есть, а длины его диагонали нет
Не совсем, счетность множества предполагает, что каждому элементу множества можно проставить в соответствие натуральное число. Pi/4 в таком алгоритме не имеет натурального числа в принципе, как раз потому что этот алгоритм дает числу конечный номер только в том случае, если дробь конечная
«Устремляя размер квадрата до бесконечности» — вот именно. На этом дальнейшие выкладки отметаются.

Вы пронумеровали все конечные десятичные (ну или двоичные) дроби. Но какому натуральному числу в вашей схеме будет соответствовать число 0,01001000100001… или примеры выше с Pi? Ваш алгоритм просто не завершится для этих чисел, нельзя просто сказать "и так далее до бесконечности", в этом то вся и проблема.
Бесконечные непериодические дроби у вас не получилось пронумеровать, т.е. не получилось построить биекцию (взаимно однозначное соответствие).

habr.com/post/358526/#comment_11354670
Я просто предлагаю рассматривать биекцию как алгоритм. Потому что само понятие «бесконечное число» по смысло ближе всего к понятию «бесконечно работающий алгоритм, генерирующий это число». В этом смысле мы можем пронумеровать числа на [0,1]. Просто мы никогда не узнаем точного номера числа 0,01001000100001…, т.к. никогда не узнаем, как выглядит число полностью.

Биекция не алгоритм (в конечном итоге). Это взаимно-однозначное отображение, т.е. соответствие каждому элементу одного множества ровно одного элемента другого множества и наоборот. Вы не можете сказать, что вот этому числу соответствует не элемент множества, а некий "бесконечно работающий алгоритм". 0.010010001… — это конкретная точка на прямой, и если построена биекция, то этой точке должно соответствовать конкретное число, а не нечто бесконечно генерящееся.
"Просто мы никогда не узнаем точного номера числа..." — неужели вы не понимаете, что такого числа просто не существует в вашей схеме?

UFO just landed and posted this here
Это же треш. У вас в последней строчке таблицы с числом цифр несчётное количество последовательностей. И нет последовательности, «следующей» за 0,(0).
Судя по вашим комментариям, вы представляете себе биекцию «вычислимых» чисел (для которых есть алгоритм, вычисляющий каждую цифру) и натурального ряда. Он существует. Но описываете не его. Всё это из-за того, что для бесконечной дроби не может быть следующей дроби. Какой хвост бы не поменяли, всё равно пропустим континуум чисел.
Я тут ещё подумал над примером, может вам поможет с другой стороны подойти. Вы же понимаете что 0,9(9) оно же 0.9999… до бесконечности это строго 1. Т.е. это разные записи одного и того же числа. Это не бесконечно близкое число, это строго одно и тоже число. Также как и 0,49(9) == 0.5 Это разные способы записать одну и ту же точку на числовой прямой. Я правильно понимаю что в вашем алгоритме для 0,5 и 0,49(9) получится разный порядковый номер?
Да, получается, что алгоритм создает для двух разных форм записи одного и того же числа разные порядковые номера. И если решать задачу обратного отображения N -> R, то два разных N будут фактически соответсвовать одной и той же дроби, просто записанной в разных формах. Пока не знаю, как это устранить.
Вы полегче с переходами к бесконечности: одна треть, в бесконечности, какое число означает? Проблема фундаментальна и заключается в том, что не все дробные числа можно выразить в десятичной или, к примеру, двоичной системе исчисления. Например, 0.2 в двоичной выразить нельзя и чем больше основание, тем меньше таких чисел. Вообще, переход от бесконечности к чему-то означает внесение бесконечно малой погрешности, и когда речь идёт о подсчёте площади криволинейной фигуры, это одно, а когда речь идёт о абсолютно точных вирутальных числах, это уже подлог, потому что погрешность никуда не девается, хоть и бесконечно малая.
число 1,3(3) не имеет конечной записи. А число 0.9(9) имеет конечную запись, это 1. Нет там никакой погрешности. Это прям ровно именно тоже число.
Была такая хорошая задача на первом курсе: установите биекцию между [0,1] и [0,1).
У меня идея еще лучше — надо составить последовательность всех чисел просто по порядку как они встречаются. Можно доказать что в этой последовательности находятся все числа — так как какого числа не хватись — то «вот же, положила». И даже если пройтись по всему ряду и составить число которого там нет, то следующим пойдет именно оно.

