Comments 50
О, не знал, что может быть такое практическое применение, но d^2 = 0 меня сильно смущает.
P.S.: Мне кажется или дейстивительно здесь ошибка:
df(a: double): double
{
f(Dual(a,1)).Imaginary
}
P.S.: Мне кажется или дейстивительно здесь ошибка:
df(a: double): double
{
f(Dual(a,1)).Imaginary
}
В чем, это Nemerle, а в нем new при вызове конструктора не указывается, return не пишется. Так что все ОК. Или ошибка в семантике?
До этого я вроде дошёл. «Похоже мне кажется». Просто с непривычке, трудно проследить ход вычислений. Распишите, пожалуйста, подробней.
Начал разбираться. Насколько хорошо здесь работает оптимизация?
Ну всё, дошёл. Можно ещё один глупый вопрос? Сколько будет d^3?
d*d*d = (d*d)*d = d*(d*d) = d * 0 = 0
Как эмпирический метод это конечно круто.
Но к комплексным числам это не имеет никакого отношения, даже по аналоги. Чисел (действительных) являющихся решением уравнения x^2 + 1 = 0 не существует, мы вводим «другие» числа, в которых оно имеет решение. Действительные и мнимые числа нигде не порождают противоречий, поэтому их можно использовать «совместно». Уравнение x^2 = 0 имеет решение в действительных числах x=0, при введении «дуальных» чисел оно имеет решение и в них x=d.
В коде, по-моему, (в том числе и для C++) видно, что нигде не применяется условие d^=0. «Просто» эмулируются символьные вычисления, т.е. не производится «умножение/сложение» на d, до этапа вычисление второго коэффициента в разложении Тейлора, т.е. первой производной, остальные просто игнорируются. И похоже у функциональных языков здесь явное преимущество именно в предварительной оптимизации, и как мне кажется, в данном случае, отсечение/сокрашение лишних вычислений (шаблоны в C++ в таком применении выглядят как костыль).
Аналогичным методом можно ввести (n+1)-арные (раз эти дуальные) числа, т.е. не вычислять d, d^2, d^3,...,d^n, и соответственно получить n-ю производную (учитывая конечно дополнительные множители в коэффициентах).
Но к комплексным числам это не имеет никакого отношения, даже по аналоги. Чисел (действительных) являющихся решением уравнения x^2 + 1 = 0 не существует, мы вводим «другие» числа, в которых оно имеет решение. Действительные и мнимые числа нигде не порождают противоречий, поэтому их можно использовать «совместно». Уравнение x^2 = 0 имеет решение в действительных числах x=0, при введении «дуальных» чисел оно имеет решение и в них x=d.
В коде, по-моему, (в том числе и для C++) видно, что нигде не применяется условие d^=0. «Просто» эмулируются символьные вычисления, т.е. не производится «умножение/сложение» на d, до этапа вычисление второго коэффициента в разложении Тейлора, т.е. первой производной, остальные просто игнорируются. И похоже у функциональных языков здесь явное преимущество именно в предварительной оптимизации, и как мне кажется, в данном случае, отсечение/сокрашение лишних вычислений (шаблоны в C++ в таком применении выглядят как костыль).
Аналогичным методом можно ввести (n+1)-арные (раз эти дуальные) числа, т.е. не вычислять d, d^2, d^3,...,d^n, и соответственно получить n-ю производную (учитывая конечно дополнительные множители в коэффициентах).
Дополнение к предыдущему моему комменту.
n-арное число в данном рассмотрении по сути и есть набор коэффициентов разложения Тейлора. Т. е. коэффициентов при d^0, d^1, (1/2)*d^2, (1/6)*d^3,...,(1/(n!)*d^n.
Для константы a это будет: (a,0,0,...,0).
Для x: (x,1,0,0,...,0).
Для x^2: (x^2,2*x,2,0,0,...).
Для sin(x): (sin(x), cos(x),-sin(x),...).
И т.д.
По-моему, так и работают системы символьных вычислений.
В данном посте рассматриваются два первых коэффициента. И применяется «рекурсивное» вычисление n-ой производной. (А введение d^2=0, по-моему бред сивой кобылы).
