Comments 67
Это свойство греческой культуры, ее склонности к созерцательности.
В отличие от культур Египта или Вавилонии греки не так сильно интересовались прикладными аспектами своих исследований. Объекты своих исследований греков интересовали как некоторые совершенные конструкции (круг, сфера и прочее) которые можно вообразить, представить в уме. Грекам было присуща идеализированность размышлений и объектов этих размышлений. Между прочим такая направленность культуры греков вызывала презрение у римлян
Панов В.Ф. Математика древняя и юная
Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика
Ну и многое рассеяно в журнале Квант
kvant.mccme.ru
Также есть немало книг посвященных какой то конкретной теме, например календарю
Климишин И. А. Календарь и хронология
Ну их (таких книг) довольно много, всех то не упомнишь
Автор к сожалению сделал именно то, в чем именно обвинил предшественников.
Но надо признать задачу он себе поставил нелегкую
В определенном интеграле самое важное это вот это актуализированная бесконечность когда искомая площадь (давайте сосредоточимся на том аспекте определенного интеграла как поиск площади), когда строится механизм бесконечного процесса, который при его бесконечности все таки достигает некоей определенности.
Для греков такой процесс казался несколько грязноватым и не соответствующим долженствующей идеальности мира но тем не менее в трудах Евдокса и его последователей этот метод давал результаты
Обратите внимание на элегантное нахождение Кеплером площади круга
стр. 38-39 с из книги Никифирова Путь к интегралу
padabum.com/d.php?id=115663
Вполне интуитивно. Впрочем, когда есть опыт легко говорить.
не проще ли считать интеграл суммой всех значений функции на интервале интегрирования? В принципе это одно из определений интеграла.
Отличие интеграла от суммы как раз в том, что деления на отдельные отсчёты исчезает. Пусть и не через уменьшение количества отсчётов, а через увеличение до бесконечности, но исчезает.
Понимание среднего подсказывает, что все значения, которые выше среднего будут скомпенсированы теми, что ниже среднего. И количество отсчётов не важно. Сразу понятно, что при интегрировании всё непостоянное, колебательное, пропадает. Это облегчает понимание результата и схем его вариации.
При этом, в отличии от простого среднего, относительное количество отсчётов, через указание диапазона, остаётся важным. То есть, понятно почему сохраняется метрика.
да, вы правы по поводу учета каждого значения в сумме в случае конечного деления интервала на дискретные значения. Но так как множество вещественных числе непрерывно, то в принципе поделить интервал интегрирования на какое-то разумное для вычисления количество частей можно сказать что невозможно, так как их бесконечное количество. Поэтому при определении понятия интеграла говорят что количество отрезков стремится к бесконечности (наверное так можно считать, но не уверен), а длина каждого отдельно взятого отрезка стремится к 0 (этот отрезок как раз и называется dx). А интеграл по факту это предел суммы значений функции на каждом из этих отрезков (на самом деле площадь, но так как dx стремится к 0, то в принципе можно говорить о значении функции). В итоге и получается как раз сумма значений функции на интервале интегрирования. https://youtu.be/FnJqaIESC2s?list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr&t=105 вот здесь как раз тоже говорится об этом и именно среднее значение функции и считается. А среднее значение это интеграл поделить на длину интервала. А у вас получается что интеграл это среднее значение без длины интервала, что по факту есть то же. Поэтому мне кажется проще интеграл сразу понимать как сумму значений. Курс кстати неплохой. По линалу там вообще бомба, по остальным в принципе как дополнение к основному материалу подойдет
А интеграл по факту это предел суммы значений функции на каждом из этих отрезков (на самом деле площадь, но так как dx стремится к 0, то в принципе можно говорить о значении функции). В итоге и получается как раз сумма значений функции на интервале интегрирования
нет же. если вы говорите о сумме значений, то при увеличении числа отсчётов вдвое ваша версия интеграла тоже вырастет вдвое
Тема сама по себе интересная, недавно снова повторял курс, но должен сказать, что на мой взгляд в материале нет изюминки. Автор прав, что в современных изданиях часто даются темы без описания их прикладного применения, из-за чего непонятен смысл их изучения.
Но конкретно интегралы это такая тема, которую надо описать или короче, чем у вас, или намного дольше.
