Pull to refresh
  • by relevance
  • by date
  • by rating

Парадокс дней рождения

Lumber room
Утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет — 367).
Читать дальше →
Total votes 60: ↑24 and ↓36 -12
Views4.5K
Comments 16

Так ли точна математика, как кажется?

Mathematics
Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.
Читать дальше →
Total votes 7: ↑5 and ↓2 +3
Views16.2K
Comments 20

Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Mathematics
Sandbox
Tutorial

Краткий синопсис


По образованию я физик-теоретик, однако имею неплохую математическую базу. В магистратуре одним из предметов была философия, необходимо было выбрать тему и сдать по ней работу. Поскольку большинство вариантов не единожды было обмусолено, то решил выбрать что-то более экзотическое. На новизну не претендую, просто получилось аккумулировать всю/почти всю доступную литературу по этой теме. Философы и математики могут кидаться в меня камнями, буду лишь благодарен за конструктивную критику.

P.S. Весьма «сухой язык», но вполне читабельно после университетской программы. По большей части определения парадоксов брались из Википедии (упрощённая формулировка и готовая TeX-разметка).

Введение


Как сама теория множеств, так и парадоксы, ей присущие, появились не так уж и давно, чуть более ста лет назад. Однако за этот период был пройден большой путь, теория множеств так или иначе фактически стала основой большинства разделов математики. Парадоксы же её, связанные с бесконечностью Кантора, были успешно объяснены буквально за половину столетия.

Следует начать с определения.

Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)[1]. Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.

Парадоксы (логики и теории множеств) — (греч. image — неожиданный) — формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов — одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции — бесконечности. Задача — рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.
Читать дальше →
Total votes 40: ↑35 and ↓5 +30
Views54.2K
Comments 18

Эй, НАСА, а черные дыры таки существуют!

Astronautics
Translation
«Моя цель проста: полностью разобраться в устройстве Вселенной и понять, почему она такая и зачем она существует».
Стивен Хокинг

От переводчика. А ты, хабражитель, заметил, что тема космоса становится всё популярнее? Curiosity покоряет Марс, Virgin Galactic продает билеты на суборбитальные космические полеты, а Китай стал третьей страной, добравшейся до Луны. На самом деле, еще большие изменения происходят в космической теории. В этой статье с Medium речь пойдет о том, как изменилось представление ученых о черных дырах за последние пару лет. Я не физик, поэтому в переводе не исключены ляпы — пишите в личку или подробно (чтобы всем было понятно и интересно) в комментариях. Заранее большое спасибо и приятного чтения!
(Претензии на тему jpeg/png отправлять автору статьи.)

Читать дальше →
Total votes 194: ↑171 and ↓23 +148
Views96.2K
Comments 245

В мире математических парадоксов

Entertaining tasksMathematics

Доброго времени суток, уважаемое хабрасообщество.

Сегодня я хотел бы затронуть такую увлекательную тему, как математические парадоксы. По данной теме на хабре уже было опубликовано несколько замечательных статей (1,2,3,4,5), но в математике интересные парадоксы этой выборкой далеко не исчерпываются.

Поэтому попробуем рассмотреть другие занимательные парадоксы (а некоторые и «не совсем» парадоксы), которые пока еще не получили здесь должного освещения.
Читать дальше →
Total votes 98: ↑84 and ↓14 +70
Views101.2K
Comments 92

Саморегулирование биткойна

CryptographyPayment systems
Translation
Небольшой фрагмент лекции из курса Принстонского университета, лектор — Arvind Narayanan

Сейчас я хочу продемонстрировать вам еще одну тонкую мысль, довольно сложную, это очень четкая идея саморегулирования, которая захватила меня в первый раз, когда я с ней встретился. Я хочу поделиться ей с вами.

Что я имею в виду под саморегулированием? Я говорю о сложном взаимодействии между тремя вещами в биткойне. Что это за три вещи?
Читать дальше →
Total votes 19: ↑12 and ↓7 +5
Views11.5K
Comments 45

Парадокс Симпсона и немного Pandas

PythonMathematics

О чем статья?


