Ю.А. Бычков, С.В. Щербаков

Исследование качественных особенностей динамики математических моделей нелинейных неавтономных систем с помощью собственных чисел функциональной матрицы Якоби

Постановка задачи

Задача исследования качественных особенностей динамики математических моделей нелинейных неавтономных систем с сосредоточенными параметрами чрезвычайно актуальна. Развитие теории нелинейных явлений и получаемые прикладные результаты порождают многообразие методов решения этой задачи [1-3].
В общем случае динамику математических моделей систем выделенного класса (далее «систем») описывает следующее обыкновенное нелинейное интегрально-дифференциальное уравнение с нестационарными коэффициентами:

$$

где $$ – оператор обобщённого дифференцирования по независимой переменной $$; $$ – квадратная, порядка $$, матрица с полиномиальными от $$ и $$ элементами, где $$ — оператор интегрирования с переменным верхним пределом $$;
G(D) –прямоугольная матрица, размером $$, с полиномиальными от $$ и $$ элементами; $$ и $$ – матрицы-столбцы координат системы (искомых решений) и внешних воздействий на неё соответственно; $$ – матрица-столбец со строками в виде сумм произведений, сомножители которых — нестационарные коэффициенты, а также классические производные любого порядка и интегралы любой кратности, начиная с нулевых, от искомых решений и внешних воздействий, в произвольных дробно-рациональных степенях.

Прочитав статью «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент», проверил расчеты с помощью аналитически-численного метода [1].

Результаты расчета на фазовой плоскости z(x):


И y(x):


Кажется, что кривые замкнуты, но давайте рассмотрим результат поподробнее.