Иначе и школьник не поймет, и те, кто знает, ничего нового не откроют
Похоже на тех задание от интроверта программера (или картинки учимся рисовать сову). Начали с человеческого языка… Потом автор устал.
Что мне не понравилось в статье:
- очень много сторонних рассуждений, про то какие задачи решались в древности, что такое математика, рассуждения про умножение. На мой взгляд, это все лишнее. Хотелось бы чтобы статья на 100% была посвящена теме интегрирования, а не на 20%. Берегите время читателей (и свое тоже). Сплошная вода. Тяжело и долго читать, даже по диагонали трудно пролистать.
- такое ощущение, что вам интеграл не интересен, а просто интересны общие рассуждения вроде таких: "Математика представляет собой универсальный, мощный и элегантный раздел знания. По-сути её предмет и значение невозможно разделить с наиболее фундаментальными разделами философии — логикой, онтологией и теорией познания". Во-первых, это не имеет отношения к интегралам, во-вторых, я не вижу никакой связи между математикой и философией. Математика это точная наука, а философия это просто абстрактные недоказуемые рассуждения. Философия ближе к религии, чем к науке. Считаю, что философии не должно быть места на посвященном науке и технологиям ресурсе Хабр. Приведенная цитата, кстати, тоже является философией.
- слишком сложные и витиеватые предложения. Нет бы написать простыми словами, что такое интеграл, вместо этого идет несколько абзацев из сложных плохо воспринимаемых слов.
В общем, чувствую себя обманутым, мне обещали дать простое объяснение интеграла, а вместо этого грузят бессмысленной философией. Философия — это абстрактная болтовня вместо настоящей науки.
На мой взгляд, понятным объяснением было бы нарисовать график, и разбить площадь под ним вертикальными линиями на маленькие прямоугольники. Все же это наглядная и понятная аналогия. Или провести аналогию с текущим потоком воды и суммарным объемом протекшей воды. Или со скоростью и пройденным расстоянием.
Математика это точная наука, а философия это просто абстрактные недоказуемые рассуждения.
У Вас предвзятое и в общем случае неверное представление о философии. Именно философские поиски привели к развитию и эмпирической науки, и математики (в том числе современной), именно они продолжают поставлять новые идеи на рубежах наук. Современная философия интенсивно внедряет, развивает и интегрирует математические методы. На глубоко философской дисциплине — логике, базируется вся математика. В стандартных курсах математической логики, насколько мне известно, обычно преподаются только разновидности формализаций классической пропозициональной логики. За некоторыми исключениями у математиков, которые выбирают философскую позицию интуиционизма, хотя интуиционистская логика это та же классическая пропозициональная логика, только с исключением некоторых аксиом. В некоторых продвинутых изложениях даются варианты многозначной логики. Философская же логика формализует такие дополнительные аспекты рассуждений, как модальность (необходимость vs возможность), темпоральность и прочие.
Философия — это абстрактная болтовня вместо настоящей науки.
Работа по выявлению, прояснению и уточнению понятий — это чисто философская работа. Без неё невозможна никакая наука. Метод "заткнись и считай" в общем случае для науки контрпродуктивен, т.к. не предполагает генерирование идей.
Спасибо Вам за статью. :)
Надеюсь, продолжите работать в этом направлении и относительно других трудных математических понятий.
Сам последнее время размышляю о роли интуиции в понимании. Только у меня это связано не столько с доступностью объяснения для неподготовленной аудитории, сколько с поиском ясности в противопоставлении разновидностей абстрактного реализма (платонизма) и номинализма. Никак не могу определиться, какой выбрать лагерь — с одной стороны, у реалистов есть весьма сильные аргументы; с другой, номинализм, как реализм конкретного, для меня более интуитивен. Но у номинализма серьёзнейшие проблемы с объяснением некоторых повседневных реалий. Возникла идея исследовать особенности интеллектуальных интуиций и их роль в достижении состояния понимания (а заодно и достичь понимания относительно реализма абстрактного) — и как раз математика предоставляет для этого кучу материала. Ну, мысль-то летает, тут же стали возникать идеи о целенаправленной явной методике трансляции математических понятий из символьного/графического представления в ясные и полностью осознанные интуиции. А тут Вы с такой темой статьи, прямо шикарное совпадение. :)
Высшая математика для начинающих физиков и техников.