В этой статье я хочу рассмотреть один из наиболее известных примеров парадокса Симпсона, попутно немного рассказав о MultiIndex в Pandas.
Обо всем по порядку.

Парадокс Симпсона — контринтуитивное явление в Статистике, когда мы видим в каждой из групп данных определенную зависимость, но при объеденении этих групп зависимость исчезает или становится противоположной. Например, если смотреть изменение среднего заработка женщин 25 лет и старше, работающих полный день, между 2000 и 2012 годами с различным уровнем образования, то мы получим следующие цифры (все расчеты проводились с поправкой на инфляцию):

  • Less than 9th grade -3.7%
  • 9th-12th but didn’t finish -6.7%
  • High school graduate -3.3%
  • Some college but no degree -3.7%
  • Associate’s degree -10.0%
  • Bachelor’s degree or more -2.7%

По этим цифрам можно сделать вывод, что заработок женщин за 12 лет снизился. Однако, на самом деле, средний заработок женщин с полной занятостью вырос на 2.8% (подробнее про этот пример можно почитать тут).

Одним из наиболее известных примеров парадокса Симпсона является случай половой дискриминации при поступлении в Калифорнийский унивеситет Berkeley. Его и будем рассматривать далее.
Читать дальше →
Total votes 49: ↑46 and ↓3 +43
Views27.8K
Comments 7

Проблемы эгоистов: дорожные пробки и парадокс Браеса

System Analysis and DesignMathematics
Translation

Строительство более широких дорог может ухудшить ситуацию с дорожным движением. Обычно этот контринтуитивный и контрпродуктивный результат объясняют следующим образом: чем больше дороги, тем более крупные торговые центры они привлекают, что в свою очередь привлекает больше автомобилей. Но это ещё не вся история. В 1960-х Дитрих Браес обнаружил теоретическую конфигурацию дорог, в которой строительство новой соединительной дороги может замедлить движение каждого, даже если количество машин остаётся постоянным. И наоборот, закрытие одной дороги в сети Браеса позволит всем добираться домой быстрее. Такое явление настолько странно, что заслуживает собственного определения — «Парадокс Браеса».

Несколько лет назад Джоел Коэн сказал мне, что парадокс Браеса может стать хорошей темой для моей колонки в «Computing Science». Я засомневался. Опубликовано уже немало обсуждений этого парадокса, в том числе потрясающие статьи самого Коэна, а также книга Тима Рафгардена (обзор которой я написал для American Scientist). Я не считал, что смогу добавить что-то новое к дискуссии.

Однако недавно я начал рассматривать задачу визуализации парадокса Браеса — представлении его таким образом, чтобы мы могли наблюдать отдельные автомобили, едущие через дорожную сеть, а не просто вычислять средние скорости и время в пути. Возможность поэкспериментировать с моделью — понажимать рычаги и кнопки, попробовать разные алгоритмы маршрутизации — может привести к более чёткому пониманию того, почему хорошо информированные и имеющие собственный интерес водители могут выбирать маршрут, который в результате тормозит всех.
Читать дальше →
Total votes 85: ↑85 and ↓0 +85
Views78.8K
Comments 711

Пользователи не рады изменению алгоритма показа обновлений в Инстаграм

Professional literatureCopyrightSocial networks and communities
Вчера в официальном блоге Инстаграм сообщил о новом алгоритме выдачи обновлений в ленте. Теперь пользователи увидят фотографии не по дате публикации, а в соответствии с предпочтениями.



Читать дальше →
Total votes 17: ↑14 and ↓3 +11
Views11.8K
Comments 39

Кто спасёт теорию относительности?

Physics
Recovery mode


В статье речь пойдёт о втором постулате специальной теории относительности (СТО):
«Скорость света в вакууме одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга»
Оказывается, этот постулат можно опровергнуть.
Читать дальше →
Total votes 57: ↑2 and ↓55 -53
Views14.3K
Comments 97

Логична ли математика или почему парадоксальны аксиоматические теории

Entertaining tasksMathematicsPopular scienceLogic games
Sandbox
image

Сегодня мы поговорим об основах. Теоретические основы задают пределы возможного и показывают пути достижения целей, а потому глубина понимания в таких вопросах никогда не будет лишней.

