Pull to refresh
Comments 41
Забавный экскурс. Два замечания:

1. Статья не содержит очевидной дичи, но написана в «фрическом» стиле, что изрядно отталкивает читателя-математика. Решение тех или иных уравнений в элементарных функциях — это скорее счастливая случайность, а его отсутствие — печальная закономерность. Современная математика на 146% состоит из специальных функций, и это не проблема математики, это проблема несократимой сложности сущего. Появление «новой математики», в которой эта проблема исчезнет… ну, конечно, возможно теоретически. Но в эликсир бессмертия мне верится больше, продуктивнее заняться его поиском.

2. Тригонометрия — это уже очень давно не про геометрию и не про углы. Определение из учебника имеет скорее историческую ценность, опираться на него, чтобы вывести что-то содержательное — бесполезно.
Спасибо большое за развёрнутый ответ!
Хотел в свою очередь обратить внимание на предложенную Вами премису:
Решение тех или иных уравнений в элементарных функциях — это скорее счастливая случайность, а его отсутствие — печальная закономерность.

Если её перевернуть, то вот что получается:
Решение тех или иных уравнений в элементарных функциях — это счастливая закономерность, а его отсутствие — это печальная случайность.

Обе премисы в общем-то соответствуют действительности, другое дело, что в наших повседневных задачах мы часто стакиваемся с ситуациями, когда аналитическое решение действительно не было получено из-за чего и складывается такое (возможно) когнитивное искажение.
Я думаю мы оба можем согласиться с тем, что аналитических решений различных задач на сегодняшний день существует бесконечное количество, также как и бесконечное количество задач не имеет такого решения. Другое дело, что мы не пытались оценить порядок этих бесконечностей, а потому в их сравнении полагаемся исключительно на наш повседневный опыт. Поэтому, точно также когда-то существовало бесконечное количество нерешаемых задач типа x^2 + 1 = 0. Но как только было придумано комплексное число, то эта бесконечность нерешаемых превратилась в бесконечность решенных задач. Я убеждён, что непредвзятый математический ум способен соорудить абстракцию, которой по зубам даже уравнения cos(x)=x. В конце концов, это пресловутое уравнение уж точно не выглядит сложным, если иметь ввиду интуитивное понимание сложности.

2. Тригонометрия — это уже очень давно не про геометрию и не про углы. Определение из учебника имеет скорее историческую ценность, опираться на него, чтобы вывести что-то содержательное — бесполезно.

За это замечание отдельно благодарю Вас. Но очень прошу, предложите ссылку на источник, где по Вашему приведено самое современное определение. Надеюсь в будущем я смогу написать статью исходя из этого нового.
Другое дело, что мы не пытались оценить порядок этих бесконечностей, а потому в их сравнении полагаемся исключительно на наш повседневный опыт.

Ну почему же не пытались? Множество аналитических формул в элементарных функциях — счётно и перечислимо, множество вычислимых функций — счётно, но уже неперечислимо, ну а множество произвольных функций из R в R — уже даже не счётно.

Ну как же счётно, если только уравнение вида ax = 1, в зависимости от коэффициента a, даёт несчётное множество аналитических решений. Возможно вы имели ввиду что-то иное?
Спустя сутки, для меня почему-то перестала быть очевидной Ваша фраза:
ну а множество произвольных функций из R в R — уже даже не счётно

Вы случайно не знаете как это можно доказать?

Мощность этого множества больше континуума. Что тут доказывать-то?

Ну вот это и доказывать. Почему, вы уверены, что она больше континуума? Если мы возьмём всевозможные формулы из комбинаций всевозможных элементарных, специальных и других функций, то каждому элементу мы можем присвоить порядковый номер — где же тут рождается континуум?

Ну так функция — это не формула. Формулы как раз счётны и перечислимы.


А с функциями из R в R всё просто:


cc ≥ 2c > c > ℵ0


Надеюсь, монотонность возведения кардинальных чисел в степень вы оспаривать не будете?

