Без лишних слов
pre scriptum: Любые замечания, уточнени, требования изъсниться более чётко, конструктивное участие в обсуждении приветствуются всеми конечностями (конечностями, я сказал, для тех, кто на подумал не только о конечностях: ), хотя, если прекрасная… ну, да ладно).
Числа бывают разные, но в физике используются действительные и комплексные. Для строгой последовательности построения которых требуются числа натуральные, целые, рациональные.
Натуральные числа задаются аксиомами. Чаще всего, аксиомами Пеано
1. 0 существует и это натуральное число.
2. для каждого натурального числа n определено следующее натуральное число — s(n)
3. нет такого натурального числа m, для которого s(m) = 0
4. если a != b, тo s(a) != s(b)
5. если для 0 верно свойство С, и если из того, что свойство C верно для n так же следует то, что оно верно для s(n), тогда свойство C верно для всех натуральных чисел.
Заметьте, что обозначения пунктов аксиом — это не натуральные числа. Это просто значки, чтобы их различать. Никакая конечная система не может являться натуральными числами, для какого-то элемента x в ней не будет определён s(x), который так же лежит внутри этой системы.
Пока натуральные числа выглядят так 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),… И предлагают такой взгляд на природу.
Существует 0 (впрочем, это просто обозначение). Просто существует нечто. Ну, нечто существует, в крайнем случае, существует ничто. Возьмом это нечто. Далее, сказано, но раз нечто взято, то существует и другое нечто. Можно это тоже взять, обозначить следующим к ранее взятому, нечто, но и этим наш мир не исчерпывается. Раз взяты первые несколько нечто, существует и отличное от всех них нечто', которое можно взять и обозначить следующим к последнему из нештрихованных нечто.
В нас пытаются вселить веру в возможность бесконечно брать и брать отличные от предыдущих элементы. Является ли это интуитивной конструкцией? Так ли это в окружающем нас мире? Можно подумать, что да. Ведь, для каждого шага необходимо взять один элемент. Но… Тонкость в том, что этот элемент должен быть отличным от всех тех, что были взяты ранее. При достаточном количестве шагов, для определения этого понадобиться гигантское хранилище информации. А как его построить? И насколько оно будет разбухать при добавлении очередного элемента? Такая простая медитация над простыми аксиомами вполне может (?) привести к гипотезе постоянно расширяющейся вселенной.
Казалось бы, можно не прибегать к динамической интерпретации этих аксиом. Например, можно сказать. Это множество N — просто существует. Натуральные числа есть, как Дао, и существуют. Но что с того, что они просто существуют? По меркам современной физики этого не достаточно. Нужно, например, чтобы электроны 'умели' считать интегралы Фейнмана и выделывать прочие трюки. А оперировать этим множеством ничуть не легче. Если нечто решиться найти следующий элемент для некоторого натурального числа n, то этому нечто придётся опять же проделывать громоздкую процедуру по поиску, сначала всех предыдущих элементов, а затем по поиску следующего, такого, который отличен от всех предыдущих.
Естественно, вселенная проделывает это мгновенно (как нас убеждают физики, с лёгкостью приписывая любой точке пространства сложные математические качества), но информационные связи между парами натуральных чисел от этого никуда не деваются. Где они хранятся? Да, можно сказать: просто есть, и всё. Как Дао, в каждой точке. И мы, вместе со вселенной знаем, что будет следующим. Электроны знают, протоны знают. А вот компьютеры и вороны — не знают. Вороны не умеют считать до 8, а компьютеры до 2^n + 1 при достаточно большом n. Чем вороны хуже людей, а компьютеры проще протонов?
Это всё странно, но из этой перепутанности сознания, возможно, есть выход. Ведь, аксиомоприменительная практика заключается в том, что нужно найти некоторую систему, в которой можно ткнуть пальцы на некоторые составляющие и состояния, увидеть, что они удовлетворяют нужной аксиоматике и торжественно объявить эту систему системой натуральных чисел, например. Но опять же не ясно, что в физике удовлетворяет этим свойствам? И вообще где бы то ни было. Уж очень требования к бесконечному продолжению жёсткие.