Только, если добавлять число «после» проверки нельзя, а можно только «до», то такой прикол не получится. Так как для любого набора бесконечного количества чисел можно найти такое, которое не совпадает со всеми по такой характеристике, которая счетно адресуется, вроде цифры с тем же номером, под которым число подсчитано.
Говоря проще, погружение в детализацию происходит быстрее чем перебор, и значит, различие вводится гораздо проще чем вводится равенство. Поэтому, различие счетного множества и несчетного легче доказывается, чем опровергается.

Но если думать, что счетное множество это не только те элементы которые можно посчитать, но и те которые можно «продолжать считать», то получится вот что:
«Мы эти понятия не различаем, поэтому они не различаются».
Алгоритм не пропускает ни одного числа, т.к. он подсчитывает все числа в таблице m*nm.
m — это количество знаков после запятой, n — алфавит системы счисления.

Иными словами, алгоритм подсчитывает количество размещений с повторениями для каждой позиции после запятой. Количество размещений увеличивается экспоненциально с каждой следующей позицией.

Для десятичных дробей, записанных в десятичной системы счисления алгоритм последовательно будет выдавать такой результат (порядковые номера присваиваются слева направо):

m = 1
0,0; 0,1; ...; 0,9 — всего 10 комбинаций.

m = 2
0,00; 0,01; 0,02; ...; 0,10; 0,11; ...; 0,90; 0,91; ...; 0,99
Т.о. для m=2 получается 100 комбинаций, а для обоих уровней общее количество комбинаций — уже 110.

m = 3
Т.о. для m=3 получается 1000 комбинаций



m = k
Количество всевозможных комбинаций — 10k

k — растет линейно, а количество комбинаций, соответствующее k — экспоненциально.
Не более чем счётное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно. Поэтому что у вас с какой скоростью растет абсолютно не важно.
1. Любое число которое ваш перечислящий алгоритм выдает имеет конченое число знаков в какой-то системе счисления — это уже точно не все числа.
2. Давайте посмотрим на ваши таблицы и заметим что талица уровня 2 включает все числа, которые есть на уровне 1, таблица уровня 3 включает все числа которые есть в таблицах на уровнях 1 и 2, и так далее. Т. е. другими словами несколько уровней не добавляют ровным счетом ничего, вы с тем же успехом можете рассматривать «предельную таблицу» в которой все числа имеют бесконечное число разрядов, потому как она будет содержать все числа, котороые есть в каждой из «конечных таблиц». И, сюрприз-сюрприз, согласно аргументу Кантора, который вы так легко отвергли, найдется такое число, которого не будет в этой «предельной таблице».
3. Скорость роста на которую вы ссылаетесь никакого отношение к определеню счетности не имеет, соответсвенно скорость роста каких-то там функций ни на что не влияет.
1 — вы знакомы с деревом Штерна-Броко… после знакомства, сама попытка доказывать бесконечность множества рационалных на [0,1] кажется даже странной

2 — кстати (целая волна каментов выше) любое упоминание Pi в этом контексте не уместно — Pi изначально ирациональное
Автор говорит о пересчёте всех действительных чисел указанного отрезка. Не только о рациональных, а о всех действительных. При этом вообще-то в первом курсе матана доказывается счётность множества рациональных чисел и несчётность множества действительных, с чем автор пытается спорить. И именно поэтому как самый простой пример который всё поломает приведено Pi. А раз автор говорит об отрезке [0,1] то и приводятся всякие Pi/4, Pi/5 и прочие 1/Pi, дабы не отвлекать сию превосходную дискуссию от самого главного.

Правильно ли я понял, что вы считаете, что всё множество действительных чисел счётно?

Не совсем. В конце поста я не зря добавил
P.S. Если предложенный мной алгоритм имеет ошибку, которую я, в силу своей невнимательности, не вижу – большая просьба написать об этом в комментариях.

P.P.S Если же ошибки нет – то получается, что |[0,1]| = |N|! Т.е. ВСЕ действительные числа из диапазона [0,1] можно пронумеровать!

