Comments 61
Стоит ли ожидать статью о теореме Фалеса с инструкцией по построению прямых углов без транспортира?
What the hell is going on here?!
Представьте, что у вас нет под рукой калькулятора (но есть циркуль и линейка или угольник)… а также есть компьютер ну или хотя бы смартфон, на котором вы читаете эту статью.
Если у вас есть смартфон - математика вам не нужна. Ок ;)
Когда размечаешь фанеру под выпиливание, к компу не набегаешься, а циркуль — в руках.
Ну а в 21 веке придумали такую штуку, как лазерная резка.
Не всякое изделие достойно быть отданным на оутсорс. Многие проще и быстрее выпилить прямо сейчас. Из-за какой-то мелочи тратить время на заказ и его ожидание — так себе удовольствие.
У меня руки существенно более прямые, чем у товарища в "каноническом примере". В большинстве областей применения погрешность ±0,5 мм приемлема. Более точная резка фанеры — это забивание гвоздей микроскопом.
У Вас ложная дихотомия. Как будто, если не лазером, то обязательно на глазок.
Ну а раз вы упомянули свои прямые руки — то и приложили бы что-нибудь на фото для пруфа с описанием сопутствующих геометрических построений, чуть сложнее, чем вычерчивание окружностей циркулем.
выпиливать сферическую колонку вручную
Это справедливо при большом объёме раскроя, кроме того, уверен, что при большом объёме, пресловутые 0,5 мм накопятся и результат будет неприемлем.
Однако, существует широкий класс задач, решаемый циркулем и электролобзиком за полчаса-час. Такие задачи не стоят ни времени, ни денег.
чуть сложнее, чем вычерчивание окружностей циркулем.
Только что выпиливал овал, представляющий собой четыре сопряжённые дуги. Ну нужна мне крышка с формой, близкой к эллипсу, и я нашёл, что построить её циркулем быстрее, чем переносить с распечатки.
Категорически с Вами не согласен. Пресловутый овал — решает возложенные на него задачи: быть гладким, проходить через овальный же люк, крышкой которого служит. Причём, предельно простым способом. А кривые Безье — годятся только для декоративного применения: оценка их геометрических свойств требует численных решений.
Ну уж извините, расписывать всю вводную поленился. Так вышло, что передо мной обычно стоят технические задачи, а не дизайнерские. Привык к некоторым умолчаниям.
Мне был нужен люк, крышка которого боком проходит через него, причём ни люк ни крышка не имеют углов (чтобы не было концентрации напряжения). Эллипс — это идеал такой крышки. Пресловутый овал — допустимое приближение.
Замена кривых на сглаженные ломаные (предельным случаем которых являются сопряжённые дуги) — хорошее техническое решение, облегчающее геометрический анализ и повышающее технологичность.
Класс задач, решаемый циркулем и линейкой, довольно ограничен. Математики прошлого потратили много времени впустую, решая задачи о квадратуре круга, трисекции угла и аналогичные — пока наконец не догадалась, что они попросту не имеет решения. С тех пор поиск доказательств о наличии/отсутствии решения превратился в специальную дисциплину, а сама математика развивалась в сторону увеличения количества решаемых ею задач.
Поэтом столкнувшись с реальной, а не учебной задачей (придуманной и уже решённой другим человеком), и отталкиваясь от своих знаний геометрии — вы рискуете остаться без решения даже в том случае, если это решение существует. И чтобы не быть голословным, приведу один конкретный пример.
Вот тут некто спрашивает о построении параболы, повёрнутой на произвольный угол. И получает ответ, что сделать это классическим образом, через функцию — невозможно. Хотя на самом деле — возможно, и в ответе от 29 апреля даны конкретные формулы для этого, причём их вывод с использованием современных вычислительных средств оказался довольно прозаичным.
Это не единственный случай, когда мне удавалось найти решение, которые другие считали сложным или невозможным. А всё потому, что я не считаю себя математиком — и полагаюсь не на собственные знания, а на накопленные и аккумулированные в системах компьютерной алгебры множеством намного более умных людей. Решать задачи на геометрические построения конечно же нужно — только это уровень 5-класса школы, и в школе же с этими задачами нужно и заканчивать. В противном случае у вас просто не останется времени на все прочие разделы математики — особенно те, которые в стандартном курсе математики не освещаются или освещаются крайне поверхностно.
Интересная идея, наладить выпуск бумажной версии Хабра, например еженедельный журнал. И потом хранить подписку за много много лет, пока внуки не сдадут в мукулатуру в школе.
На плоскости есть отрезок, который мы бы хотели продолжить. Казалось бы, выбрать две точки на отрезке, приложить линейку и прочертить прямую. Но вот незадача: как раз на пути этой прямой посажено жирное пятно кетчупа, а мы линейку пачкать не хотим. Нужно продолжить изначальную прямую за пятном, не прикасаясь к нему линейкой.
