Задача 7 решается проще. Достаточно доказать, что спектр AB совпадает со спектром BA. Пусть ABx = λx. Тогда BA(Bx) = λ(Bx); обратно BAy = λy => AB(Ay) = λy. Поскольку определитель — это произведение собственных значений, получаем det(I — AB) = det(I — BA).
(Уточнение: доказательство работает при попарно различных собственных значениях у AB. Но поскольку определитель непрерывен, а сколь угодно близко к любой матрице лежит матрица с попарно различными собственными значениями, формула доказана для всех матриц.)

Кстати, факт про спектр справедлив и для операторов в бесконечномерных пространствах (с некоторыми оговорками).

Можно ещё легче решить:

Если же у матрицы B нет обратной матрицы, то её определитель равен нулю и определитель произведения с A в обоих случаях тоже равен нулю.

Хотя это не доказывает исходное уравнение в случае отсутствия обратной матрицы у B.

То, что у них равны определители, ещё не значит, что одинаковы спектры.

В задаче 3, я правильно понимаю, что эта формула верна, только если фи распределена равномерно? Вроде как это не так.

Хотя понял. Действительно равномерно, так как угол линейно зависит от длины дуги, а длина дуги равномерна, по условию задачи (так как мы зафиксировали точку)

Интересно, в СПБАУ такой же сложный экзамен?

Смотря на какое направление.
На SE, насколько мне известно — попроще.
И могут спросить об алгоритмах и каком-нибудь языке программирования.

Там имеется в виду А. Докажите, что А скалярная.

Всегда завидовал людям, кто в таких вещах как рыба в воде. :)

Поскольку я программист, а не математик, могу сказать, что понял только четвертую задачу.

И по хорошему, там достаточно трех проходов.
Классическая побитная сортировка.

Спасибо за статью.
Сам раздумываю над поступлением, но очень переживаю — универ я закончил три года назад и с тех пор знания подугасли для решения таких задач…

У меня тоже самое :) Да и, сказать честно, у нас в университете такого уровня по линейной алгебре/мат.анализу не было.