Comments 23
Красиво!
Такой к вам вопрос. Получив подобное сложное и громоздкое решение, естественным является стремление его проверить. Как можно проверить решение в вашем случае? Да, выглядит оно, на первый взгляд, логично. Система ведет себя примерно так, как от нее ожидалось. Но все же. Я вовсе не подвергаю сомнению правильность полученного вами решения, просто интересует вопрос методологии. Как проверять?
Такой к вам вопрос. Получив подобное сложное и громоздкое решение, естественным является стремление его проверить. Как можно проверить решение в вашем случае? Да, выглядит оно, на первый взгляд, логично. Система ведет себя примерно так, как от нее ожидалось. Но все же. Я вовсе не подвергаю сомнению правильность полученного вами решения, просто интересует вопрос методологии. Как проверять?
Совершенно справедливый вопрос. Проверить аналитическое решение можно и вручную, но если оно очень сложно, то это трудно.
А вот для проверки численного решения есть хороший способ — проверить выполнение теоремы об изменении кинетической энергии
&space;+&space;\sum&space;A\left(\vec{F}_k^i&space;\right&space;) "T - T_0 = \sum A\left(\vec{F}_k^e \right ) + \sum A\left(\vec{F}_k^i \right )")
где T, T0 — кинетическая энергия системы в конечный иначальный моменты времени;,&space;\sum&space;A\left(\vec{F}_k^i&space;\right&space;) "\sum A\left(\vec{F}_k^e \right ), \sum A\left(\vec{F}_k^i \right )")
— соответственно сумма работ внешних и внутренних сил приложенных к системе за весь интервал движения.
В нашем случая все силы разбиваются на две группы — диссипативные (сила трения) и потенциальные (сила тяжести). Тогда, с учетом того что полная механическая энергия
— сумма кинетической и потенциальной, получаем
 "E - E_0 = \sum A(\vec{F}_k^d)")
то есть изменение полной механической энергии системы равно работе диссипативных сил.
Хороший интегральный критерий для проверки, разница между левой и правой частями может выступать как оценка погрешности численного решения.
А вот для проверки численного решения есть хороший способ — проверить выполнение теоремы об изменении кинетической энергии
где T, T0 — кинетическая энергия системы в конечный иначальный моменты времени;
В нашем случая все силы разбиваются на две группы — диссипативные (сила трения) и потенциальные (сила тяжести). Тогда, с учетом того что полная механическая энергия
то есть изменение полной механической энергии системы равно работе диссипативных сил.
Хороший интегральный критерий для проверки, разница между левой и правой частями может выступать как оценка погрешности численного решения.
Прверил решение, приведенное в статье на выполнение теоремы об изменении кинетической энергии. В итоге:
1. Изменение полной механической энергии системы
Дж
2. Работа силы трения&space;=&space;-19.5522133272185 "A(\vec{F}_{fr}) = -19.5522133272185")
Дж.
В принципе, совпадение хорошее. Думаю надо дополнить статью описанием методики проверки
1. Изменение полной механической энергии системы
2. Работа силы трения
В принципе, совпадение хорошее. Думаю надо дополнить статью описанием методики проверки
Maple система неплохая, правда, как перешли на новый интерфейс я в адрес разработчиков слышал много добрых слов. В целях экономии, говорят, нанимают писать программы студентов и это может хорошо для студентов, но качество продукта страдает.
А так, это можно было проделать и wxMaxima. Она бесплатна, написана на Lisp (значит намного быстрее систем компьютерной алгебры написанных на C, вот такой парадокс) и имеет приятный интерфейс. Сейчас переживает второе рождение.
А так, это можно было проделать и wxMaxima. Она бесплатна, написана на Lisp (значит намного быстрее систем компьютерной алгебры написанных на C, вот такой парадокс) и имеет приятный интерфейс. Сейчас переживает второе рождение.
Всё написанное справедливо для любой системы компьютерной алгебры. Просто Maple мне привычен, хотя последнее время тоже смотрю в сторону Maxima.
Долго ругался неприличными словами на этот новый интерфейс, пока не нашел как переключится на старый
Tools -> Options -> Display
В формате ввода выбираем Maple-нотацию
как перешли на новый интерфейс я в адрес разработчиков слышал много добрых слов
Долго ругался неприличными словами на этот новый интерфейс, пока не нашел как переключится на старый
Tools -> Options -> Display
В формате ввода выбираем Maple-нотацию
Если сила трения мала, а обычно оно так и есть, то можно сначала решить задачу без трения, а потом построить теорию возмущений, введя трение. Крокодилов будет существенно меньше. Если сила трения велика, то ни о каких колебаниях речи идти не будет и опять же можно всё существенно упростить.
Отличная статья, но ее бы на GT. Чес-слово, понимаю, что любую статью можно превратить в ИТ-ную, написав примерно в начале: «возьмем произвольный текст и напишем программу по нему: ...», но все же, по совести, это будет чушь.
Был бы этот сайт математическим ресурсом — статья бы была просто в тему, а так получилось «красиво, но мимо кассы». Ничего личного!
Был бы этот сайт математическим ресурсом — статья бы была просто в тему, а так получилось «красиво, но мимо кассы». Ничего личного!
любую статью можно превратить в ИТ-ную
Любая IT-область направлена в конечном счете на решение насущных человеческих задач. Любой математический метод, в свою очередь, может стать основой алгоритма некоей программы, решающей насущную задачу.
Все области взаимосвязаны
Согласен. Давайте я статью по биологии в математическом журнале опубликую, и мы вместе послушаем возгласы читателей? А лично Вы меня будете защищать, что, мол, «клетки биологических организмов считать на пальцах не умеют — у них и пальцев-то нет — но тем интереснее эта тема для истинных математиков!»