Сами по себе натуральные числа никому не нужны. Естественно. Хочется их умножать и складывать. Что же, это можно сделать строго, определив операции так:
1. n + 0 = n
2. n + 1 = s(n)
3. n + s(m) = s(n + m)
4. n * 0 = 0
5. n * 1 = n
6. n * s(m) = n * m + n
Номера по-прежнему — просто числа. Без доказательств (которые не трудно раздобыть) сразу скажу — из этого всего получается привычное нам умножение и сложение в столбик, и даже деление, и умение записывать числа в системах счисления. Вот теперь 1, 2, 3,… стали натуральными числами. При этом, очень интересна концепция, которая записана вторым правилом: оказывается, что понятие следующего можно заменить концепцией того, что все натуральные числа состоят из 1. То есть, можно теперь считать на палочках, а весь мир состоит из элементарных элементов.
То есть, нам показывают однородный мир. Электроны знают о том, что мир однородный? Странно. Кроме того, по прежнему сохраняется ситуация со всё возрастающей информационной сложностью. Можно взять n — натуральное число, которое, для того, чтобы отличаться от других, записано огромной цепочкой цифр, а потом попробовать взять s(n). По идее, теперь заранее известно, что взятие такого числа — это всего лишь добавление 1. Но все помнят сложение столбиком? Операция может затянуться на долго. Изменения могут быть нелокальными, информационные зависимости чудовищно длинными. Даже если природа делает это мгновенно. Даже если эта структура со сложениями существует в каждой точке. Да, кстати, если она существует в каждой точке, то вселенная уже решила все алгоритмические задачи, занятно. А вороны могут считать только до 7.
Целые числа. Ладно, можно ли исправить этот казус с разбуханием сложности при отдалении от нуля? Чем 0 лучше, чем 2^65536 — 1, и чем это число лучше, чем в непонять сколько раз более длинное 2^654536798234235 — 1? Вслед за Эйнштейном скажем — а ничем. Не должно быть так, чтобы структура была бесконечно сложной, и значительно усложнялась при отдалении от нуля.
Но это означает, что мы можем отцентроваться теперь в числе n, и все другие числа записать, считая, что n — пуп земли. Тогда, сложность конструкций может быть ограничена. Тогда, n — 1 станет числом -1, а n + 5 — числом +5. Нормально и достаточно согласовано, пока не делать попыток понять, а что же такое -1 для начала натуральных чисел? Хм… А вот не понятно.
Поэтому, мы делаем очередное духовное усилие, свершаем акт веры и начинаем верить в то, что, а пусть 0 действительно не отличается от n. И -1 действительно существует. Это число, стоящее перед n. А перед -1 тоже должно быть нечто, ведь всё у нас равномерно. Во всех точках должна быть одинаковая структура. И получаем мы кольцо целых чисел.
Напомню, всего лишь из трёх представлений о природе вещей.
1. Всегда нечто существует.
2. Всегда можно взять следующий элемент.
3. Всё можно построить из единицы — чего-то элементарного и общего.
4. Вокруг любого элемента должна быть одинаково сложная (на самом деле, хотелось одинаково простой, но она сложная, в каждой точке существует система целых чисел) структура.
Вот и всё. Но дальше (очередной шаг в теории относительности), поверив в то, что всё состоит из 1, мы снова заставляем себя поверить в очередной факт. И единица тоже из чего-то состоит.
Можно ли её разделить на n частей? Приходит, кажется, Фалес и говорит: естественно, ученики мои. Возьмите единичный отрезок, отложите его от точки A n раз вдоль одной прямой, получите число n (ну, да, Фалес прав, действительно, процесс откладывания отрезков на прямой — это в точности применение при помощи циркуля процедуры s(n), а раз она имеет место быть с нужными свойствами, то у нас есть натуральные числа). Теперь, из точки A нарисуй другую прямую, а она есть, сиё нам гарантирует Евклид. Теперь отложи на ней единичный отрезок, конец которого соедини с числом n на другой прямой, а теперь, параллельно этому соединению, построй n прямых, проходящих через точки 1, 2, 3,… n — 1. И ты узришь, что эти прямые пересекут единичный отрезок, расположенный под углом, на n равных частей. Ибо опять же, аксиомы Евклида.
