Comments 89
UFO just landed and posted this here
UFO just landed and posted this here
The constant number pi has an infinite number of decimal places with no recognizable system within the sequence. However, the distribution of the 10 possible digits is quite uniformly balanced – at least within the displayed range from 1 to 1,000,000 positions after the comma. Each digit is represented by a direction from 0° to 360°. For example, each time the 0 arises, a line with a certain fixed length is displayed with the value of 0°. The end of each line is at the same time the start of the line for the following digit; the length of each line remaining constant. The result of the lines is a path; the so called random walk.
The colored areas represent the distribution of the decimal of pi. These always start with 0, but with each succeeding step the values are increased by 10,000. These areas are laid around the most extreme points of the random walk. It can be observe that the lager the displayed range becomes the more round the areas are.
Число Пи имеет бесконечное число знаков после запятой, неузнаваемые системы последовательности. Однако, распределение из 10 возможных цифр довольно равномерно сбалансированным — по крайней мере в рамках отображаются в диапазоне от 1 до 1,000,000 позиций после запятой. Каждая цифра представляет собой направление от 0 ° до 360 °. Например, каждый раз, когда возникает в 0, в соответствии с определенной фиксированной длины отображаются со значением 0 °. В конце каждой строки в то же время с начала работы линии на следующие цифры; длина каждой строке он остается постоянным. В результате этих линий является путь, и так называемые блуждания.
Цветные районов представляют распределения десятичных разрядов ПИ. Они всегда начинаются с 0, но при каждом последующем шаге значения увеличилась на 10,000. Эти направления определены в окрестности самой крайней точки на случайное блуждание. Можно отметить, что лагерь отображаемого спектра становится более круглым районов.
Извиняюсь за гугл-транслейт.
The colored areas represent the distribution of the decimal of pi. These always start with 0, but with each succeeding step the values are increased by 10,000. These areas are laid around the most extreme points of the random walk. It can be observe that the lager the displayed range becomes the more round the areas are.
Число Пи имеет бесконечное число знаков после запятой, неузнаваемые системы последовательности. Однако, распределение из 10 возможных цифр довольно равномерно сбалансированным — по крайней мере в рамках отображаются в диапазоне от 1 до 1,000,000 позиций после запятой. Каждая цифра представляет собой направление от 0 ° до 360 °. Например, каждый раз, когда возникает в 0, в соответствии с определенной фиксированной длины отображаются со значением 0 °. В конце каждой строки в то же время с начала работы линии на следующие цифры; длина каждой строке он остается постоянным. В результате этих линий является путь, и так называемые блуждания.
Цветные районов представляют распределения десятичных разрядов ПИ. Они всегда начинаются с 0, но при каждом последующем шаге значения увеличилась на 10,000. Эти направления определены в окрестности самой крайней точки на случайное блуждание. Можно отметить, что лагерь отображаемого спектра становится более круглым районов.
Извиняюсь за гугл-транслейт.
чем больше диапазон наблюдаемых десятичных разрядов, тем более сбалансированно распределение цифр от 0 до 9
И этим наблюдением гордится выпускник университета?
И этим наблюдением гордится выпускник университета?
Это вопрос риторический?
Где то в тексте есть упоминание о том что это его гордость? Очень похоже на обычную заметку. Хотя я не собираюсь с вами спорить.
Мне просто понравилась идея визуализации.
Где то в тексте есть упоминание о том что это его гордость? Очень похоже на обычную заметку. Хотя я не собираюсь с вами спорить.
Мне просто понравилась идея визуализации.
UFO just landed and posted this here
Никто и не говорит про равномернось. Правда что понимают под сбалансированностью тоже непонятно.
нет, однако показано что в последовательности на отрезке 10^6 цифр примерно равное количество всех цифр (погрешность не указанна)
Уточняющий вопрос: «сбалансированное» в данном контексте является синонимом «равномерное»?