Есть хорошая платформа для изучения и понимания основ математики (и не только) — https://brilliant.org/. Но, увы, только на английском. Объяснения визуализированы, идут сразу с задачами на закрепление понимания.
Однако, именно дифференциал играет роль того самого множителя, соучастника умножения, к которому вы подводите на протяжении всего текста статьи.
При интегрировании происходит не суммирование значений функции, а суммирование произведений функции на этот самый дифференциал, который представляет собой линеаризованный элемент множества, по которому происходит интегрирование.
На уровне вуза это легко понять, если рассмотреть криволинейные и поверхностные интегралы — для них уже явно видно, что под дифференциалом появляется миниатюрный кусочек того, по чему мы интегрируем.
На уровне школы этот же факт можно заметить при применении формулы замены переменных и интегрирования по частям, потому что под дифференциал переносят часть сложной функции, которую хотят проинтегрировать, фактически переходя к интегрированию на другом множестве.
Этим (бесконечным суммированием произведений) объясняется и школьное изложение интеграла как площади криволинейной трапеции — нарежем нашу трапецию на вертикальные полоски, теперь заменим криволинейный кусок кривой, являющийся «крышкой» нашей полоски на прямую, получился прямоугольник, площадь прямоугольника мы уже умеем считать — это f(x) * dx, где dx — тот самый миниатюрный кусочек отрезка интегрирования — дифференциал.
С точки зрения физики (школьной), например, ваше объяснения интеграла как суммы также не проходит — еще на первом уроке детям объясняют, что все преобразования величин нужно делать строго совместно с физическими размерностями этих величин.
Если объяснять интеграл как результат суммирования, то непонятно, как из [м/c] у нас в результате интегрирования скорости по времени получились просто [м]. Зато с дифференциалом все встает на свои места, у нас под интегралом [м/c] * d [с], физическая размерность имеет смысл множителя, выносим ее из-под дифференциала, сокращаем и получаем метры.
Если глубоко копать, выбросив из интеграла дифференциал, вы совершили ту же ошибку, что и Зенон в своих апориях, от чего у него нефизичные чудеса получались — бегун не мог черепашку догнать.
Сначала нужен пост «Как читать нечитабельные наборы математических символов» )
1. Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин
и
2. Без интуитивного подведения читателя через сложение и умножение чисел, основательного разъяснения связи …. сразу бросаются к определению интеграла через предел римановской суммы
Автор явно сконструировал два взаимоисключащих параграфа. Площадь криволинейной трапеции (т.е. площадь под кривой) и есть наилучшее возможное, если не считать, конечно, восстановления пути материальной точки по ее скорости, интуитивное обоснование интеграла. Если, конечно, автор предложит более простую в построении и наглядную мотивацию для интеграла, то я немедленно сниму шляпу и посыплю голову пеплом.
Далее пункт третий.
Забывают рассказать о историческом процессе развития математики (зачем ввели интеграл, какие открытия этому предшествовали, что подвело к этому, как считали интегральные суммы до этого, как Ньютон и Лейбниц считали интегралы и т.д.)
Но ведь человеку, которому нужны примеры и практическое применение это все и не нужно! Зачем школьнику знать о основах дифференциального исчисления и как его строили Ньютон и Лейбниц? Оно и математику не всегда нужно. В общеобразовательном плане, конечно, полезно, да и с точки зрения философии математики и создания общей картины, оно, действительно нужно, но как средство изложения интеграла и объяснения его? Не думаю, что поможет, лишь займет время и отвлечет от поставленной задачи.
4. Не считают нужным или не хотят привести пару тройку простых примеров интегрирования из прикладных наук
Наверное самый резонный пункт, но: если человек учит математику (pure math), то ему примеры особо и не нужны, ему достаточно самого концепта. С точки же зрения прикладной математики: ну извините, либо опять к пункту первому, либо сталкиваемся с тем, что примеры интегрирования, которые используются активно требуют все же знания самого интеграла и возвращаемся к тому, что надо сначала сам интеграл ввести. К тому же, если человек добрался до интеграла, то скорее всего он уже прошел неопределенный интеграл (первообразную) и дифференциалы и имеет представление об интеграле как об обратной операции.