В общем, спасибо за наводку, поразмышляю над этим на досуге.
n-арное число в данном рассмотрении по сути и есть набор коэффициентов разложения Тейлора. Т. е. коэффициентов при d^0, d^1, (1/2)*d^2, (1/6)*d^3,...,(1/(n!)*d^n.
Для константы a это будет: (a,0,0,...,0).
Для x: (x,1,0,0,...,0).
Для x^2: (x^2,2*x,2,0,0,...).
Для sin(x): (sin(x), cos(x),-sin(x),...).
И т.д.
По-моему, так и работают системы символьных вычислений.
В данном посте рассматриваются два первых коэффициента. И применяется «рекурсивное» вычисление n-ой производной. (А введение d^2=0, по-моему бред сивой кобылы).
В общем, спасибо за наводку, поразмышляю над этим на досуге.
Спасибо за освещение хорошего подхода. Хотя конечно не очень приятно объявлять функцию с аргументами класса Dual, вариант с шаблонами в C++ мне больше понравился.
Если вы преобразуете ваш результат «сокращения» ряда Тейлора, то увидите, что вы получили ту же самую формулу f'(x) ~ (f(x + d) — f(x)) / d, которую вы посчитали недостаточно точной.
конечно, так и есть. но здесь отсутствует собственно деление на d и вычисление разности двух значений ф-ции(кстати череватое ошибками машинной точности). Здесь получается идеальный случай d->0
Вы взяли этот d за единицу. Приглядитесь к формулам — вычисление производной будет формулой f(x + 1) = f(x) + f'(x).
Ещё — вы не можете пользоваться вашей мнимой единицей в поле комплексных чисел, которое расширение чисел действительных. Потому что там нет делителей нуля. А если пользуетесь, то там вообще полматана не определено и дифференцирование неизвестно что даст.
Ещё — вы не можете пользоваться вашей мнимой единицей в поле комплексных чисел, которое расширение чисел действительных. Потому что там нет делителей нуля. А если пользуетесь, то там вообще полматана не определено и дифференцирование неизвестно что даст.
Вообще, точного численного дифференцирования не существует в данный момент. Однако есть множество методов приблеженного вычисления производных достаточно высоких порядков с хорошей точностью.
где Вы увидели что d=0? Если это про запись f(Dual(a,1)) то здесь имеется ввиду a+1*d. И где речь шла о комплексных числах? Про доказуемость дифференцируемости спорить не буду, тут нужно думать и смотреть. Может автор топика подскажет что нибудь
В этих формулах d это не переменная, а значение; так же как и i в комплексном случае, поэтому вместо него брать 1 некорректно, то есть тождество f(x + 1) = f(x) + f'(x) не выполняется.
В этих дуальных чисел не вводится дифференцирование, обыкновенные функции расширяются на дуальные за счет представления их в ряде тейлора. Делителя нуля нет и в обычных числах, но это не мешает рассматривать их как подмножества дуальных, ничто не мешает так же поступить и в случае комплексных.
В этих дуальных чисел не вводится дифференцирование, обыкновенные функции расширяются на дуальные за счет представления их в ряде тейлора. Делителя нуля нет и в обычных числах, но это не мешает рассматривать их как подмножества дуальных, ничто не мешает так же поступить и в случае комплексных.
Есть блог "Алгоритмы<a/>"
Как эмпирический метод это конечно круто.
Но к комплексным числам это не имеет никакого отношения, даже по аналоги. Чисел (действительных) являющихся решением уравнения x^2 + 1 = 0 не существует, мы вводим «другие» числа, в которых оно имеет решение. Действительные и мнимые числа нигде не порождают противоречий, поэтому их можно использовать «совместно». Уравнение x^2 = 0 имеет решение в действительных числах x=0, при введении «дуальных» чисел оно имеет решение и в них x=d.
В коде, по-моему, (в том числе и для C++) видно, что нигде не применяется условие d^=0. «Просто» эмулируются символьные вычисления, т.е. не производится «умножение/сложение» на d, до этапа вычисление второго коэффициента в разложении Тейлора, т.е. первой производной, остальные просто игнорируются. И похоже у функциональных языков здесь явное преимущество именно в предварительной оптимизации, и как мне кажется, в данном случае, отсечение/сокращение лишних вычислений (шаблоны в C++ в таком применении выглядят как костыль).