Но и на самом деле. А что такое единица сама по себе? Что такое 1? Генератор нашей вселенной натуральных чисел? Основная информационная структура? Что? Не понятно. Значит, следуя заветам Эйнштейна, скажем, что ничем 1 от прочих элементов концептуально не отличается, с ней можно заниматься всё той же физикой, что и с числом n, или 3, или 2^5679087 — 1, значит, как и эти числа можно разделить на соответсвующее число 1, то и 1 можно разделить на соответствующее число таких отрезков.
Но вообще говоря, в алгебре 1 имеет вполне определённые уникальные свойства. Например, для любого числа x, x * 1 = x. Имеется ли в этом противоречие с ранее написанным? Нет. Потому что ранее написанное говорит лишь о том, что сама по себе 1 никогда не ходит. В 1 нет никакого смысла. Ну а на самом деле. Скажу я вам 1. И что это будет означать? Дальше можно конечно, предположить, что я вам назвал натуральное число 1 и обсудить его свойства.
Греки не знали натуральных чисел. Зато они знали, что такое 1. 1 для них была общей мерой двух отрезков. Все помнят алгоритм Евклида по нахождению НОД? Так вот, Евклид не знал, что такое НОД, и алгоритм использовал для нахождения общей меры двух отрезков (просто вычитая (при помощи циркуля) каждый раз кратчайщий из них из более длинного, длины он определял на глазок, естественно). Но тем не менее, его интуиция не подводила, и это действительно давало общую меру отрезков.
То, что пять минут назад считалось 1, могло быть соизмерено с отрезком длиной в 1/4 (два раза поделённый поплоам при помощи циркуля и линейки отрезок), и сразу становилось ясно, что новый масштаб измерений — это 1/4 = 1', а 1 — это теперь 4'.
Полный нигилизм и отрицание наличия чего бы то ни было основательного. Мало того, что у нас существует бесконечно сложная структура в каждом элементе вселенной, так ещё более сложная структура существует между любой парой.
Угу, а когда мы начнём задумываться над общей структурой, связывающей три элемента, куда мы попадём? Правильно, прямиком в комплексные числа. Пройдя перед этим действительные.
Можно этот процесс расписать, указать, например по ходу на то, что sqrt(2) не существует без полного построения действительных чисел, без этого построения даже теорему Пифагора строго не доказать, так что, существование действительных чисел подобно существованию 0, в аксиомах Пеано. Они просто существуют и всё. Как данность, как Дао?
И структуры там возникнут ещё более сложные. Ещё более навороченные, потому что sqrt(2) пресловутый содержит в себе бесконечно много информации, которая нужна, чтобы построить его при помощи простых движений в пространстве. Но, конечно же, его можно объявить единицей, и не беспокоиться, двигаясь по точкам sqrt(2) * N/M. Но так мы никогда не попадём в единицу.
Отношения между числами ОЧЕНЬ сложные, если смотреть на них не в терминах аксиом, а пытаясь найти житейскую трактовку всего этого множества концепций. При этом, единственный способ принять их существование — это поверить в то, что они существуют все скопом, сразу же и безгранично, здесь и сейчас, во всей своей сложности и (вобщем-то) великолепии.
Но при этом, ситуация сильно дуальная. Числа не могут сами себя складывать. Да, может существовать трёхмерное множество (x, y, z) с тем свойством, что z = x + y. Но… А зачем мы тогда вообще пыхтим и складываем числа столбиком? Где это множество? Как получить к нему доступ? Тут самое время уверовать в единое информационное пространство, в котором всё есть, и из которого индийские факиры черпают данные, когда складывают офигеннозначные числа в уме за пять секунд.
Но знаете, это fake. И вот почему. Потому что сложение, даже через доступ к этому множеству — это всё-равно операция. Действие, более того, исполнение действия. Поэтому, единственная, предлагаемая математикой трактовка: это просто существует, несоответствует действительности.
При этом, ситуация меняется, если мы начнём воспринимать математику, как язык (как и нужно её вобщем-то воспринимать). Это всего лишь способ описать (при этом даже не объекты, хотя выглядит всё именно как описание объектов) процесс. Например, аксиомы Пеано, показанные математикам сказали им о том, как они могут конструировать натуральные числа, а договорённость с определениями операций + и * позволила поднять эффективность конструирования на очень высокий уровень. Не существует натуральных чисел, существуют математики динамически интерпретирующие аксиоматику Пеано.