5. Сыпят доказательствами утверждений, которые новичку покажутся неуместными или второстепенными
Автор хочет, чтобы все утверждения вводились только непосредственно перед использованием? Извините, так не выйдет. Лучше ввести пару «бесмысленных» лемм сейчас, которые потом своими следствиями намного все облегчают, чем верстать доказательства основных теорем на несколько страниц мелким шрифтом. К тому же в математике многие теоремы и утверждения интересны даже не в связи с остальными, а сами по себе. И в конце концов, это полезное интеллектуальное упражнение. Читать доказательство, знаете ли, тоже искусство.
Забывают напомнить выводы, обозначения и утверждения, использованные или доказанные ранее
Если автор считает, что читатель не способен запомнить обозначения введенные пару страниц ранее (если эти обозначения используются сквозь всю книгу, то они должны быть в памяти уже) и перелистать (с учетом того, что сейчас все утверждения нумеруются), то это ставит под вопрос состоятельность читателя как такового и нужно ли ему это.
Единственное с чем согласен, это с 7 пунктом и то лишь частично.
1. Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин
Тут наверно автор имеет ввиду, что некоторые учебники грешат слишком сухим пояснением.
Что-то типа:
Условный учебник: Интеграл — это площадь под кривой.
Условный ученик: в гробу я видал вашу кривую, и ее площадь.
А ведь можно написать что-то вроде (считаем что ученик уже знаком с функциями и декартортовой системой координат):
Председателю сельсовета Василию, надо разметить 10 одинаковых участков земли возле реки вдоль улицы Речной длинной сто метров. При этом улицу принимаем за ось x, а река извивается вдоль берега очень удачно по закону y=log(x)^2+5.
Какая площадь участка?
И вот дальше имея почти жизненую ситуацию, учителю или автору учебника можно наглядно показать, что классическими методами такую задачу не решить. И можно показывать, что у нас есть класный инструмент — интеграл.
P.S. Функцию можно было по прикольние найти, но что-то ничего в голову не пришло.
Здесь только с точки зрения мотивации на освоение математики не вполне удачно выходит. Пусть будет хотя бы просто очень успешный… математик делить какое-нибудь побережье с месторождениями долларов)
Всё уже сделал Лёвшин в книге «Нулик-мореход».
Вот дискриминант, например? Что это такое (чуть подробнее, чем просто расстояние между корнями)?
Возникло лёгкое подозрение, что для хорошего объяснения дискриминанта могут потребоваться хорошие объяснения понятий результанта, производной, детерминанта, матриц Сильвестра и, возможно, поля, кольца и сопутствующих им понятий. Совсем не факт, что это понятие проще для хорошего понимания, чем понятие интеграла. Насколько я помню, в моей школьной программе оно не объяснялось, а вводилось "силовым" путём ("примите к сведению, что такое есть") для решения квадратных уравнений. А вот понятия пределов, производных и интегралов разъяснялись довольно подробно, с доказательствами, техниками взятия и многочисленными примерами. Впрочем, это было в 80-90-х, может, сегодня как-то иначе… Если в современной школьной программе дела примерно так, как тогда, то печальная реальность такова: то, что преподаётся в школе, нельзя называть полноценной современной математикой. Последнюю преподают в университетах, начиная как бы с нуля, т.к. хорошие успехи в школьной математике на уровне университета не помогают. Когда-то (давно, ссылку не сохранил) даже читал об американском исследовании, в котором выяснилось, что университетскую математику школьные отличники обычно усваивают хуже, чем даже те, у кого в школе с математикой всё было совсем плохо.
del
По статье… Ну очень тяжелый слог. Так случайно получилось, что я успел порекомендовать статью тому, кому это актуально до моего собственного прочтения и после ознакомления понял, что я был не прав. Статья содержит очень много воды, а то, что не вода выражено примерно так же тяжело, как и то, что материалом планировалось заменить.
Полагаю, что интересные находки по теме можно найти в советских учебниках до 1960 года выпуска, особенно обратить внимание на удостоенные ленинскими и сталинскими премиями. Тогда концепции Бурбаки не были в моде.