Насчет строгого неравенства c^c > 2^c я бы поспорил. Точно не помню, но есть у меня ощущение, что по мощности они одинаковые.

2. Синусы-косинусы определяются в матане через ряды, либо в комплане через экспоненту. Их геометрические применения — это доказуемые свойства евклидовых и не очень пространств.

По первому пункту… Ваши игры с бесконечностями выдают плохое знакомство с матаном даже более чем вековой давности (Георг Кантор обнаружил существование разных типов бесконечностей где-то в тысяча девятьсот нулевых годах). Но бОльшая проблема в том, что это рассуждение не просто неверно — оно не имеет отношения к обсуждаемому вопросу. Задачи измеряются не количеством, а важностью, современностью и прочими метриками. Задачи, имеющие решение в элементарных функциях, по большей части были решены до того, как появился на свет мой прадед. Математики «выели» мягкие породы и приступили к хардкорному граниту.

Ваша «убеждённость», что «непредвзятый математический ум» способен то и сё, не основана ни на чём. Такие утверждения — это в любом случае гадание на кофейной гуще, однако если их высказывает человек, прекрасно знакомый с состоянием современной математики и отметившийся какими-то достижениями, к ним ещё можно прислушаться. Ваше же утверждение (с учётом его уверенного тона) является прекрасным примером эффекта Даннинга-Крюгера.
2. Синусы-косинусы определяются в матане через ряды, либо в комплане через экспоненту.


извините, а почему не решение уравнения:
f(x) = -f''(x)
f(0) = 1
Можно и через решение уравнения
Заголовок спойлера
image
Извините, что немного сумбурно изложил вопрос.
У меня, как у человека на математику не забивавшего и даже интересовавшегося \ интересующегося, но всё-таки математического образования и соответствующего бэкграунда не имеющего сложилось мнение, что «базово» тригонометрические ф-ии это решения диф.уравнений.

Вы говорите, что «базово» тригонометрические ф-ии это разложение в ряд.

Почему?
Есть множество задач, решением которых является синус или косинус. Но чтобы сделать с ними что-то конструктивное, надо задать их в конструктивном виде. Попробуйте доказать основное тождество тригонометрии, используя только то, что синус и косинус — решение диффура, и не переходя к какому-то промежуточному представлению (в виде рядов, например).

Это, кстати, не так сложно.
Перепишем ОДУ второго порядка
f′′ = –f
в систему:
f′ = –g, g′ = f
и  рассмотрим свойство выражения:
f² + g². Мы знаем только как меняется скорость наших функций f и g, так что давайте посмотрим на скорость изменения этой суммы:
(f² + g²)′ = 2ff′ – 2gg′ = –2fg + 2gf = 0.
Нулевая скорость изменения этих выражений говорит о том, что эта сумма является константой. Выбрав такие начальные условия, чтобы f(0) = 1, а g(0)=0 получаем, что эта константа равна единице.
Кроме того, можно показать, что что если какое-либо из решений системы имеет хотя бы один максимум, то обе эти функции должны иметь бесконечное множество минимумов и максимумов, причём экстремальное значение одной функции обязательно соответствует нулю другой.

Я не против минусов, можно даже в карму, но почему бы помимо нажатия кнопочки не высказать словами, что не так?

Насчет современных определений синуса и косинуса. И ошибок в статье.
Во-первых, когда вы говорите про прямоугольные треугольники, вы говорите про прямые углы. Надо отметить, что прямость угла — это свойство метрики и расстояния, а не треугольника. Так что неверно рассматривать один и тот же треугольник в разных метриках (часть их которых для p < 1 метриками вовсе не являются) и считать для него косинусы и синусы.


У косинуса угла есть еще одно определение, которое гораздо лучше обобщается на случай других метрик (или, вообще говоря, норм, потому что определение угла между векторами есть смысл вводить только в нормированном пространстве). Итак, если у вас есть два вектора u и v, косинус угла между ними — это (u, v)/sqrt((u, u) * (v, v)). Где (u, v) — это скалярное произведение, связанное с вашей нормой следующим образом: норма вектора u — это sqrt((u, u)).


