Специалисты заслуженно не любят задачи и головоломки на собеседованиях. Но мы просто любим порешать такие задачи в свое удовольствие. Вот что мне лично не нравится, так это когда ты получаешь правильный ответ, но при этом твое решение кажется автору неверным. Хочу просто показать решение нескольких популярных подобных задач, которые можно получить в уме и без сложных расчетов и сопоставить их с авторскими верными.
Задача 1. В стране, где люди хотят, чтобы у них были только дети-мальчики, каждая семья продолжает рожать детей до тех пор, пока не родится мальчик. Если у них рождается девочка, они заводят еще одного ребенка. Если мальчик, они останавливаются. Каково соотношение мальчиков и девочек в такой стране? (Подразумевается, что вероятность рождения мальчика равна вероятности рождения девочки, хотя, в самом деле, отношение 105:100)
Верное решение данной задачи.
С вероятностью 1/2 будет один ребенок – мальчик.
С вероятностью 1/4 будет два ребенка – девочка и мальчик.
С вероятностью 1/8 будет три ребенка – две девочки и мальчик.
…
С вероятностью 1/2^n будет n детей — (n-1) девочек и мальчик.
Математическое ожидание числа мальчиков = 1
Математическое ожидание числа девочек = 1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/8 * 2 + 1/16 * 3 +…
Если сумму этого ряда обозначить через s, то легко получить, что 2 * s – s = 1, s есть 1, следовательно, соотношение мальчиков и девочек 50:50.
А теперь правильное решение данной задачи.
Все схемы в условии этой задачи для отвода глаз. Есть Великий Рандом , который дает мальчика и девочку с одинаковой вероятностью, значит и соотношение будет 50:50.
Если не убедительно, то поясню. Кто-то играет мартингал в казино, то есть ставит на цвет, пока он не выпадет, удваивая ставки. От такого поведения игрока (или игроков) рулетка все равно будет выдавать одинаковое число черных и красных исходов, ровно, как и роддом.
Задача 2. Две фирмы продавали кофе по одинаковой цене и объему. Обе одновременно провели акции: первая начала продавать на 15% больше кофе, а вторая на 15% дешевле. У кого кофе стало покупать выгодней?
Верное решение данной задачи.
Если до акции 100 мл кофе стоил 1 рубль, то после акции у первой фирмы 100 мл кофе начал стоить 100 * (100 / 115), что примерно равно 87 копейкам, а у второй, очевидно, 85 или на две копейки дешевле.
А теперь правильное решение данной задачи.
Делить на 115 в уме мне, например, трудно. Поэтому можно заменить 15 на 50. В этом случае у второй фирмы на рубль мы получим в два раза больше кофе, а у первой всего в полтора. Переход от 15 к 50 законен в виду линейности процентов.
Задача 2-бис. Что выгоднее: вклад под 70% в валюте с инфляцией 60%, или под 80% в валюте с инфляцией 70%?
Задача 3. Перед вами два одинаковых фужера. В одном из них вино, в другом вода. Зачерпните чайную ложку воды и вылейте в фужер с вином. Как следует размешайте. А затем зачерпните чайную ложку полученной смеси и вылейте в фужер с водой. Чего больше: вина в фужере с водой или воды в фужере с вином?
Верное решение данной задачи.
1. Допустим, что в фужере 100 частей жидкости, а в ложке — 10 частей
2. Берем из фужера 10 частей воды и переливаем в фужер с вином и перемешиваем
3. В фужере с вином 110 частей жидкости. А в ложке смеси из этого фужера по одной одиннадцатой части объема воды и вина. Следовательно, в ложке смеси содержится 9 целых и 1/11 часть вина и 10/11 частей воды. Все это переливаем в фужер с водой
4. Теперь в фужере с водой 90 целых и 10/11 частей воды и 9 целых и 1/11 часть вина, что в сумме дает 100 частей жидкости
5. В фужере с вином 90 целых и 10/11 частей вина и 9 целых и 1/11 частей воды, что в сумме также составляет 100 частей жидкости
6. Обмен равноценный
А теперь правильное решение данной задачи.
Не стоит считать части и как следует размешивать. Какие бы манипуляции ни происходили, весь изъятый объем заменяется таким же пришедшим. И все.
Бонус. Задачи, которые быстро и правильно решаются. Представляю вам удовольствие решить их самостоятельно.
1. В прошлую пятницу девочка Маша в первый раз пошла в клуб и познакомилась с 20 новыми людьми. В эту пятницу она ходила в клуб, встретила 10 старых знакомых и с 10 новыми людьми познакомилась. Со сколькими новыми людьми девочка Маша наиболее вероятно познакомится в следующую пятницу?
2. Выпуклый многогранник отбрасывает пятиугольную тень. Каково минимальное число граней у него?
3. Треугольник, у которого нет тупых углов, назовем остроугольным. Как в трехмерном пространстве разместить двенадцать точек, чтобы они являлись вершинами наибольшего числа остроугольных треугольников? Сколько остроугольных треугольников получится?
4. Вам и еще одному незнакомому человеку предлагают загадать натуральное число. Если ваши числа совпадают, то вы получаете приз. Какое число вы загадаете?
5. В коробке с печеньками находится вкладыш. Чтобы выиграть, нужно собрать полную коллекцию разных вкладышей, для этого средний потребитель покупает 72 коробки. Сколько разных вкладышей в полной коллекции?