Аналогичным методом можно ввести (n+1)-арные (раз эти дуальные) числа, т.е. не вычислять d, d^2, d^3,...,d^n, и соответственно получить n-ю производную (учитывая конечно дополнительные множители в коэффициентах).
n-арное число в данном рассмотрении по сути и есть набор коэффициентов разложения Тейлора. Т. е. коэффициентов при d^0, d^1, (1/2)*d^2, (1/6)*d^3,...,(1/(n!)*d^n.
Для константы a это будет: (a,0,0,...,0).
Для x: (x,1,0,0,...,0).
Для x^2: (x^2,2*x,2,0,0,...).
Для sin(x): (sin(x), cos(x),-sin(x),...).
И т.д.
По-моему, так и работают системы символьных вычислений.
В данном посте рассматриваются два первых коэффициента. И применяется «рекурсивное» вычисление n-ой производной. (А введение d^2=0, по-моему бред сивой кобылы).
В общем, спасибо за наводку, поразмышляю над этим на досуге.
Но к комплексным числам это не имеет никакого отношения, даже по аналоги. Чисел (действительных) являющихся решением уравнения x^2 + 1 = 0 не существует, мы вводим «другие» числа, в которых оно имеет решение. Действительные и мнимые числа нигде не порождают противоречий, поэтому их можно использовать «совместно». Уравнение x^2 = 0 имеет решение в действительных числах x=0, при введении «дуальных» чисел оно имеет решение и в них x=d.
В коде, по-моему, (в том числе и для C++) видно, что нигде не применяется условие d^=0. «Просто» эмулируются символьные вычисления, т.е. не производится «умножение/сложение» на d, до этапа вычисление второго коэффициента в разложении Тейлора, т.е. первой производной, остальные просто игнорируются. И похоже у функциональных языков здесь явное преимущество именно в предварительной оптимизации, и как мне кажется, в данном случае, отсечение/сокращение лишних вычислений (шаблоны в C++ в таком применении выглядят как костыль).
Аналогичным методом можно ввести (n+1)-арные (раз эти дуальные) числа, т.е. не вычислять d, d^2, d^3,...,d^n, и соответственно получить n-ю производную (учитывая конечно дополнительные множители в коэффициентах).
n-арное число в данном рассмотрении по сути и есть набор коэффициентов разложения Тейлора. Т. е. коэффициентов при d^0, d^1, (1/2)*d^2, (1/6)*d^3,...,(1/(n!)*d^n.
Для константы a это будет: (a,0,0,...,0).
Для x: (x,1,0,0,...,0).
Для x^2: (x^2,2*x,2,0,0,...).
Для sin(x): (sin(x), cos(x),-sin(x),...).
И т.д.
По-моему, так и работают системы символьных вычислений.
В данном посте рассматриваются два первых коэффициента. И применяется «рекурсивное» вычисление n-ой производной. (А введение d^2=0, по-моему бред сивой кобылы).
В общем, спасибо за наводку, поразмышляю над этим на досуге.
В коде это условие использовалось для определения умножения и деления dual-чисел, кроме того, оно использовалось для доказательства формулы. К комплексным числам эти числа относиться тем, что они тоже являются расширением действительных чисел. Если посмотреть на их реализацию, то условие i2=-1 используется точно там же. Мне подход с расширением действительных чисел нравиться больше так, как мне в универе больше нравилась алгебра, чем матан.
Но если отталкиваться от кода, то можно действительно заметить, что это он является частной оптимизацией работы с рядом тейлора, когда нас интересует только первый порядок малости.
Но если отталкиваться от кода, то можно действительно заметить, что это он является частной оптимизацией работы с рядом тейлора, когда нас интересует только первый порядок малости.
Я упёртый и настайваю на своём.
И i^2 = -1, i^3=-i и можно «считать дальше», а d^2=0, d^3=0,...,d^n=0 и «облом дальше», вот.
И i^2 = -1, i^3=-i и можно «считать дальше», а d^2=0, d^3=0,...,d^n=0 и «облом дальше», вот.