Я бы предположил «нормально». Все-таки более вероятно, что число пи распределяется по гауссовому (читай «нормальному») закону, как и большинство событий в природе.
Если бы цифры были распределены нормально, то пятерок было бы больше, чем остальных цифр (афаик). Так что все-таки равномерно.
Очевидно, что так.
Однако, еще с университета долбят, что гауссово распределение — важнейшее и наиболее часто встречающееся. Почему же тогда такая фундаментальная величина, как цифры в числе пи распределяется равномерно? Непонятно…
Однако, еще с университета долбят, что гауссово распределение — важнейшее и наиболее часто встречающееся. Почему же тогда такая фундаментальная величина, как цифры в числе пи распределяется равномерно? Непонятно…
Просто я вот к чему: если бы цифры при приближении позиции к бесконечности были бы распределены именно неравномерно, а вырисовывалась бы определенная кривая процентного распределения (асимптотично стремящаяся приблизиться к какой-то гипотетически заранее известной кривой распределения), то можно было бы твердо утверждать, что пи — рациональное число. Ведь налицо была бы закономерность, которая исключена фундаментальными свойствами иррациональных чисел.
Но уж коль скоро мы говорим о том, что число пи — иррационально, то из самих свойств (определения) иррациональных чисел можно прогнозировать равномерное распределение цифр в числе. Зачем для этого проводить какие-то исследования?
Я правильно заблуждаюсь?
Но уж коль скоро мы говорим о том, что число пи — иррационально, то из самих свойств (определения) иррациональных чисел можно прогнозировать равномерное распределение цифр в числе. Зачем для этого проводить какие-то исследования?
Я правильно заблуждаюсь?
ЗЫ.… не равномерно, а вырисовывалась бы…
загрузил — уйду думать. Очень похоже на правду, но чувствую подвох =)
а да вот и подвох: еслибы числа были определены именно какой-то функцией, то да вы былибы правы, а так опеределены не сами числа, а огибающая их, тоесть статистическая величина, а значит может существовать класс ирациональных чисел у которых цифры распределены по какому либо вероятностному закону отличному от равномерного.
Поянть так можно: природа вероятных явлений статистична, и не задает порядок она лишь задает отношения чего больше, а чего меньше.
0,101001000100001… — такое число например рационально
а чило где блоки 01 001 0001 00001 будут распределены по нормальному распределению будет ирационально, поскольку вы никогда не сможете предсказать расстояние между 01 скажем между n и m позицией. а вот распределение померить примерно сможете (просто построите график на достаточно большом числе блоков и возмете огибающую)
а да вот и подвох: еслибы числа были определены именно какой-то функцией, то да вы былибы правы, а так опеределены не сами числа, а огибающая их, тоесть статистическая величина, а значит может существовать класс ирациональных чисел у которых цифры распределены по какому либо вероятностному закону отличному от равномерного.
Поянть так можно: природа вероятных явлений статистична, и не задает порядок она лишь задает отношения чего больше, а чего меньше.
0,101001000100001… — такое число например рационально
а чило где блоки 01 001 0001 00001 будут распределены по нормальному распределению будет ирационально, поскольку вы никогда не сможете предсказать расстояние между 01 скажем между n и m позицией. а вот распределение померить примерно сможете (просто построите график на достаточно большом числе блоков и возмете огибающую)
ой пример с первым числом не корректный привел извиняюсь — оба числа ирациональны -)
Извините, но неправда ваша.
Приведенное число вполне себе легко разворачивается в ряд: 0.1+0.001+0.0000001+… =10-1+10-3+10-7=(сумма по n=[0… бесконечность]) членов 10-(2n+1)
Каждый из членов является по определению рациональным числом, т.к. может быть представлен в виде дроби, где числителем является целое число (единица), а знаменателем — натуральное (102n-1). Сумма рациональных чисел является числом рациональным (уверен, вы это знаете и без меня).