Все основы мы осветить не сможем, поэтому пока направим свой просветительский луч на занимательные задачки, называемые парадоксами. По ходу освещения темы мы постепенно углубимся в недра подхода, называемого логикой, а затем обратим внимание на связи логики и математики, после чего наши читатели смогут легко разобраться не только в причинах полезности логики при выводе аксиоматических теорий, но и зачем вообще аксиоматические теории нужны, а так же поймут как не надо подходить к строительству непротиворечивых теорий.
Читать дальше →
Total votes 32: ↑25 and ↓7 +18
Views15.8K
Comments 261

Сознание и существование. Квантовая механика без парадоксов

Popular sciencePhysicsBrainQuantum technologies

Является ли эксперимент с котом Шредингера парадоксом?


Профессор поднял голову от стола и говорит:

– Здравствуй, мальчик. Ты зачем пришёл?

– Я хочу у вас про кота спросить.

– А что про кота?

– Допустим, у вас был кот …

Эдуард Успенский «Дядя Фёдор, пёс и кот»

Квантовая суперпозиция и роль наблюдателя в квантовой физике


Согласно квантовой механике если над частицей не производится наблюдение, то ее состояние описывается как квантовая суперпозиция (когерентная суперпозиция), т.е. смешение всех возможных альтернативных состояний в которых может находится частица.


Например, ядро атома за которым не производится наблюдение

Читать дальше →
Total votes 31: ↑9 and ↓22 -13
Views16.7K
Comments 52

Обратный парадокс Банаха-Тарского или как сократить хранимый объем данных в пять раз

Big DataMathematicsPhysics
Sandbox
Recovery mode

Сразу хочу пояснить что речь идет о теоретической модели позволяющей сократить объем хранимой информации в 5 раз, а не о ее практическом применении.


Введение


Восемь месяцев назад бродил я на просторах интернета в поисках вдохновения. Сам я инженер по первому образованию, но занимаюсь в целом развитием стартапов, менторством, коучингом, консалтингом и все в этом духе. Поэтому я стараюсь следить за трендами, новыми идеями (как говориться все новое, это хорошо забытое старое) и находя какую либо информацию, всегда стараюсь задать себе вопрос: "как это можно применить на практике?". Так вот, наткнулся я на статью, честно признать я больше из лагеря физиков, чем математиков, поэтому понял примерно 10%, но суть уловил что 1=2 и так далее в прогрессии, причем это не бред сумасшедшего, а реальная математическая выкладка.
Стало интересно. image


Суть парадокса Банаха-Тарского в легком изложении


Я читал много статей, полкниги прочел, смотрел ряд видео, вот это легче и наглядней всего объясняет суть.


Говоря простым языком можно взять любое трехмерное тело, разделить его на части (точнее на 5 частей), а потом из них собрать обратно 2 тела причем абсолютно по структуре, размеру, форме, объему и всем другим параметрам равные не только друг другу, но и первоначальному телу.

Читать дальше →
Total votes 40: ↑2 and ↓38 -36
Views5.5K
Comments 22

Теории вероятностей: готовимся к собеседованию и разрешаем «парадоксы»

Образовательные проекты JetBrains corporate blogMathematicsStudying in IT

Каждый год я участвую примерно в сотне собеседований в образовательных проектах JetBrains: собеседую абитуриентов в Computer Science Center и корпоративную магистратуру ИТМО (кстати, набор на программу идёт прямо сейчас). Все собеседования устроены по одному шаблону: мы просим на месте порешать задачи и задаём базовые вопросы по дисциплинам, которые студенты изучали в университетах. Большинство вопросов, которые мы задаём, довольно простые — нужно дать определение некоторого понятия, сформулировать свойство или теорему. К сожалению, у значительной доли студентов все эти определения выветриваются сразу после экзаменов в университетах. Казалось бы, что тут удивительного? В современном мире любое определение можно за пару секунд нагуглить, если это нужно. Но невозможность восстановить базовое определение свидетельствует о непонимании сути предмета.