Это разные точки зрения на один и тот же код.
В чем облом?
В чем облом?
В том что это эмпирический метод, который срабатывает только для первой производной и всё. Его нельзя использовать для вычисления, например, второй производной по формуле f(x+d) = f(x) + f'(x)*d + f''(x)*(1/2)*d^2, нежно считать d^2 «невычислимой», а у вас d^2=0. Ни проще ли использовать общий метод с набором коэффициентов, а не вводить для вычисления n-ой производной n разных мегачисел.
Т.е. по аналогии с комплексными числами, кватернионами и т.д. Ввести числа компоненты которых будут соответствующими коэффициентами разложения Тейлора (Как в моем комменте выше). И определить для них операции (как в посте). При реализации используем свойство/определение производных f(n)(x) = (f(n-1)(x))', и реализуем операции для первой производной, а остальные определяем через неё рекурсивно. Т.е. так как у вас и сделано, но без эмпирических примочек, которые в общем неверны.
Т.е. по аналогии с комплексными числами, кватернионами и т.д. Ввести числа компоненты которых будут соответствующими коэффициентами разложения Тейлора (Как в моем комменте выше). И определить для них операции (как в посте). При реализации используем свойство/определение производных f(n)(x) = (f(n-1)(x))', и реализуем операции для первой производной, а остальные определяем через неё рекурсивно. Т.е. так как у вас и сделано, но без эмпирических примочек, которые в общем неверны.
В коде используются соответствующие формулы дифференцирования относительно умножения и деления, по-моему, это очевидно и доказывать нечего.
И меня смущает деление, не проще ли написать:
Dual(a.real/b.real, ((a.imaginary*b.real)-(b.imaginary*a.real))/(b.real*b.real)).
И меня смущает деление, не проще ли написать:
Dual(a.real/b.real, ((a.imaginary*b.real)-(b.imaginary*a.real))/(b.real*b.real)).
Это проще, если отталкиваться от того, что этот код оптимизация работы с рядом (ваша точка зрения). Я его писал как реализацию кольца действительных чисел дополненных d. В этом случае:
a/b определяется как a*b-1, где b*b-1=1, для этого я решил уравнение (a+b*d)(x+y*d)=1 относительно x и y, и получил, что x=1/a; y=-b/(a*a) поэтому там такой код.Ну всё, сдаюсь :) Я впервые анализировал код на Nemerle, это маленькое достижение.
А как с оптимизацией. Вот напишу я:
f(a: Dual): Dual { a*a+3.0/a }
f(a: double): double { f(Dual(a,0)).Real }
df(a: double): double { f(Dual(a,1)).Imaginary }
он мне при компиляции сократит до df(a: double): double { 2*a-3.0/(a^2) }?
А как с оптимизацией. Вот напишу я:
f(a: Dual): Dual { a*a+3.0/a }
f(a: double): double { f(Dual(a,0)).Real }
df(a: double): double { f(Dual(a,1)).Imaginary }
он мне при компиляции сократит до df(a: double): double { 2*a-3.0/(a^2) }?
Поздравляю.
Сомневаюсь, что это сократит компилятор, но вполне вероятно, что это сделает JIT, если Dual пометить как sealed. Знаю точно, что Nemerle оптимизирует хвостовую рекурсию локальных функций (объявленных внутри метода).
Сомневаюсь, что это сократит компилятор, но вполне вероятно, что это сделает JIT, если Dual пометить как sealed. Знаю точно, что Nemerle оптимизирует хвостовую рекурсию локальных функций (объявленных внутри метода).
А если ввести бесконечно малое число d, и далее как у вас. Результат будет тот же, так?
Видимо это моя проблема, но ух как мне не нравится эта nilpotent-ность при дифференцировании. Лучше вводить «бесконечно малое число».
И да, и нет. Отбрасывание бесконечномалой порядка k очень похоже на то, что она является нильпотентной порядка k, но в первом случае мы оперируем бесконечным рядом и пределами, а во втором вполне конкретной алгебраической структурой.