Так же и со всем. Аксиомы нам просто говорят: если у тебя есть нечто, в чём ты видишь такие-то и такие-то свойства, то ты можешь делать с ним то-то и то-то, и при этом свойства эти сохранятся. Ну, на самом деле, процессор может выполнять операции с кольцами целых остатков (ну, операции по модулю какому-нибудь). Может. Но означает ли это, что множество существует для процессора? То, что для него существует математика в каждом из его состояний? А если процессор сломать, куда денется вся эта сложная структура?
Вобщем вот. Всё это вызывает первую стадию когнитивного диссонанса при восприятии современных построений теоретической физики. Будь то теория относительности, которая движется по пути, намеченному для целых и рациональных чисел, и заявляет, что везде всё должно быть однообразным, одинаковым, и двигаться мы можем только со скоростью света, по заранее созданным траекториям. И всего этого чуда очень сложная структура.
Или будь то квантовая физика, в которой очевидно делимые и дискретные вещи пытаются описывать бесконечно сложным и бесконечно делимым, бесконечно неспособным различить сосотояния, если они не сопоставлены извне системы с другими состояниями (хотя, эта формулировка очень важна, для понимания того, что же такое физический эксперимент). Хорошо, бесконечную и величественную сложность и предрешённость пространства-времени ещё можно принять. Но то, что электрон знает обо всём том же, о чём знаем мы, ставя над ним эксперимент… Хм. Звучит странновато, пока мы не примем то, что электрон (ну, или любое наблюдаемое явление) — это не элементарный элемент вселенной, а элементарная составляющая нашего эксперимента.
Ладно. Я действительно не могу написать это точнее. Я пробовал четыре дня, и ничего не выходит, кроме такого вот потока сознания. Хотя, если без привязки к реальности, я запросто могу вам изложить основные концепции и выводы хоть теории чисел, хоть теории относительности, хоть квантовой хромодинамики (тут мне, впрочем, понадобиться подглядывать в учебник).
Но связать всё с тем, что мы видим вокруг — очень сложно. И основной причиной после всех переживаний (я подчёркиваю, переживаний, а не анализа) связанных с этими размышлениями, я могу назвать только одну: математика оперируют статичными объектами. Вот, хоть тресни. Даже машина Тьюринга лучше всего представима, как некая траектория (о чём я напишу позже) в некотором пространстве состояний.
Именно поэтому, вся математика разваливается, когда мы пишем программы, которые активно общаются со внешним миром. Внешний мир изменчив, а математика нет. Она должна работать в любой точки пространства и времени, с любой скоростью, с предельной точностью. Так бывает, если в этой точке пространства присутствует достаточно умный интерпретатор или интерпретаторы математического языка. Но что если там нет никакого интерпретатора?
И ещё вопрос: так почему физика пытается оперировать только такими вневременными конструкциями, пытаясь описать очевидно динамичную систему? Уж не поэтому ли у физиков возникают парадоксы и 'антиинтуитивные' конструкции в теориях?
Хотите пример? Всё тот же электрон. Для физиков было существенной перетряской представлений, когда появилось уравнение Шрёдингера, которое разрешало электрону жить только на определённых энергетических уровнях. А зачем это уравнение усердно искалось? Чтобы разрешить противоречие в классической электродинамике, которая предписывает болтающемуся вокруг протона электрону вскорости потерять всю энергию и рухнуть на этот протон, чего не происходит. А должно происходить, согласно анализу траекторий и прочих существующих вне времени математических конструкций.
Но, ведь, всё очевидно… Надо только принять то, что электрон подвижен. И это основное его свойство: ни положение в точке, ни обладание энергией, а подвижность. Соответсвенно, он просто не может упасть на протон. Он не может быть в точке — это нонсенс. Собственно, любая элементарная частица этому нонсенсу и сопротивляется. Принцип неопределённости Гейзенберга как раз об этом — фига вы задавите электрон в точку, потому что вам энергии на это не хватит, чтобы сдержать его флуктуации. Это логично. Никакого нонсенса… Но про время я попишу позже. И, надеюсь, построже, потому что там не будет ковыряния в элементарных основаниях теорий.
pre scriptum: Любые замечания, уточнени, требования изъсниться более чётко, конструктивное участие в обсуждении приветствуются всеми конечностями (конечностями, я сказал, для тех, кто на подумал не только о конечностях: ), хотя, если прекрасная… ну, да ладно).