Поэтому, как не парадоксально это выглядит, приведенное вами первое число является строго рациональным. Вы с самого начала были правы.
Копнем немного глубже. Что нам позволило сделать такие выводы? Разложение числа в ряд рациональных чисел. Что нам позволило разложить число в ряд? Именно закономерность.
Теперь перейдем ко второму вашему примеру с нормальным распределением блоков. Беда в том, что распределение блоков цифр и самих цифр в числе не имеет между собой взаимосвязи. Проще говоря, нормальное распределение блоков цифр нисколько не гарантирует нормального распределения цифр в числе. Блоков (коль скоро мы говорим о нормальном распределении по Гауссу), может быть строго ограниченное количество (ведь если распределение Гауссово уже задано по условию, то у него неминуемо есть границы). А значит, что какова бы не была длина числа из этих блоков, мы всегда сможем блок в любой бесконечно большой позиции привести к рациональному виду. Даже, как это ни странно, не зная, какой именно блок в позиции находится. Ведь нам не нужно знать само число, — вопрос только в том, рационально оно или нет. Даже если мы заменим блоки на вновь введенные числа (главное, что система счисления позиционная). И даже не важно, что само число содержит бесконечное количество цифр (блоков). Как только в условии вы определили гипотетически заведомо известную кривую распределения (в вашем случае это нормальное распределение), речь идет уже о рациональном числе. Тем паче, если прослеживается закономерность.
Хотя в последнем абзаце я не сильно уверен. Думаю, что гораздо более математики уже подумали за меня над этим :)
Приведенное число вполне себе легко разворачивается в ряд: 0.1+0.001+0.0000001+… =10-1+10-3+10-7=(сумма по n=[0… бесконечность]) членов 10-(2n+1)
Каждый из членов является по определению рациональным числом, т.к. может быть представлен в виде дроби, где числителем является целое число (единица), а знаменателем — натуральное (102n-1). Сумма рациональных чисел является числом рациональным (уверен, вы это знаете и без меня).
Поэтому, как не парадоксально это выглядит, приведенное вами первое число является строго рациональным. Вы с самого начала были правы.
Копнем немного глубже. Что нам позволило сделать такие выводы? Разложение числа в ряд рациональных чисел. Что нам позволило разложить число в ряд? Именно закономерность.
Теперь перейдем ко второму вашему примеру с нормальным распределением блоков. Беда в том, что распределение блоков цифр и самих цифр в числе не имеет между собой взаимосвязи. Проще говоря, нормальное распределение блоков цифр нисколько не гарантирует нормального распределения цифр в числе. Блоков (коль скоро мы говорим о нормальном распределении по Гауссу), может быть строго ограниченное количество (ведь если распределение Гауссово уже задано по условию, то у него неминуемо есть границы). А значит, что какова бы не была длина числа из этих блоков, мы всегда сможем блок в любой бесконечно большой позиции привести к рациональному виду. Даже, как это ни странно, не зная, какой именно блок в позиции находится. Ведь нам не нужно знать само число, — вопрос только в том, рационально оно или нет. Даже если мы заменим блоки на вновь введенные числа (главное, что система счисления позиционная). И даже не важно, что само число содержит бесконечное количество цифр (блоков). Как только в условии вы определили гипотетически заведомо известную кривую распределения (в вашем случае это нормальное распределение), речь идет уже о рациональном числе. Тем паче, если прослеживается закономерность.
Хотя в последнем абзаце я не сильно уверен. Думаю, что гораздо более математики уже подумали за меня над этим :)
Хехе сумма двух дробей тоже представима в виде дроби, а сумма двух трёх дробей в виде суммы двух, но как раз при переходе n в «очень очень много» случается качественный переход и число становится иррациональным, нет?
В смысле ряды это хорошо, но определение иррационального числа не предполагает никаких рядов, просто одну обыкновенную дробь.