Идея была вот в чем.
В множестве иррациональных чисел – любое число, например, Pi, √2, √3, e, Pi/n, e/n, √2/n, √3/n и т.д. — имеет бесконечное множество символов в записи, но это конкретное число, которое существует само по себе.
Чтобы получить все цифры в записи иррационального можно, например, воспользоваться методом приближения иррациональных чисел рациональными, но этот процесс будет бесконечным и мы никогда не получим все знаки в иррациональном числе, но при этом, это вполне конкретное число, существующее само по себе! Т.о. иррациональное число можно представить как бесконечно работающий алгоритм, который на каждой очередной итерации уточняет данное число, при этом процесс уточнения происходит бесконечно. Вопрос 1. Если нельзя, то почему?

В предложенном подходе порядковый номер любого числа N из [0,1] (обозначаемый как C(N)) есть функция от конкретных цифр его записи.

В такой интерпретации, порядковый номер иррационального числа становится таким же не определенным, как и все циры в записи самого иррационального числа. Порядковый номер иррационального будет вычисляться также бесконечно долго, как и все цифры в записи этого числа. Вопрос 2. Но, если доказано, что рациональные числа существуют сами по себе, тогда почему мы не можем утверждать, что при такой (алгоритмической) интерпретации их порядковые номера тоже существуют сами по себе?

Рассмотрим пример. Обозначим порядковый номер числа Pi/5 как C(Pi/5). С алгоритмической точки зрения, все знаки в записи числа Pi/5 будут утояняться бесконечно долго, => порядковый номер C(Pi/5) тоже будет вычисляться бесконечно долго.

Переформирую вопрос.
Понятно ли, что отрезок [0, 1] и действительная прямая R равномощны?

Если открыть учебник по матану, то понятно.

1. Определение: континуум — мощность множества всех чисел из сегмента [0,1].
2. Теорема: множество континуума несчетно. Доказательство опирается на расмотренный выше диагональный метод Кантора.
3.… много разных определений, лемм, теорем…
4. Теорема Теорема Кантора — Бернштейна (упрощенно): если между множествами существует биекция, то |A| = |B|.
5. Устанавливаем биекцию между [0,1] и R, из чего, согласно (4) следует равномощность [0,1] и R.

Но, равномощность-то есть, однако несчетность — это пункт 2, а его доказательство опирается на диагональный метод Кантора, который, как я писал в статье вызывает у меня сомнения. Не могу объяснить, это на каком-то интуитивном уровне происходит.

Собственно, именно с целью прояснить этот момент (в первую очередь для себя), я и згорелся идей рассмотреть данный вопрос с другого ракурса, используя алгоритмический подход. Свои размышления я запостил на хабр с целью получить обратную связь от сообщества. Иногда так бывает, что самому трудно увидеть ошибку в своих же рассуждениях :-).
И, скорее всего, данный подход поможет (в первую очередь — мне) согласиться с правильностью диагонального метода Кантора. Т.к. у моего подхода уже вскрылось множество недостатков, за что спасибо всем, кто на все такие недостатки обратил внимание в комментариях.
С алгоритмической точки зрения, все знаки в записи числа Pi/5 будут утояняться бесконечно долго, => порядковый ном уточняетер C(Pi/5) тоже будет вычисляться бесконечно долго.
Видите тут разницу? Уточняться vs вычисляться?
Уточняя некое число вы всегда можете остановиться и сказать «ну ок, мы получили число с заданной точностью. оно гарантированно лежит в таком-то диапазоне, ошибrа меньше чем некое конкретное число».

Т.о. иррациональное число можно представить как бесконечно работающий алгоритм, который на каждой очередной итерации уточняет данное число, при этом процесс уточнения происходит бесконечно.
Ну, можете и так формулировать, если хотите.