Числа бывают разные, но в физике используются действительные и комплексные. Для строгой последовательности построения которых требуются числа натуральные, целые, рациональные.
Натуральные числа задаются аксиомами. Чаще всего, аксиомами Пеано
1. 0 существует и это натуральное число.
2. для каждого натурального числа n определено следующее натуральное число — s(n)
3. нет такого натурального числа m, для которого s(m) = 0
4. если a != b, тo s(a) != s(b)
5. если для 0 верно свойство С, и если из того, что свойство C верно для n так же следует то, что оно верно для s(n), тогда свойство C верно для всех натуральных чисел.
Заметьте, что обозначения пунктов аксиом — это не натуральные числа. Это просто значки, чтобы их различать. Никакая конечная система не может являться натуральными числами, для какого-то элемента x в ней не будет определён s(x), который так же лежит внутри этой системы.
Пока натуральные числа выглядят так 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),… И предлагают такой взгляд на природу.
Существует 0 (впрочем, это просто обозначение). Просто существует нечто. Ну, нечто существует, в крайнем случае, существует ничто. Возьмом это нечто. Далее, сказано, но раз нечто взято, то существует и другое нечто. Можно это тоже взять, обозначить следующим к ранее взятому, нечто, но и этим наш мир не исчерпывается. Раз взяты первые несколько нечто, существует и отличное от всех них нечто', которое можно взять и обозначить следующим к последнему из нештрихованных нечто.
В нас пытаются вселить веру в возможность бесконечно брать и брать отличные от предыдущих элементы. Является ли это интуитивной конструкцией? Так ли это в окружающем нас мире? Можно подумать, что да. Ведь, для каждого шага необходимо взять один элемент. Но… Тонкость в том, что этот элемент должен быть отличным от всех тех, что были взяты ранее. При достаточном количестве шагов, для определения этого понадобиться гигантское хранилище информации. А как его построить? И насколько оно будет разбухать при добавлении очередного элемента? Такая простая медитация над простыми аксиомами вполне может (?) привести к гипотезе постоянно расширяющейся вселенной.
Казалось бы, можно не прибегать к динамической интерпретации этих аксиом. Например, можно сказать. Это множество N — просто существует. Натуральные числа есть, как Дао, и существуют. Но что с того, что они просто существуют? По меркам современной физики этого не достаточно. Нужно, например, чтобы электроны 'умели' считать интегралы Фейнмана и выделывать прочие трюки. А оперировать этим множеством ничуть не легче. Если нечто решиться найти следующий элемент для некоторого натурального числа n, то этому нечто придётся опять же проделывать громоздкую процедуру по поиску, сначала всех предыдущих элементов, а затем по поиску следующего, такого, который отличен от всех предыдущих.
Естественно, вселенная проделывает это мгновенно (как нас убеждают физики, с лёгкостью приписывая любой точке пространства сложные математические качества), но информационные связи между парами натуральных чисел от этого никуда не деваются. Где они хранятся? Да, можно сказать: просто есть, и всё. Как Дао, в каждой точке. И мы, вместе со вселенной знаем, что будет следующим. Электроны знают, протоны знают. А вот компьютеры и вороны — не знают. Вороны не умеют считать до 8, а компьютеры до 2^n + 1 при достаточно большом n. Чем вороны хуже людей, а компьютеры проще протонов?
Это всё странно, но из этой перепутанности сознания, возможно, есть выход. Ведь, аксиомоприменительная практика заключается в том, что нужно найти некоторую систему, в которой можно ткнуть пальцы на некоторые составляющие и состояния, увидеть, что они удовлетворяют нужной аксиоматике и торжественно объявить эту систему системой натуральных чисел, например. Но опять же не ясно, что в физике удовлетворяет этим свойствам? И вообще где бы то ни было. Уж очень требования к бесконечному продолжению жёсткие.
