Задача 7 решается проще. Достаточно доказать, что спектр AB совпадает со спектром BA. Пусть ABx = λx. Тогда BA(Bx) = λ(Bx); обратно BAy = λy => AB(Ay) = λy. Поскольку определитель — это произведение собственных значений, получаем det(I — AB) = det(I — BA).
(Уточнение: доказательство работает при попарно различных собственных значениях у AB. Но поскольку определитель непрерывен, а сколь угодно близко к любой матрице лежит матрица с попарно различными собственными значениями, формула доказана для всех матриц.)
Кстати, факт про спектр справедлив и для операторов в бесконечномерных пространствах (с некоторыми оговорками).
Можно ещё легче решить:
Если же у матрицы B нет обратной матрицы, то её определитель равен нулю и определитель произведения с A в обоих случаях тоже равен нулю.
Хотя понял. Действительно равномерно, так как угол линейно зависит от длины дуги, а длина дуги равномерна, по условию задачи (так как мы зафиксировали точку)
Спасибо за статью.
Сам раздумываю над поступлением, но очень переживаю — универ я закончил три года назад и с тех пор знания подугасли для решения таких задач…
(Уточнение: доказательство работает при попарно различных собственных значениях у AB. Но поскольку определитель непрерывен, а сколь угодно близко к любой матрице лежит матрица с попарно различными собственными значениями, формула доказана для всех матриц.)
Кстати, факт про спектр справедлив и для операторов в бесконечномерных пространствах (с некоторыми оговорками).
Если же у матрицы B нет обратной матрицы, то её определитель равен нулю и определитель произведения с A в обоих случаях тоже равен нулю.
На SE, насколько мне известно — попроще.
И могут спросить об алгоритмах и каком-нибудь языке программирования.
И по хорошему, там достаточно трех проходов.
Классическая побитная сортировка.
Сам раздумываю над поступлением, но очень переживаю — универ я закончил три года назад и с тех пор знания подугасли для решения таких задач…