В пространствах l_p, которые обсуждаются в вашем посте, нет подходящего скалярного произведения, которое бы порождало исходную норму. Так что это просто бессмысленно с точки зрения математики вводить понятие угла между векторами.


На самом деле понятие угла или, если быть более точным, понятие ортогональности — это очень сильное ограничение на класс нормированных пространств. Оказывается, что такие понятия можно определять только на Гильбертовых и пред-Гильбертовых пространствах. И все они оказываются изометрически изоморфными друг другу, если у них совпадают размерности. Так что другого определения косинуса угла, кроме того, которое уже существует нет и стараться его придумать или обобщить нет смысла.

быстро поймёте, что предоставленных Вам школьных знаний явно не хватает

Я в школьное время любил читать справочник Бронштейна-Семендяева ).
На лабораторке по прикладной математике нам дали посчитать какие-то интегралы, мне было лениво писать программу интегрирования, я разложил в ряд, проинтегрировал ряд и сложил обратно, что было конечно читингом.
С уважаемым Sirionом по поводу фрического стиля не согласен — ИМХО нормальная популярная статья.
Вообще, расстояние Манхэттена очень хорошо иллюстрирует, что умозрительные объяснения в школе интегрирования, типа, ну вот при бесконечно малых величинах оно точно опишет контур и поэтому заменим на целое число — не работает!
Лесенка расстояния Манхэттена, при бесконечно малых шагах, визуально прбилизится к прямой гипотенузы, но численно оно так же останется суммой по модулю, а не корню из двух квадратов… как после этого верить учителям?!: о)
К слову, пока готовил статью, изрядно помозговал над этой картинкой:
image
Разгадка как раз в Вашем комментарии.

Так, что в метрике расстояния манхеттена не существует теоремы Пифагора. Как и прямоугольных треугольников и вообще углов.

Это критика не школы, а первых курсов университета. В своё время эта проблема сподвигла Лебега на создание теории меры. Вопрос чуть серьёзнее.
В попытке решить его АНАЛИТИЧЕСКИ, то есть получить так называемое closed-form solution или ответ в виде конечной композиции чисел. Кстати, попробуйте сами! Потупив минут 15 над этим уравнением вы быстро поймёте, что предоставленных Вам школьных знаний явно не хватает (наверное) чтобы решить это уравнение, а сложные вышматовские штучки делают решение и вовсе недосягаемым.
Ряды отменили что ли?
Ряды это аппроксимация. Притом, в данном случае, состоящая из бесконечного количества слагаемых — это не то, что я ищу.

Ну как бы даже замкнутая формула числа sqrt(2) тоже вычисляется через ряды, не говоря уже про что-то более сложное. А понятие элементарной функции довольно относительно — чем больше применений находится, тем более элементарной функция становится.

Ряды в школе не проходят, ну и решать степенное уравнение с бесконечными степенями без теоремы Лагранжа вряд ли получится. Но в принципе материал вполне понимабелен для продвинутого старшеклассника.

Неплохая статья, правда! Но, как любитель математики не могу не прокомментировать этот пассаж:


Однако я отношусь к той касте отбитых любителей математики, которые считают, что если такие чрезвычайно просто сформулированные задачи испытывают проблемы с решением, то у самой сути разработанной математики есть какие-то проблемы и их неплохо было бы решить (попутно разработав новый аппарат).

Проблемы с решением этой задачи кроются не столько в математике, сколько в формулировке самой задачи. Что такое "конечная форма" и "аналитическое решение"? В какой именно конечной форме ищется решение, в каком поле? И тут открывается классный путь в теорию полей и трансцедентных чисел, на мой взгляд, не менее увлекательный, чем экскурс по миру метрик!