Сами по себе натуральные числа никому не нужны. Естественно. Хочется их умножать и складывать. Что же, это можно сделать строго, определив операции так:
1. n + 0 = n
2. n + 1 = s(n)
3. n + s(m) = s(n + m)
4. n * 0 = 0
5. n * 1 = n
6. n * s(m) = n * m + n
Номера по-прежнему — просто числа. Без доказательств (которые не трудно раздобыть) сразу скажу — из этого всего получается привычное нам умножение и сложение в столбик, и даже деление, и умение записывать числа в системах счисления. Вот теперь 1, 2, 3,… стали натуральными числами. При этом, очень интересна концепция, которая записана вторым правилом: оказывается, что понятие следующего можно заменить концепцией того, что все натуральные числа состоят из 1. То есть, можно теперь считать на палочках, а весь мир состоит из элементарных элементов.
То есть, нам показывают однородный мир. Электроны знают о том, что мир однородный? Странно. Кроме того, по прежнему сохраняется ситуация со всё возрастающей информационной сложностью. Можно взять n — натуральное число, которое, для того, чтобы отличаться от других, записано огромной цепочкой цифр, а потом попробовать взять s(n). По идее, теперь заранее известно, что взятие такого числа — это всего лишь добавление 1. Но все помнят сложение столбиком? Операция может затянуться на долго. Изменения могут быть нелокальными, информационные зависимости чудовищно длинными. Даже если природа делает это мгновенно. Даже если эта структура со сложениями существует в каждой точке. Да, кстати, если она существует в каждой точке, то вселенная уже решила все алгоритмические задачи, занятно. А вороны могут считать только до 7.
Целые числа. Ладно, можно ли исправить этот казус с разбуханием сложности при отдалении от нуля? Чем 0 лучше, чем 2^65536 — 1, и чем это число лучше, чем в непонять сколько раз более длинное 2^654536798234235 — 1? Вслед за Эйнштейном скажем — а ничем. Не должно быть так, чтобы структура была бесконечно сложной, и значительно усложнялась при отдалении от нуля.
Но это означает, что мы можем отцентроваться теперь в числе n, и все другие числа записать, считая, что n — пуп земли. Тогда, сложность конструкций может быть ограничена. Тогда, n — 1 станет числом -1, а n + 5 — числом +5. Нормально и достаточно согласовано, пока не делать попыток понять, а что же такое -1 для начала натуральных чисел? Хм… А вот не понятно.
Поэтому, мы делаем очередное духовное усилие, свершаем акт веры и начинаем верить в то, что, а пусть 0 действительно не отличается от n. И -1 действительно существует. Это число, стоящее перед n. А перед -1 тоже должно быть нечто, ведь всё у нас равномерно. Во всех точках должна быть одинаковая структура. И получаем мы кольцо целых чисел.
Напомню, всего лишь из трёх представлений о природе вещей.
1. Всегда нечто существует.
2. Всегда можно взять следующий элемент.
3. Всё можно построить из единицы — чего-то элементарного и общего.
4. Вокруг любого элемента должна быть одинаково сложная (на самом деле, хотелось одинаково простой, но она сложная, в каждой точке существует система целых чисел) структура.
Вот и всё. Но дальше (очередной шаг в теории относительности), поверив в то, что всё состоит из 1, мы снова заставляем себя поверить в очередной факт. И единица тоже из чего-то состоит.
Можно ли её разделить на n частей? Приходит, кажется, Фалес и говорит: естественно, ученики мои. Возьмите единичный отрезок, отложите его от точки A n раз вдоль одной прямой, получите число n (ну, да, Фалес прав, действительно, процесс откладывания отрезков на прямой — это в точности применение при помощи циркуля процедуры s(n), а раз она имеет место быть с нужными свойствами, то у нас есть натуральные числа). Теперь, из точки A нарисуй другую прямую, а она есть, сиё нам гарантирует Евклид. Теперь отложи на ней единичный отрезок, конец которого соедини с числом n на другой прямой, а теперь, параллельно этому соединению, построй n прямых, проходящих через точки 1, 2, 3,… n — 1. И ты узришь, что эти прямые пересекут единичный отрезок, расположенный под углом, на n равных частей. Ибо опять же, аксиомы Евклида.