В самом деле интересно разобраться, я что-то путаю?
В смысле ряды это хорошо, но определение иррационального числа не предполагает никаких рядов, просто одну обыкновенную дробь.
В самом деле интересно разобраться, я что-то путаю?
Всё верно, вы ничего не путаете. Просто любой ряд мы можем свести в конченом итоге к вполне рациональной дроби (в приведенном выше примере тоже, но я сейчас не готов указать конечный результат).
Нет ряда (то бишь нет закономерности или заранее заданной функции распределения) — всё, пиши пропало. О приведении числа к рациональной дроби в общем случае можно забыть.
Нет ряда (то бишь нет закономерности или заранее заданной функции распределения) — всё, пиши пропало. О приведении числа к рациональной дроби в общем случае можно забыть.
Омг, вы хотя бы Педивикию почитайте:
Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Ключевые слова: непериодическими, бесконечными.
Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Ключевые слова: непериодическими, бесконечными.
Я уже начал сомневаться. Беглый поиск по гуглу этого самого числа «0,101001000100001» даёт кучу ссылок на разные учебники, где на это число ссылаются как на очевидно иррациональное ;)
Число Пи тоже раскладывается в различные ряды из рациональных чисел, что не делает его рациональным.
Занудствую.
developer привёл лишь пять членов, без общей формулы, но судя по ним, имелась ввиду другая последовательность, с общим членом 10-k(k+1)/2
Тут вы пропустили одно очень важное слово «конечная» — т.е. конечная сумма рациональных чисел является рациональным числом.
Рациональность же числа limn→∞ Σk=1..n10-k(k+1)/2 как минимум не очевидна.
членов 10-(2n+1)
developer привёл лишь пять членов, без общей формулы, но судя по ним, имелась ввиду другая последовательность, с общим членом 10-k(k+1)/2
Сумма рациональных чисел является числом рациональным
Тут вы пропустили одно очень важное слово «конечная» — т.е. конечная сумма рациональных чисел является рациональным числом.
Рациональность же числа limn→∞ Σk=1..n10-k(k+1)/2 как минимум не очевидна.
Иррациональные числа не обязаны иметь равномерное распределение цифер в десятичной записи.
И это было бы абсурдно, т.к. зависело бы от основания системы исчисления.
Нет, почему же абсурдно. Да, зависило бы от основания системы, это дало бы повод искать более глубинные зависмости, но вполне могло бы быть.
на фрактал похоже распределение пи
UFO just landed and posted this here
Фрактал по сути объект идеальный, в природе нигде не встречающийся. Собственно одно из основных свойств фракталов — это бесконечная самоподобность. В приведенных картинках этого, на мой взгляд, не наблюдается
как раз естественные объекты и имеет фрактальную природу
ветка подобна дереву
ветка подобна дереву
В том, то и дело, что Вы заблуждаетесь. :) Я до недавнего считал также как и Вы. Дерево подобно фракталу, но ключевео свлово здесь подобно. Дерево как фрактал с математической точки зрения обладает огромным количесво дефектов, нарушений «идеальности». Поэтому если подходить к вопросу с научной точки зрения, то дерево ни в каком виде фракталом не является.
Более того фракталы в природе не смогли обнаружить нигде.
Есть много фрактал-подобных структур, но самоподобность все-таки достаточно экзотическое для реального мира свойство
Более того фракталы в природе не смогли обнаружить нигде.
Есть много фрактал-подобных структур, но самоподобность все-таки достаточно экзотическое для реального мира свойство
А как же цветная капустка?
А она бесконечно самоподобна? :) Сравнение, конечно, оригинальное, мне в голову не приходило, но после некоторого шага размерности фрактальность потеряется ;) Как собственно и с деревом
Ну «бесконечно» — это конечно громко — молекула ведь не фрактальна.
