Pull to refresh
  • by relevance
  • by date
  • by rating

Декартово дерево: Часть 1. Описание, операции, применения

Algorithms

Оглавление (на данный момент)


Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Декартово дерево (cartesian tree, treap) — красивая и легко реализующаяся структура данных, которая с минимальными усилиями позволит вам производить многие скоростные операции над массивами ваших данных. Что характерно, на Хабрахабре единственное его упоминание я нашел в обзорном посте многоуважаемого winger, но тогда продолжение тому циклу так и не последовало. Обидно, кстати.

Я постараюсь покрыть все, что мне известно по теме — несмотря на то, что известно мне сравнительно не так уж много, материала вполне хватит поста на два, а то и на три. Все алгоритмы иллюстрируются исходниками на C# (а так как я любитель функционального программирования, то где-нибудь в послесловии речь зайдет и о F# — но это читать не обязательно :). Итак, приступим.

Введение


В качестве введения рекомендую прочесть пост про двоичные деревья поиска того же winger, поскольку без понимания того, что такое дерево, дерево поиска, а так же без знания оценок сложности алгоритма многое из материала данной статьи останется для вас китайской грамотой. Обидно, правда?

Следующий пункт нашей обязательной программы — куча (heap). Думаю, также многим известная структура данных, однако краткий обзор я все же приведу.
Представьте себе двоичное дерево с какими-то данными (ключами) в вершинах. И для каждой вершины мы в обязательном порядке требуем следующее: ее ключ строго больше, чем ключи ее непосредственных сыновей. Вот небольшой пример корректной кучи:


На заметку сразу скажу, что совершенно не обязательно думать про кучу исключительно как структуру, у которой родитель больше, чем его потомки. Никто не запрещает взять противоположный вариант и считать, что родитель меньше потомков — главное, выберите что-то одно для всего дерева. Для нужд этой статьи гораздо удобнее будет использовать вариант со знаком «больше».

Сейчас за кадром остается вопрос, каким образом в кучу можно добавлять и удалять из нее элементы. Во-первых, эти алгоритмы требуют отдельного места на осмотр, а во-вторых, нам они все равно не понадобятся.
А теперь собственно про декартово дерево
Total votes 166: ↑161 and ↓5 +156
Views121.7K
Comments 30

Декартово дерево: Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней

Algorithms

Оглавление (на данный момент)


Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Тема сегодняшней лекции


В прошлый раз мы с вами познакомились — скажем прямо, очень обширно познакомились — с понятием декартового дерева и основным его функционалом. Только до сих мы с вами использовали его одним-единственным образом: как «квази-сбалансированное» дерево поиска. То есть пускай нам дан массив ключей, добавим к ним случайно сгенерированные приоритеты, и получим дерево, в котором каждый ключ можно искать, добавлять и удалять за логарифмическое время и минимум усилий. Звучит неплохо, но мало.

К счастью (или к сожалению?), реальная жизнь такими пустяковыми задачами не ограничивается. О чем сегодня и пойдет речь. Первый вопрос на повестке дня — это так называемая K-я порядковая статистика, или индекс в дереве, которая плавно подведет нас к хранению пользовательской информации в вершинах, и наконец — к бесчисленному множеству манипуляций, которые с этой информацией может потребоваться выполнять. Поехали.

Ищем индекс


В математике, K-я порядковая статистика — это случайная величина, которая соответствует K-му по величине элементу случайной выборки из вероятностного пространства. Слишком умно. Вернемся к дереву: в каждый момент времени у нас есть декартово дерево, которое с момента его начального построения могло уже значительно измениться. От нас требуется очень быстро находить в этом дереве K-й по порядку возрастания ключ — фактически, если представить наше дерево как постоянно поддерживающийся отсортированным массив, то это просто доступ к элементу под индексом K. На первый взгляд не очень понятно, как это организовать: ключей-то у нас в дереве N, и раскиданы они по структуре как попало.

Решение и вся статья - под катом
Total votes 76: ↑72 and ↓4 +68
Views32.5K
Comments 14

Декартово дерево: Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу

Algorithms

Оглавление (на данный момент)


Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Очень сильное колдунство


После всей кучи возможностей, которые нам предоставило декартово дерево в предыдущих двух частях, сегодня я совершу с ним нечто странное и кощунственное. Тем не менее, это действие позволит рассматривать дерево в совершенно новой ипостаси — как некий усовершенствованный и мощный массив с дополнительными фичами. Я покажу, как с ним работать, покажу, что все операции с данными из второй части сохраняются и для модифицированного дерева, а потом приведу несколько новых и полезных.

Вспомним-ка еще раз структуру дерамиды. В ней есть ключ x, по которому дерамида есть дерево поиска, случайный ключ y, по которому дерамида есть куча, а также, возможно, какая-то пользовательская информация с (cost). Давайте совершим невозможное и рассмотрим дерамиду… без ключей x. То есть у нас будет дерево, в котором ключа x нет вообще, а ключи y — случайные. Соответственно, зачем оно нужно — вообще непонятно :)

На самом деле расценивать такую структуру стоит как декартово дерево, в котором ключи x все так же где-то имеются, но нам их не сообщили. Однако клянутся, что для них, как полагается, выполняется условие двоичного дерева поиска. Тогда можно представить, что эти неизвестные иксы суть числа от 0 до N-1 и неявно расставить их по структуре дерева:

Получается, что в дереве будто бы не ключи в вершинах проставлены, а сами вершины пронумерованы. Причем пронумерованы в уже знакомом с прошлой части порядке in-order обхода. Дерево с четко пронумерованными вершинами можно рассматривать как массив, в котором индекс — это тот самый неявный ключ, а содержимое — пользовательская информация c. Игреки нужны только для балансировки, это внутренние детали структуры данных, ненужные пользователю. Иксов на самом деле нет в принципе, их хранить не нужно.

В отличие от прошлой части, этот массив не приобретает автоматически никаких свойств, вроде отсортированности. Ведь на информацию-то у нас нет никаких структурных ограничений, и она может храниться в вершинах как попало.
Если интересно - под кат
Total votes 81: ↑77 and ↓4 +73
Views43.8K
Comments 17