Если непонимание алгебры или математического анализа может мало влиять на вашу жизнь, то непонимание теории вероятностей делает из вас лёгкую мишень для обмана и манипулирования. Суждения о вероятностях различных событий настолько глубоко вошли в нашу повседневную жизнь, что умение правильно рассуждать и отличать правду от невежества или манипуляции является необходимым. В этом небольшом обзоре мы поговорим о базовых понятиях теории вероятностей, научимся правильно формулировать утверждения про простые случайные процессы и разберём несколько парадоксов. Часть материала позаимствована из брошюры А. Шеня «Вероятность: примеры и задачи», которую я очень рекомендую для самостоятельного изучения.
Читать дальше →
Total votes 23: ↑20 and ↓3 +17
Views14.7K
Comments 100

СТО как отражение философского невежества

Lumber room
Recovery mode
Виктор Кулигин, Мария Корнева

Аннотация. В статье дан расширенный анализ философских категорий «явление и сущность». Выведено «ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО», позволяющее быстро разграничивать эти категории в научных теориях. Правило позволило проанализировать парадоксы СТО и показать ошибку Эйнштейна при формулировке теории относительности. Эйнштейн, как и большинство физиков, постоянно путал явление и сущность и, как результат, получил ошибочные (парадоксальные) выводы.

1. Введение (о «философиях»)


Физики, как хорошо известно, давно не уважают философию. Академик Ландау считал: «Где начинается философия, там кончается наука!». Обучаясь в ВУЗе «философии» мы полностью разделяли этот афоризм Ландау.

Это естественно, поскольку современная философия не дала науке ничего, кроме ошибок и путаницы. Философских школ и направлений существует множество.

  • Это «измы»: идеализм, материализм, позитивизм и др.;
  • это «логии»: онтология, феноменология и т.д.

Необходимо время, чтобы во всем этом разобраться. Мы поступим проще. Очевидно, что не любая система философских направлений и знаний является научной. Отсюда вопрос: какую философскую систему следует признать «научной», а какие отнести к типичным спекулятивным или схоластическим направлениям?
Читать дальше →
Total votes 56: ↑0 and ↓56 -56
Views4.8K
Comments 63

Гипотеза о самозатухании парадоксов путешествий во времени

Lumber room

Гипотеза: парадоксы путешествий во времени возможны, но (по моему скромному мнению) сами себя исчерпают неким сглаживанием в новую реальность, которая, в свою очередь, пойдёт линейно во времени. Другими словами самоподдерживающийся вечно парадокс путешествия во времени невозможен.

Читать далее
Total votes 13: ↑0 and ↓13 -13
Views4.8K
Comments 13

Как избежать «парадокса убитого дедушки» или Квантовая механика решает загадки путешествия во времени

SkillFactory corporate blogReading roomPopular sciencePhysics
Translation

Путешествия во времени давно стали основным жанром фильмов, романов и телевизионных шоу, которые служили всем: от заднего плана до подростковых весёлых комедий, таких как «Назад в будущее», и вдумчивого созерцания в новелле Рэя Брэдбери «И грянул гром». Часто эти истории сосредотачиваются вокруг одного аспекта путешествия во времени – возможных последствий того, что путешественник во времени поменяет прошлые события, в результате чего по возвращении в будущее произойдёт кошмарный сценарий, влияя на способность вообще путешествовать в прошлое.

Эта дилемма, известная как «парадокс убитого дедушки», отражает главное возражение философов и физиков против путешествий во времени – возможное нарушение причинности. В то время как само путешествие во времени остаётся в области чистой спекуляции, возможные результаты нарушения принципа причинности и то, как природа может предотвратить их, являются горячо обсуждаемыми темами, с  такими известными физиками и философами, как Стивен Хокинг и Кип Торн, размышляющими о возможных решениях. Возможно ли, что «многомировая» интерпретация квантовой механики может спасти несчастного (и неуклюжего) путешественника во времени?

Приятного чтения!
Total votes 19: ↑15 and ↓4 +11
Views11.2K
Comments 30