Но если касаться капусты, то достаточно глубоко и красиво самоподобна, при этом я конечно не специалист, но если бы каждому микрокочанчику дали расти и расти, то может быть он внутри себя бесконечно плодил деток — не знаю.
Но если касаться капусты, то достаточно глубоко и красиво самоподобна, при этом я конечно не специалист, но если бы каждому микрокочанчику дали расти и расти, то может быть он внутри себя бесконечно плодил деток — не знаю.
Про «бескончено» — и я о том же. В природе в любом случае мы упираемся в некий физический придел. Например молекула, как Вы предложили.
Фрактал чисто математический объект. Насколько мне известно фракталов в природе так и не нашли. Как я и говорил выше, фрактал-подобные структуры существуют и примеров можно найти массу, но является ли фракталом то что теряет свойства фрактала через несколько шагов размерности?
Фрактал чисто математический объект. Насколько мне известно фракталов в природе так и не нашли. Как я и говорил выше, фрактал-подобные структуры существуют и примеров можно найти массу, но является ли фракталом то что теряет свойства фрактала через несколько шагов размерности?
фракталы бывают не только регулярные типа ковра серпинского (здесь да, симметрия и гарнмония), но также бывают и стохастические здесь fractalworld.xaoc.ru/article/class.html полно примеров
Спасибо за ссылку. В вики, имхо более наглядные примеры.
Про стахостические фракталы надо будет по-подробнее посмотреть
Про стахостические фракталы надо будет по-подробнее посмотреть
Пи — это не случайность а константа.
Последовательность цифр при десятичной форме записи можно назвать псевдослучайными, но ни как уж не случайными.
А если пронормировать, что часто делается на практике, то вообще будет без запятой и без всяких знаков после нее.
Последовательность цифр при десятичной форме записи можно назвать псевдослучайными, но ни как уж не случайными.
А если пронормировать, что часто делается на практике, то вообще будет без запятой и без всяких знаков после нее.
Кстати, реальная случайность, как правило, будет выглядеть некрасиво. Яркий пример — шум на экране телевизора.
А вот псевдослучайности частенько вполне даже красивые при визуализации. Мне вот фракталы нравятся.
А вот псевдослучайности частенько вполне даже красивые при визуализации. Мне вот фракталы нравятся.
А как фракталы связаны со случайностью?
Это смотря как визуализировать. Если значения первых (800 * 600) десятичных знаков числа Пи умножить на (255 / 9) и использовать как значения яркости пикселей для монохромного битмапа, сомневаюсь, что вы там какую-то красоту увидите.
А если случайные значения из того же телевизора брать по три штуки за раз, приводить к диапазону от -1.0 до 1.0, и понимать их как приращение вектора скорости точки движущейся в трёхмерном прострастве, можно получить Wiener process, что для двумерного случая будет похоже на картинку про число Пи из этого поста.
А если случайные значения из того же телевизора брать по три штуки за раз, приводить к диапазону от -1.0 до 1.0, и понимать их как приращение вектора скорости точки движущейся в трёхмерном прострастве, можно получить Wiener process, что для двумерного случая будет похоже на картинку про число Пи из этого поста.
Под случайной последовательностью надо понимать, то, что при идеально случайном генерировании последовательности, состоящей из цифр от 0 до 9, может появиться такая последовательность, как идущая после запятой в числе Пи.
фрактал напоминает.
не пойму только, что необычного в сбалансированности распределение цифр от 0 до 9
это же иррациональное число, взять хотябы простой sqrt(2) будет тоже самое, и тем более как число Пи так sqrt(2) можно представить в виде ряда
это же иррациональное число, взять хотябы простой sqrt(2) будет тоже самое, и тем более как число Пи так sqrt(2) можно представить в виде ряда
Ну, например, число вида 0,10100100010000… тоже иррационально, но очевидно, что в десятичной записи цифры будут распределны неравномерно.