6. Какой толщины должна быть монета (в радиусах), чтобы вероятность падения на ребро равнялась вероятности выпадения орла?
Задача 1. В стране, где люди хотят, чтобы у них были только дети-мальчики, каждая семья продолжает рожать детей до тех пор, пока не родится мальчик. Если у них рождается девочка, они заводят еще одного ребенка. Если мальчик, они останавливаются. Каково соотношение мальчиков и девочек в такой стране? (Подразумевается, что вероятность рождения мальчика равна вероятности рождения девочки, хотя, в самом деле, отношение 105:100)
Верное решение данной задачи.
С вероятностью 1/2 будет один ребенок – мальчик.
С вероятностью 1/4 будет два ребенка – девочка и мальчик.
С вероятностью 1/8 будет три ребенка – две девочки и мальчик.
…
С вероятностью 1/2^n будет n детей — (n-1) девочек и мальчик.
Математическое ожидание числа мальчиков = 1
Математическое ожидание числа девочек = 1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/8 * 2 + 1/16 * 3 +…
Если сумму этого ряда обозначить через s, то легко получить, что 2 * s – s = 1, s есть 1, следовательно, соотношение мальчиков и девочек 50:50.
А теперь правильное решение данной задачи.
Все схемы в условии этой задачи для отвода глаз. Есть Великий Рандом , который дает мальчика и девочку с одинаковой вероятностью, значит и соотношение будет 50:50.
Если не убедительно, то поясню. Кто-то играет мартингал в казино, то есть ставит на цвет, пока он не выпадет, удваивая ставки. От такого поведения игрока (или игроков) рулетка все равно будет выдавать одинаковое число черных и красных исходов, ровно, как и роддом.
Задача 2. Две фирмы продавали кофе по одинаковой цене и объему. Обе одновременно провели акции: первая начала продавать на 15% больше кофе, а вторая на 15% дешевле. У кого кофе стало покупать выгодней?
Верное решение данной задачи.
Если до акции 100 мл кофе стоил 1 рубль, то после акции у первой фирмы 100 мл кофе начал стоить 100 * (100 / 115), что примерно равно 87 копейкам, а у второй, очевидно, 85 или на две копейки дешевле.
А теперь правильное решение данной задачи.
Делить на 115 в уме мне, например, трудно. Поэтому можно заменить 15 на 50. В этом случае у второй фирмы на рубль мы получим в два раза больше кофе, а у первой всего в полтора. Переход от 15 к 50 законен в виду линейности процентов.
Задача 2-бис. Что выгоднее: вклад под 70% в валюте с инфляцией 60%, или под 80% в валюте с инфляцией 70%?
Задача 3. Перед вами два одинаковых фужера. В одном из них вино, в другом вода. Зачерпните чайную ложку воды и вылейте в фужер с вином. Как следует размешайте. А затем зачерпните чайную ложку полученной смеси и вылейте в фужер с водой. Чего больше: вина в фужере с водой или воды в фужере с вином?
Верное решение данной задачи.
1. Допустим, что в фужере 100 частей жидкости, а в ложке — 10 частей
2. Берем из фужера 10 частей воды и переливаем в фужер с вином и перемешиваем
3. В фужере с вином 110 частей жидкости. А в ложке смеси из этого фужера по одной одиннадцатой части объема воды и вина. Следовательно, в ложке смеси содержится 9 целых и 1/11 часть вина и 10/11 частей воды. Все это переливаем в фужер с водой
4. Теперь в фужере с водой 90 целых и 10/11 частей воды и 9 целых и 1/11 часть вина, что в сумме дает 100 частей жидкости
5. В фужере с вином 90 целых и 10/11 частей вина и 9 целых и 1/11 частей воды, что в сумме также составляет 100 частей жидкости
6. Обмен равноценный
А теперь правильное решение данной задачи.
Не стоит считать части и как следует размешивать. Какие бы манипуляции ни происходили, весь изъятый объем заменяется таким же пришедшим. И все.
Бонус. Задачи, которые быстро и правильно решаются. Представляю вам удовольствие решить их самостоятельно.
1. В прошлую пятницу девочка Маша в первый раз пошла в клуб и познакомилась с 20 новыми людьми. В эту пятницу она ходила в клуб, встретила 10 старых знакомых и с 10 новыми людьми познакомилась. Со сколькими новыми людьми девочка Маша наиболее вероятно познакомится в следующую пятницу?
2. Выпуклый многогранник отбрасывает пятиугольную тень. Каково минимальное число граней у него?
3. Треугольник, у которого нет тупых углов, назовем остроугольным. Как в трехмерном пространстве разместить двенадцать точек, чтобы они являлись вершинами наибольшего числа остроугольных треугольников? Сколько остроугольных треугольников получится?
4. Вам и еще одному незнакомому человеку предлагают загадать натуральное число. Если ваши числа совпадают, то вы получаете приз. Какое число вы загадаете?
5. В коробке с печеньками находится вкладыш. Чтобы выиграть, нужно собрать полную коллекцию разных вкладышей, для этого средний потребитель покупает 72 коробки. Сколько разных вкладышей в полной коллекции?
6. Какой толщины должна быть монета (в радиусах), чтобы вероятность падения на ребро равнялась вероятности выпадения орла?