При введении «бесконечно малого числа», ничего не обнуляется и не отбрасывается, так только с пределами так можно, и то не всегда. Например, как в дискретке с производящими ф., берём соответствующий коэффициент ряда при разложении. А «порядок малости» рассматривается как и для обычных чисел меньших единицы: d^n больше d^(n+1) — и всё. Также получается конкретная алгебраическая структура с прикольным числами z1=x1+y1*d, z2=x1+y1*d^2,… и z1>z2, ну и т.д. Просто чуть другим «языком» получается почти «дословно» матан, что не так круто, как «вообще другая» алгебра, по-моему.
И да, я понял где не догнал.
Здесь вы не правы) можно ввести числа для третьей и тд производных:
вводим d и e:
d^2=2 e
e^2=0
Тогда числа a0+a1*d+a2*e при умножении/сложении обладают теми же алгебраическими свойствами, что и f, f', f''.
вводим d и e:
d^2=2 e
e^2=0
Тогда числа a0+a1*d+a2*e при умножении/сложении обладают теми же алгебраическими свойствами, что и f, f', f''.
Мой мозг пытается сбежать через ухо.
d^3 = 0
разделим на d (он же не равен нулю ;-))
d^2 = 0/d
разделим на d ещё раз
d = 0/d^2
заметим, что d^2 = 0
d = 0/0
чак норрис, я узнал тебя XD
разделим на d (он же не равен нулю ;-))
d^2 = 0/d
разделим на d ещё раз
d = 0/d^2
заметим, что d^2 = 0
d = 0/0
чак норрис, я узнал тебя XD
Подскажите, пожалуйста, а где это может применяться?
Жаль, что так можно дифференцировать только простые функции. Что делать с производными типа х^x или более сложными я не понял :(
(кроме как численные методы использовать)
(кроме как численные методы использовать)
Самый восхитительный метод численного дифферецирования я видел здесь:
Functional Differentiation of Computer Programs
Functional Differentiation of Computer Programs
Спасибо, почитаю вечером подробно. Сейчас, при чтении по диагонали споткнулся об haskell на 6-7 страницах, до этого совпадает с тем, что здесь описано.
Что мне в нём понравилось — благодаря возможности переписывания операторов (особенности языка, конечно) мы можем записывать выражение естественным образом. У Вас это тоже есть. Однако, использовав ленивость by default мы бесплатно получаем целую цепочку производных
и т.д.
Причём реализация этого очень проста:
Например,
x = dVar value
f = x^3
f' = df f
f'' = df f'
и т.д.
Причём реализация этого очень проста:
data Dif a = C a | D a (Dif a) -- второй конструктор содержит выражение (функцию) и производную.
dVar value = D value 1.0 -- маленький кирпичик, из которого всё собирается.
p@(D x x’) * q@(D y y’) = D (x*y)(x’*q+p*y’) -- правило Лейбница
df (D _ p) = p -- "вычисление" производной (форсируем ленивый thunk)
Например,
let x = dVar 3.0 in df (df (x^3)) вернёт нам 18.0
А можно чуть подробней про «Таким образом, что бы узнать значение производной функции f в точке x достаточно взять коэффициент при мнимой части числа f(x+d).»? Как это получилось и что за коэффициент, а то немного не догоняю :)
Главное не показывать Dual «наружу», а использовать только для определения функций.
Для простых действий вы описали производную в правилах арифметических операций над dual-числами.
Для более сложных вам придётся «вбивать» производную в определение функции.
Более того, нельзя называть 'd' «мнимой единицей», так как: 1) имя занято, 2) «мнимая единица» i не меняет модуля комплексного числа. Для дуальных чисел модуль не определён. И, очевидно, (a+b*d) * d = a*d.
Кстати, в wikipedia не говорится, что это разложение в ряд Тэйлора. Там просто раскрывают полином.
Для более сложных вам придётся «вбивать» производную в определение функции.
Более того, нельзя называть 'd' «мнимой единицей», так как: 1) имя занято, 2) «мнимая единица» i не меняет модуля комплексного числа. Для дуальных чисел модуль не определён. И, очевидно, (a+b*d) * d = a*d.
Кстати, в wikipedia не говорится, что это разложение в ряд Тэйлора. Там просто раскрывают полином.
Sign up to leave a comment.
Автоматическое дифференцирование