0,10100100010000 НЕ иррационально. Любое наперед заданное число не может быть иррациональным
не иррационально, то есть рационально и значит может быть представлено в виде обыкновенной дроби m/n?
Докажите, представив его в виде дроби m/n, где m и n — целые, n != 0.
Докажите, что таких m и n не существует? :)
Я и не утверждаю, что оно рациональное (или же иррациональное). Это делаете вы. В математике тот, кто высказывает утверждение, и должен его доказывать.
> Это делаете вы.
Не я ;)
> В математике тот, кто высказывает утверждение, и должен его доказывать.
Тогда почему вы не попросили доказательство у Sane?
Не я ;)
> В математике тот, кто высказывает утверждение, и должен его доказывать.
Тогда почему вы не попросили доказательство у Sane?
Если я ничего не путаю, то тут нечего доказывать. После шапочного знакомства с теорией чисел или некоторого рассуждения на тему, становится ясно, что в результате деления одного натурального числа на другое в мантиссе результата рано или поздно (скорее рано) начнутся регулярные повторения. А если мы пишем 0.01001000100001, и так далее, то повторений не намечается.
Мм… например так. Любую обыкновенная дробь можно записать как бесконечную периодическую десятичную дробь (2/5 = 0.4(0)=0.3(9), 1/3=0.(3)). Если этот факт вы не ставите под сомнение, то в записи 0,10100100010000… нельзя выделить период, следовательно, число иррационально. Первое утверждение доказывается разложением дроби m/n в десятичную. Рассказывать долго, но суть сводится к тому, что при последовательном делении числа на n мы можем получить конечное число остатков (0...n-1), следовательно, на каком-то шаге мы получим остаток, который уже получали ранее и попадем в период. Как-то так.
ну например 0.10100100010000 = 10100100010000 / 10^14 :)
а вот что после вашего "..." — вдруг там начнутся тройки и девятки.
а вот что после вашего "..." — вдруг там начнутся тройки и девятки.
Работы свои товарищ Беккер конечно красиво верстает.
Чем больше выборка случайных чисел — тем ближе она к Гаусовому распределению.
первая картинка напомнила глобус/земной шар… а то может и материки наши расплылись в зависимости от пи? :)
никогда не любил математику, но из второй картинки получилась бы симпатичная кафельная плитка
cat /dev/urandom > /dev/dsp
слушайте случайность!
слушайте случайность!
а как считают число Пи? (именно считают, получая последовательность цифр в десятичных розрадях, а не то что собой Пи пердаставляет)
PI = 4 — 4/3 + 4/5 — 4/7 + 4/9 — … — 4/n + 4/(n+2)
Так его считают только на вводных лекциях по матану — уж очень ряд медленно сходится. Есть гораздо более быстрые алгоритмы, подробнее en.wikipedia.org/wiki/Computing_%CF%80
Первая картинка чем то похожа на фаргменты множества Мандельброта
А что значит
«Each digit is represented by a direction from 0° to 360°»?
Т.е. каждой цифре сопоставляется направление от 0° до 360°. например, 0 — 0, 1 — 36, 2 — 72, 3 — 108… ??
Интересно, а если выбирать разные соответствия между ними?
«Each digit is represented by a direction from 0° to 360°»?
Т.е. каждой цифре сопоставляется направление от 0° до 360°. например, 0 — 0, 1 — 36, 2 — 72, 3 — 108… ??
Интересно, а если выбирать разные соответствия между ними?
Некликабельные картинки это капец.
У меня по кр задание: смоделировать простой поток событий ( стационарный, ординарный, не имеет последствий, интервал между последовательными событиями имеет показательное распределение).
Как считаете, лучше визуализировать эту штуку? (мой вариант — прямая с отметками времени)). Подкиньте идею
Как считаете, лучше визуализировать эту штуку? (мой вариант — прямая с отметками времени)). Подкиньте идею
Sign up to leave a comment.
Как выглядит случайность?