Что же до "зависимости тригонометрических функций от метрики", соглашусь с комментарием выше: тригонометрические функции, синусы и косинусы, фундаментальнее геометрии, из которой они вышли. Они являются решением важных дифференциальных уравнений (линейных второго порядка), образуют ортонормированный басис в гильбертовом пространстве (поэтому работает преобразование Фурье), кроме того, внутренняя структура этих функций глубоко связана с группой, образуемой операцией умножения в поле комплексных чисел. А то, что через них напрямую выражаются отношения в прямоугольном треугольнике, является свойством Евклидовой геометрии, а это лишь одна из многообразия возможных геометрий.
Я пишу это не чтобы позанудствовать, а чтобы показать, сколько ещё интереснейших направлений исходит от этой задачи в различные области математики!

Забавно (хотя, конечно, хочется поставить изобретённые вами «синус» и «косинус» в кавычки), но я бы вводил угол иначе. Идея, что «тангенс» должен быть таким же, как для евклидовой метрики, неочевидна (ведь «синус» и «косинус» отличаются), так что можно для манхэттенского расстояния определить его иначе (интуитивно кажется, что косинус и синус должны стать просто ломаными… Да и период наверняка будет не 2*pi).
Логичное определение «угла» – длина (с учётом метрики) пути по единичной «окружности» от оси ординат.

А вот формулы приведения становятся неочевидными. Всё-таки евклидова метрика существенно отличается от прочих тем, как в ней осуществляются повороты.
Спасибо за идею! Действительно, как я отмечал в статье, «угол» — довольно странная штука, которую можно определить многими способами. Я, например, получал интересный результат, когда определял угол вот так:
image
Интересно, что позже я обнаружил, что это квадрат тангенса обычного угла.
Интересно, что позже я обнаружил, что это квадрат тангенса обычного угла.

А что тут интересного? Все 4 дополнительных треугольника на картинке подобны исходному, а значит их отношение катетов равно тангенсу. Чтобы "перейти" от d1 к d2, надо 2 раза сменить "малый" катет на "большой" — отсюда и квадрат.

Поутру обдумал тему квазисинусов/квазикосинусов/квазитангенсов для определения угла через «длину дуги окружности». Только для p=1(манхэттенское расстояние) и p=infinity, т.к. за бумажкой было лень идти.
Так вот, в обоих случаях получаем «длину окружности» 8 (как в военное время — пи может достигать четырёх :-D).
Для p=1 графики синуса и косинуса выглядят так \/\/\/\ (треугольный сигнал), тангенс, соответственно, состоит из кусков гипербол.
Для p=infinity графики квазисинуса и квазикосинуса тоже кусочно-линейные, но посложнее — трапецеидальный сигнал. Например, квазикосинус для аргумента от 0 до 1 равен 1, дальше от 1 до 3 линейно падает до -1, от 3 до 5 равен -1, от 5 до 7 линейно растёт до 1, от 7 до 8 равен 1, и далее по кругу. Как синусоида, нарисованная по границам и диагоналям клеточек в тетради. Квазитангенс визуально похож на обычный, но составлен из кусочков прямых и гипербол.

Интересно, кстати, посмотреть зависимость «длины окружности» от p. Лень брать бумажку, но подозреваю, что минимум будет для p=2.
Захотелось посмотреть на этот треугольник, но как его построить не пришло на ум ничего кроме как просто двигать вершину вручную и смотреть на консоль
~
image
Есть шикарная игра Euclidea (можно скачать на смартфон) www.euclidea.xyz/ru — там представлено множество инструментов для игр с примитивами типа окружности и прямой — попробуйте!
«а что такое косинус?»
Это, кстати, неплохой вопрос для выяснения уровня знания математики у собеседника. Или, более свободный вариант — «с чем у вас ассоциируется косинус»?
У меня, например,
с симметричными во времени функциями и полиномами Чебышева

А статья оборвалась на самом интересном месте — что, собственно, следует из других вариантов косинусов.
Интересно посмотреть на параметризованное параметром p разложение в ряд Тейлора для Ваших sin_p и cos_p.
Статья напомнила о моих поисках нормировки для вот таких полиномов.
Как видите, нормировку удалось найти, но для этого пришлось вспомнить азы дифференциальной геометрии.
image
Only those users with full accounts are able to leave comments. Log in, please.