Идет? :)
Идет? :)
Будете смеятся, но статья по биологии в математическом журнале — это реальность наших дней. В течение ряда лет учавствую в конференции «Биомеханика в современном университете» где большая часть докладов посвящена моделированию механики биосистем.
В современном мире границы между предметными областями размываются
В современном мире границы между предметными областями размываются
«Хотите поговорить об этом?»
Вы не хуже меня понимаете, что на Хабре этой статье, простите за прямоту, не место, а на GT — вполне. И демагогией можно заниматься до посинения, да и ИТ-ники читают не только мануалы по sed-у, но тогда, простите, можно начинать постить сюда куски фантастов, рассказы аквалангистов, обзоры «радионянь» — все то, что, как кому-то покажется, может потенциально заинтересовать ИТ-ника. Да, еще тесты сухого корма для кроликов, выбор оптимального маршрута путешествия в Гималаях, и прочее «интересное», что, как бы Вы не говорили, не совсем чтобы связано с компьютерами.
За Вас и за конференцию — рад. Но серьезная ли она, и имеет ли отношение к математике после такого названия и такого набора докладов, сказать, увы, не возьмусь )
Вы не хуже меня понимаете, что на Хабре этой статье, простите за прямоту, не место, а на GT — вполне. И демагогией можно заниматься до посинения, да и ИТ-ники читают не только мануалы по sed-у, но тогда, простите, можно начинать постить сюда куски фантастов, рассказы аквалангистов, обзоры «радионянь» — все то, что, как кому-то покажется, может потенциально заинтересовать ИТ-ника. Да, еще тесты сухого корма для кроликов, выбор оптимального маршрута путешествия в Гималаях, и прочее «интересное», что, как бы Вы не говорили, не совсем чтобы связано с компьютерами.
За Вас и за конференцию — рад. Но серьезная ли она, и имеет ли отношение к математике после такого названия и такого набора докладов, сказать, увы, не возьмусь )
Имхо, этой статье место как раз на хабре. GT — это околонаучная вода, хабр — это «инженерное мясо»: код, расчеты и т.д. Всё то, что можно напрямую перепроверить и использовать.
Если трение скольжения меньше трения покоя — возинкает интересный эффект — тело движется рывками. Собственно так работают струна и смычок и многие другие способы звукоизвлечения путем трения
Рассмотрено применение метода избыточных координат..
Вот про этот метод можно было быть чуть подробнее — в чем суть и каковы применения вкратце.
Суть метода изложена в предыдущей публикации. В литературе, ближайший пример: Огурцов А. И. Аналитическая механика
Разрешите позанудствовать? Мне понравилась статья, однако у физика бы сразу возникли вопросы:
— какова частота колебаний системы в сравнении с системой без трения?
— как частота зависит от силы трения?
— при слабых возмущениях колебания должны быть близки к гармоническим, какие гармоники возникают?
ну и много других вопросов такого типа.
— какова частота колебаний системы в сравнении с системой без трения?
— как частота зависит от силы трения?
— при слабых возмущениях колебания должны быть близки к гармоническим, какие гармоники возникают?
ну и много других вопросов такого типа.
При отсутствии трения ползун движется так
а стержень непрерывно поворачивается в одном направлении
(собственно в полном согласии с теоремой о движении центра масс механической системы, при отсутствии трения центр масс данной движется исключительно вертикально)
При малом трении (f = 0,001) картина такова
Ползун
Стержень
При коэффиwиенте трения f = 0,01
Ползун
Стержень
Действительно, движение стрежня при небольших коэффициентах трения близко к гармоническому, причем имеется некоторая преобладающая гармоника
а стержень непрерывно поворачивается в одном направлении
(собственно в полном согласии с теоремой о движении центра масс механической системы, при отсутствии трения центр масс данной движется исключительно вертикально)
При малом трении (f = 0,001) картина такова
Ползун
Стержень
При коэффиwиенте трения f = 0,01
Ползун
Стержень
Действительно, движение стрежня при небольших коэффициентах трения близко к гармоническому, причем имеется некоторая преобладающая гармоника
Кстати, в отсутствие трения, уравнение (6) легко интегрируется
Что есть
&space;=&space;0 "\frac{d^2}{dt^2}\left(x - L\sin\varphi \right ) = 0")
и
а с учетом нулевых начальных условий
результат, который дает теорема о движении центра масс применительно к данной системе
Что есть
и
а с учетом нулевых начальных условий
результат, который дает теорема о движении центра масс применительно к данной системе
Движение при f = 0,01 на большем интервале времени
Ползун
Стержень
Ползун
Стержень
А возможно линеаризовать эти уравнения?
Если представить её как модель в пространстве состояний, то многие свойства системы (те же гармоники) можно вычислить почти аналитически, вообще без интеграции по времени.
Если представить её как модель в пространстве состояний, то многие свойства системы (те же гармоники) можно вычислить почти аналитически, вообще без интеграции по времени.
Без трения можно линеаризовать и исследовать собственные значения полученной системы (правда аналитически вряд ли — 4 порядок).
Но так как сила трения существенно нелинейная функция фазовых координат, ммм… сомневаюсь что линеаризовать удастся. Вид решения кардинально меняется при вводе даже малого возмущения в виде сухого трения.
Но так как сила трения существенно нелинейная функция фазовых координат, ммм… сомневаюсь что линеаризовать удастся. Вид решения кардинально меняется при вводе даже малого возмущения в виде сухого трения.
Sign up to leave a comment.
Формализм Лагранжа в задачах с сухим трением