Когда мы говорим давайте рассмотрим десять каких-либо операций (алгоритм) вроде кулинарного рецепта или простейшей программы или рассмотрим какой-либо частный случай явления, определим его свойства, отношения с другими явлениями, изучим структуру — мы прибегаем к универсальным способам мышления, которые характерны для любого знания и в том числе математического.
Я постоянно ловлю себя на предложениях вот такого типа:
Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так и таким образом, чтобы среднему, неискушённому человеку было всё абсолютно ясно.
и считаю, что это предложение должно быть переписано в два более простых. А вот предложения типа первого процитированного я уже почти научился не писать с первого раза:).
Тяжелый же слог — это общее ощущение. Я давненько заканчивал мех-мат МГУ, но кое-что еще помню. А чтиво этой статьи для меня было явно не уровня художественной литературы. Приходилось прилагать усилия к пониманию того, что хотел сказать автор.
и считаю, что это предложение должно быть переписано в два более простых.
Как именно? Я сам за максимизацию простоты, но не все мысли делятся на коротенькие предложения. В том, которые Вы предложили разделить, я бы просто убрал "и таким образом" и "среднему". Получается: "Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так, чтобы неискушённому человеку было всё абсолютно ясно." На мой взгляд это предложение выражает одну мысль. Как её делить, не усложняя текст?
А чтиво этой статьи для меня было явно не уровня художественной литературы. Приходилось прилагать усилия к пониманию того, что хотел сказать автор.
ИМХО, тому, кто изобретёт метод, с помощью которого можно полноценно излагать математику так, чтобы читалось без усилий и с интересом на уровне художественной литературы, необходимо будет ежегодно и пожизненно давать Нобелевскую премию. Я бы легко отдал зарплату за собрание сочинений, непринуждённое и увлекательное чтение коего приводило бы к освоению всей математики. Ну или хотя бы её основных теорий.
Получается: «Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так, чтобы неискушённому человеку было всё абсолютно ясно.»Наподобие: «В поисках доступного объяснения всех нюансов этого вопроса я перечитал десятки книг и статей. Ни в одном из источников не нашлось изложения, подходящего неискушенному читателю.»
Что-то вроде этого, может быть. Сам пишу длинными предложениями, потом долго правлю, но в итоге все это в какой-то мере остается.
Что-то вроде этого, может быть.
Спасибо! Но зачем "В поисках доступного объяснения всех нюансов этого вопроса"? Ведь можно просто: "Я перечитал десятки книг и статей. Ни в одном из источников не нашлось изложения, подходящего неискушенному читателю". Тут, правда, возникает вопрос об эквивалентности между "абсолютно ясно" и "подходящего". Альтернативный вариант: "… не нашлось изложения, предельно понятного неискушенному читателю." Когда мы так начинаем "совершенствовать" мысль автора, не вполне определено, где именно мы начинаем искажать мысли автора и вносить собственные мысли. Моё "предельно понятного" не обязательно совпадает с "всё абсолютно ясно" автора (за ним тут последнее слово). Это, на самом деле, интересная проблема философских текстов. Пытаясь "очистить" авторскую мысль, легко можно прийти к её искажению. Где-то это искажение будет несущественным, но где-то будет просто переворачивать авторские идеи. С другой стороны, именно так мы и понимаем философские тексты, упрощая их для себя, транслируя их в свой понятийный аппарат. Возможно, выкидывая полезное при этом процессе. У меня сейчас примерно что-то такое происходит с главной философской работой Уайтхеда "Процесс и реальность". Если (его студент) Бертранд Рассел был гигантом мысли, то Уайтхед это титанический колосс, цитадель философии которого стоит на отшибе общепринятого мысленного потока. Бывает очень трудно не искажать своими подходами, когда пытаешься понять источники.
Я всё это к тому, что главное — не разбивать длинные предложения короткими мыслями. Возможно, главное — делать короткие мысли математических текстов более доступными для наивного пользователя (даже если это сделает их более длинными). У меня есть примеры, когда вроде бы хороший математический текст внезапно кидает предложение, которое я сильно затрудняюсь дешифровать. И тут же идёт дальше к уже другим вопросам и проблемам. Такие места лично я воспринимаю как сильно отбивающие интерес. Наверное, можно было бы сформулировать иначе, понятнее для "быдла" вроде меня самого. Во многих математических текстах чувствуется элитарность математиков. Это проблема, но, ИМХО, всё же не проблема слишком длинных предложений.