В такой интерпретации, порядковый номер иррационального числа становится таким же не определенным, как и все циры в записи самого иррационального числа. Порядковый номер иррационального будет вычисляться также бесконечно долго, как и все цифры в записи этого числа.
И тут уже «вычислятся» вместо «уточнятся». Айайай, как ловко (сарказм) вы поменяли одно на другое :)

Согласен.
Я сейчас прихожу к мысли, что мой подход, наоборот, только еще раз показывает несчетность континуума, только с другой стороны. Пытаясь пронумеровать [0,1] способом, который я привел, мы просто получим бесконечное множество бесконечных алгоритмов, которые никогда не вычслят точный порядковый номер иррационального числа.
Вооот, это уже похоже таки на понимание проблематики. Вообще с бесконечностями работа требует большой скурпулёзности. Например суммирование некоторых расходящихся рядов к наперёд заданному числу вас не смущает? Просто про расходящие ряды тут почитать можно neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Суммирование_расходящихся_рядов Или запихивание двумерной фигуры бесконечной площади внутрь трёхмерной фигуры конечного объёма? ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_маляра

На мой простой житейский взгляд, при "диагональном методе" актуальная бесконечность представляется в законченном виде, что приводит к парадоксам типа "множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя". По поводу одного из таких парадоксов, в котором доказывается, что бесконечное множество всех натуральных чисел имеет последний (он же наибольший) элемент, см. мою статью с моим юмористическим мультфильмом: https://habr.com/ru/post/474426/

Насколько я знаю, у др. греков не было актуальной бесконечности, к примеру, прямая у них - это отрезок, который при необходимости можно продолжить в обе стороны.

Вызывает улыбку один комментарий: "Иррациональные числа существуют сами по себе, это доказано математически". Откуда взялись действительные числа? Это такая "аксиома", которая по-простому звучит так: давайте будем считать, что, куда ни ткни в числовую прямую остро заточенным карандашом, обязательно попадёшь на какое-то число, между числами нет промежутков, а иначе у нас не получатся красивые рассуждения из обл. анализа бесконечно малых и такие же красивые формулы. Поэтому числовая прямая и действительные числа на ней вообще непонятно что такое. А переход к пределу и "устремление к бесконечности", о которых говорят на лекциях по матанализу, - это такие мантры, "финты ушами" за которыми не стоит какой-то смысл. Хочешь - принимай, а иначе студент может выслушать лекцию на тему "Методы отчисления. Лекция № 1: метод последовательного исключения" (шутка, если кто не понял).

Я подумал раза 2 и, кажется, нашёл число, которое Кантор пропустил в своей диагональной таблице: рассмотрим, напр., десятичное представление корня из двух минус один: 0,4142... Теперь рассмотрим его справа налево: ...2414 (ноль с запятой отбросим за ненадобностью). Это десятичная часть какого-то числа, которое начинается с бесконечности и заканчивается на 4. В каком месте таблицы у Кантора оно стоит? А если кто-то скажет, что так делать нельзя, то возникает вопрос: почему Кантору можно, а мне нельзя по-всякому работать с бесконечностями? Можете вы доказать, что так делать нельзя? :-)

при "диагональном методе" актуальная бесконечность представляется в законченном виде

AFAIK, в серьёзной математике «актуальная бесконечность» возникает только при неформальном объяснении каких-то идей или построений. Так-то всё формально: есть теория, есть аксиомы, если теорема, есть доказательство.

 Откуда взялись действительные числа? Это такая "аксиома"

Да, это система аксиом, без кавычек. Кстати, каких именно? Там их несколько.

А переход к пределу и "устремление к бесконечности", о которых говорят на лекциях по матанализу, - это такие мантры, "финты ушами" за которыми не стоит какой-то смысл

Плохое преподавание не является аргументом в текущей теме, хотя и проблема в целом.

почему Кантору можно, а мне нельзя по-всякому работать с бесконечностями?

(отвечаю на другой вопрос: что было у Кантора такого, чего не хватает в приведённом построении)
У Кантора была на руках теорема о том, что любой последовательность цифр (т.е. функции N → {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}) однозначно сопоставляется числу на отрезке [0,1], а каждое число может быть представлено последовательностью цифр. К слову, его построение подходит для доказательства несчётности функций с числовым аргументом и хотя бы двумя объектами в области значений, напр., N → {0,1}.

 Можете вы доказать, что так делать нельзя?

Это Ваша задача доказывать, а наша — проверять доказательство. Например, корректность канторовых построений в соответствующей формальной теории доказывается, поэтому с ними считаются.

Sign up to leave a comment.

Articles