Но и на самом деле. А что такое единица сама по себе? Что такое 1? Генератор нашей вселенной натуральных чисел? Основная информационная структура? Что? Не понятно. Значит, следуя заветам Эйнштейна, скажем, что ничем 1 от прочих элементов концептуально не отличается, с ней можно заниматься всё той же физикой, что и с числом n, или 3, или 2^5679087 — 1, значит, как и эти числа можно разделить на соответсвующее число 1, то и 1 можно разделить на соответствующее число таких отрезков.
Но вообще говоря, в алгебре 1 имеет вполне определённые уникальные свойства. Например, для любого числа x, x * 1 = x. Имеется ли в этом противоречие с ранее написанным? Нет. Потому что ранее написанное говорит лишь о том, что сама по себе 1 никогда не ходит. В 1 нет никакого смысла. Ну а на самом деле. Скажу я вам 1. И что это будет означать? Дальше можно конечно, предположить, что я вам назвал натуральное число 1 и обсудить его свойства.
Греки не знали натуральных чисел. Зато они знали, что такое 1. 1 для них была общей мерой двух отрезков. Все помнят алгоритм Евклида по нахождению НОД? Так вот, Евклид не знал, что такое НОД, и алгоритм использовал для нахождения общей меры двух отрезков (просто вычитая (при помощи циркуля) каждый раз кратчайщий из них из более длинного, длины он определял на глазок, естественно). Но тем не менее, его интуиция не подводила, и это действительно давало общую меру отрезков.
То, что пять минут назад считалось 1, могло быть соизмерено с отрезком длиной в 1/4 (два раза поделённый поплоам при помощи циркуля и линейки отрезок), и сразу становилось ясно, что новый масштаб измерений — это 1/4 = 1', а 1 — это теперь 4'.
Полный нигилизм и отрицание наличия чего бы то ни было основательного. Мало того, что у нас существует бесконечно сложная структура в каждом элементе вселенной, так ещё более сложная структура существует между любой парой.
Угу, а когда мы начнём задумываться над общей структурой, связывающей три элемента, куда мы попадём? Правильно, прямиком в комплексные числа. Пройдя перед этим действительные.
Можно этот процесс расписать, указать, например по ходу на то, что sqrt(2) не существует без полного построения действительных чисел, без этого построения даже теорему Пифагора строго не доказать, так что, существование действительных чисел подобно существованию 0, в аксиомах Пеано. Они просто существуют и всё. Как данность, как Дао?
И структуры там возникнут ещё более сложные. Ещё более навороченные, потому что sqrt(2) пресловутый содержит в себе бесконечно много информации, которая нужна, чтобы построить его при помощи простых движений в пространстве. Но, конечно же, его можно объявить единицей, и не беспокоиться, двигаясь по точкам sqrt(2) * N/M. Но так мы никогда не попадём в единицу.
Отношения между числами ОЧЕНЬ сложные, если смотреть на них не в терминах аксиом, а пытаясь найти житейскую трактовку всего этого множества концепций. При этом, единственный способ принять их существование — это поверить в то, что они существуют все скопом, сразу же и безгранично, здесь и сейчас, во всей своей сложности и (вобщем-то) великолепии.
Но при этом, ситуация сильно дуальная. Числа не могут сами себя складывать. Да, может существовать трёхмерное множество (x, y, z) с тем свойством, что z = x + y. Но… А зачем мы тогда вообще пыхтим и складываем числа столбиком? Где это множество? Как получить к нему доступ? Тут самое время уверовать в единое информационное пространство, в котором всё есть, и из которого индийские факиры черпают данные, когда складывают офигеннозначные числа в уме за пять секунд.
Но знаете, это fake. И вот почему. Потому что сложение, даже через доступ к этому множеству — это всё-равно операция. Действие, более того, исполнение действия. Поэтому, единственная, предлагаемая математикой трактовка: это просто существует, несоответствует действительности.
При этом, ситуация меняется, если мы начнём воспринимать математику, как язык (как и нужно её вобщем-то воспринимать). Это всего лишь способ описать (при этом даже не объекты, хотя выглядит всё именно как описание объектов) процесс. Например, аксиомы Пеано, показанные математикам сказали им о том, как они могут конструировать натуральные числа, а договорённость с определениями операций + и * позволила поднять эффективность конструирования на очень высокий уровень. Не существует натуральных чисел, существуют математики динамически интерпретирующие аксиоматику Пеано.