Но зачем «В поисках доступного объяснения всех нюансов этого вопроса»? Ведь можно просто: «Я перечитал десятки книг и статей.Можно. Дело вкуса и контекста. Без „в поисках“ может выйти, что как снег на голову падает факт: „я перечитал десятки книг и статей“. Как бы случайно попавший в разговор об интегралах факт из жизни автора.
Альтернативный вариант: „… не нашлось изложения, предельно понятного неискушенному читателю.“В моем варианте, если его рассматривать как цельный текст, в сумме выходит „изложение объяснения, подходящее неискушенному читателю“. Какое изложение объяснения следует считать подходящим неисушенному читателю? Я думаю, что только предельно понятное. За исключением случая, когда нашей целью является введение неискушенного читателя в заблуждение. То есть, к примеру, если бы мы оценивали качество текста агитационного материала для вовлечения в тоталитарную секту. Но это не наш случай.
Это, на самом деле, интересная проблема философских текстов. Пытаясь „очистить“ авторскую мысль, легко можно прийти к её искажению. Где-то это искажение будет несущественным, но где-то будет просто переворачивать авторские идеи.Вообще почти невозможно изменить текст, совсем не коснувшись его смысла. Все это уходит и в филологию (отсутствие идеально синонимичных синонимов), и в философию. У Достоевского было что-то такое интересное на тему прекрасных идей, которые сильно теряют в качестве при выражении словами (мое изложение сильно отличается от оригинала, а цитату найти будет сложно).
Я всё это к тому, что главное — не разбивать длинные предложения короткими мыслями.Главное точно не в этом. Но это тоже важно.
Во многих математических текстах чувствуется элитарность математиков.Это, мне кажется, такая намеренная вещь. Какой-то искусственный порог входа чтоли… Бывают две книги с почти идентичным наполнением, одна читается легко и интересно (насколько это возможно для математики), другая требует поднятия дополнительного материала по объему больше, чем сама книга. Ниндзя-код.
В научных журналах редакционная политика бывает тоже специфичная. Одно и то же направление, два приличных издания, оба ВАКовских. Открываем один — нормальные такие статьи, открываем второй — каждая статья на 70% написана иероглифами.
по школе с интегралами/производными лично у меня каких-то особых проблем не было, именно потому что как раз хоть какое-то описание про физическое применение они имели
Матриц вроде как просто не было. Может быть, у кого-то бывают… Мне тоже кажется, что с интегралами и производными в плане примеров не так все плохо. Геометрия, кинематика — пожалуйста. А комплексные числа действительно были чем-то непонятно для чего изобретенным.
так пределы ради производных/интегралов и вводились
Да. Тогда почему их дают перед ними?
Я конечно уже кучу позабывал, но со школьной скамьи запомнилось что сначала шли все эти lim x/x, фиг пойми зачем. А потом производные и интеграл. Да правила преобразований у них пересекаются. Однако так как их дают в школе (без вывода), связь с пределами не очень очевидна.
Да. Тогда почему их дают перед ними?
Нам пределы давали перед производными для того, чтобы понятие производной определить через понятие предела:
А в физике мгновенная скорость была отношением перемещения за достаточно
Картинка "у нас есть хх стандартов. Надо сделать универсальный. Теперь у нас хх+1 стандартов". Ну, т.е. теперь у нас хх+1 непонятных статей про интеграл.
Как уже сказали, много воды. Я купился, думая, "ну наконец-то теперь-то я пойму этот неприступный интеграл, не смысл, а саму сущность", но мои знания остались на уровне когда я был студентом, шел много км по улице домой и пытался логически сам прийти к выводу. И по-моему даже что-то получилось. И это, естественно, был вариант с площадью
Тут нет ничего про верхнюю и нижнюю сумму Дарбу, это неправильно.
Тут нет ничего про то, что суммы должны сходиться независимо от выбора точки внутри разбиения, это плохо.
Интуитивное объяснение интеграла. Часть I — от умножения натуральных чисел до Ньютона и Лейбница