Это настоящая задача без подколок. Складывать листочки и хитрить другими подобными способами не требуется.
есть другая задача со звездочкой - разделить угол с помощью циркуля и линейки на 3 части
2. линейку можно использовать как циркуль фиксированного размера
3. на практике можно в третьем измерении прицелиться по отрезку и ткнуть карандашом за пятном — погрешность будет сопоставима с накопленной погрешностью нескольких перекладываний линейки при геометрических построениях
В свою очередь тоже могу предложить задачку чуть сложнее школьного уровня — найти все аналитические действительные корни уравнения
Циркулем и градуированной линейкой пользоваться можно. Системами компьютерной алгебры — тоже.
habr.com/ru/post/556392
Ваше уравнение… Начнём с того, что это уравнение пятой степени. Коэффициенты можно поделить минимум на -13, а то и на -143.
Итак, поделив на -143, и сделав замену y := x^2, скопипастим вот такой код сюда: magma.maths.usyd.edu.au/calc
Z := Rationals(); P := PolynomialRing(Z); f := y^5-15*y^4+42*y^3-30*y^2+5*y-1/11; G, R := GaloisGroup(f); G;
Получим порядок 5 группы Галуа. Все уравнения, дающие группы порядка <60, решаемы. То есть, ваше уравнение можно решить в радикалах. Едем дальше: вполне очевидно, что мы получим пять разных положительных корней. То есть, над проблемой имеет смысл думать.
Дальше мне лень думать прямо сейчас :)Группы Галуа при том, что конкретно это уравнение должно иметь решение в радикалах, что хорошо. Но мне сходу в голову не приходит, какую именно замену переменных сделать, чтобы выделить первый корень (дальше как по маслу пойдёт), я вообще в алгебре полный ноль.
+-tan(3 pi/22)
+-tan(5 pi/22)
+-cot(pi/11)
+-cot(2 pi/11)
Я угадал?
Ну да ладно, будем честными. Я сразу сказал, что я полный нуль в алгебре. Но я же погроммист, записал уравнение пятого порядка, что привёл выше. Затем тупо решил его численно с двойной точностью, спасибо Ньютону за это. Получил пять корней, и стал думать, на что эти корни могут быть похожи. И вручную+программно подобрал функции тангенса. Взял из них плюс-минус корень и вуаля… Разумеется, проверил в пакете символьных вычислений, что каждый из моих ответов действительно даёт ноль вашего многочлена.
Эти ответы можно выразить через комплексные радикалы, но мне лень, они очень громоздки. Как соорудить такое уравнение, я теперь понимаю, но как люди должны его решать, не знаю. Покажите красивое решение, где комплексная окружность не вылезет из шляпы фокусника, а до неё можно нормально догадаться из изначального уравнения?
А догадаться можно было поискав коэффициенты в OEIS.
Хотя, разумеется, я ни разу не горд тем, как получил ответ.
Моё решение вашей задачи таково: используя линейку, из куска бумаги или картона сделать другую, а под пятно кетчупа сделать в ней выемку. Настоящий инженер (да и программист тоже) должен уметь изготавливать вспомогательные инструменты и находить нестандартные решения.
Мне кажется, что здесь надо построить два одинаковых параллелограмма, но я застрял на этапе построения четвёртого угла.
Ну, то есть произвольную точку вне отрезка и "примерно-где-то на перпендикуляре к отрезку над жирным пятном" можно выбрать и построить треугольник, но как построить параллельную прямую, не имея доступа к созданию одинаковых углов — понятия не имею. Полагаю, линейка щербатая, и по ней даже прямой угол не построить. :)
Если бы можно было через кляксу кетчупа провести линию, можно было бы как-нибудь воспользоваться симметрией. Да и то только если клякса точечная и лежит на отрезке.
В общем, читерский брутфорс: продлить отрезок до луча в сторону от кляксы. Затем с другой стороны от луча с кляксой, на бесконечном удалении, начать строить прямую. Если она пересекает луч, стереть и попробовать под другим углом. Повторять, пока построенная прямая перестанет пересекать луч. В принципе, можно строить не на бесконечности, а на "удалении, несоизмеримо большим радиуса кляксы", от этого только точность пострадает. Главное — не найти ещё одну кляксу несоизмеримо большего размера рядом. :)
С помощью теоремы Фалеса аналогично можно перемножать и делить числа
Тема интересная для любителей математики. Автору спасибо. Но надо было начать с экскурса в историю, к тем временам когда геометрию принципиально отделяли от алгебры (скорее противопоставляли) и поэтому доказывалось что все задачи можно было решать с помощью линейки и циркуля.
Надо просто использовать подобие треугольников. Или, что тоже самое, посчитать тангенс равных углов — тангенс угла левого в большом треугольнике = h/a. Тангенс равного угла в меньшем треугольнике b/h. Углы равны, а значит и их тангенсы. h/a = b/h => ab= h^2
Как с помощью циркуля и линейки находить корни, квадраты и обратные величины чисел