Так же и со всем. Аксиомы нам просто говорят: если у тебя есть нечто, в чём ты видишь такие-то и такие-то свойства, то ты можешь делать с ним то-то и то-то, и при этом свойства эти сохранятся. Ну, на самом деле, процессор может выполнять операции с кольцами целых остатков (ну, операции по модулю какому-нибудь). Может. Но означает ли это, что множество существует для процессора? То, что для него существует математика в каждом из его состояний? А если процессор сломать, куда денется вся эта сложная структура?
Вобщем вот. Всё это вызывает первую стадию когнитивного диссонанса при восприятии современных построений теоретической физики. Будь то теория относительности, которая движется по пути, намеченному для целых и рациональных чисел, и заявляет, что везде всё должно быть однообразным, одинаковым, и двигаться мы можем только со скоростью света, по заранее созданным траекториям. И всего этого чуда очень сложная структура.
Или будь то квантовая физика, в которой очевидно делимые и дискретные вещи пытаются описывать бесконечно сложным и бесконечно делимым, бесконечно неспособным различить сосотояния, если они не сопоставлены извне системы с другими состояниями (хотя, эта формулировка очень важна, для понимания того, что же такое физический эксперимент). Хорошо, бесконечную и величественную сложность и предрешённость пространства-времени ещё можно принять. Но то, что электрон знает обо всём том же, о чём знаем мы, ставя над ним эксперимент… Хм. Звучит странновато, пока мы не примем то, что электрон (ну, или любое наблюдаемое явление) — это не элементарный элемент вселенной, а элементарная составляющая нашего эксперимента.
Ладно. Я действительно не могу написать это точнее. Я пробовал четыре дня, и ничего не выходит, кроме такого вот потока сознания. Хотя, если без привязки к реальности, я запросто могу вам изложить основные концепции и выводы хоть теории чисел, хоть теории относительности, хоть квантовой хромодинамики (тут мне, впрочем, понадобиться подглядывать в учебник).
Но связать всё с тем, что мы видим вокруг — очень сложно. И основной причиной после всех переживаний (я подчёркиваю, переживаний, а не анализа) связанных с этими размышлениями, я могу назвать только одну: математика оперируют статичными объектами. Вот, хоть тресни. Даже машина Тьюринга лучше всего представима, как некая траектория (о чём я напишу позже) в некотором пространстве состояний.
Именно поэтому, вся математика разваливается, когда мы пишем программы, которые активно общаются со внешним миром. Внешний мир изменчив, а математика нет. Она должна работать в любой точки пространства и времени, с любой скоростью, с предельной точностью. Так бывает, если в этой точке пространства присутствует достаточно умный интерпретатор или интерпретаторы математического языка. Но что если там нет никакого интерпретатора?
И ещё вопрос: так почему физика пытается оперировать только такими вневременными конструкциями, пытаясь описать очевидно динамичную систему? Уж не поэтому ли у физиков возникают парадоксы и 'антиинтуитивные' конструкции в теориях?
Хотите пример? Всё тот же электрон. Для физиков было существенной перетряской представлений, когда появилось уравнение Шрёдингера, которое разрешало электрону жить только на определённых энергетических уровнях. А зачем это уравнение усердно искалось? Чтобы разрешить противоречие в классической электродинамике, которая предписывает болтающемуся вокруг протона электрону вскорости потерять всю энергию и рухнуть на этот протон, чего не происходит. А должно происходить, согласно анализу траекторий и прочих существующих вне времени математических конструкций.
Но, ведь, всё очевидно… Надо только принять то, что электрон подвижен. И это основное его свойство: ни положение в точке, ни обладание энергией, а подвижность. Соответсвенно, он просто не может упасть на протон. Он не может быть в точке — это нонсенс. Собственно, любая элементарная частица этому нонсенсу и сопротивляется. Принцип неопределённости Гейзенберга как раз об этом — фига вы задавите электрон в точку, потому что вам энергии на это не хватит, чтобы сдержать его флуктуации. Это логично. Никакого нонсенса… Но про время я попишу позже. И, надеюсь, построже, потому что там не будет ковыряния в элементарных основаниях теорий.
