Comments 33
Я правильно понял из этого моря воды, что он взял 3D уравнения, применил их к 2D системе с разрывом начальных условий и сказал, что всё сломалось?
Я понял примерно так же
Насколько я понял, была доказана некорректность постановки задачи (уравнения Эйлера + начальные и граничные условия) в классе разрывных функции. Я, конечно, не знаю, как это отразится на применимости моделей, содержащих уравнения Эйлера, в физике. Это достижение уравнений математической физики, где чисто математически, с отрывом от физической природы, исследуются уравнения в частных производных.
Статья действительно крайне запутанная. Типа длинная для того, чтобы быть популярной, однако это затрудняет понять что к чему. Я вообще только к середине статьи стала догадываться, из-за чего вообще сыр-бор. Если я правильно понимаю, то изначально кольца изолированы в пространстве. Если это так, то тут изначально нет сплошной среды, т.к. есть поверхности. Это сразу же означает разрывность поля скоростей в начальных условиях. Ну а дальше «чему вы удивляетесь».
Статья действительно сложна и запутана (тут нужно понимать уравнения математической физики и функциональный анализ). В статье рассматривается система из уравнения Эйлера и несжимаемости, а также условия Коши. Затем строится эквивалентная система для завихрения, и исследуется именно она. Основной результат: для любого a > 0, что для любой бездивергентной начальной скорости, дифференцируемой один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени, и такой, что ее завихрение имеет компактный носитель, и завихрение три раза дифференцируемо, существует единственное начальное решение в классе измеримых функций, интегрируемых по Лебегу в квадрате модуля, и дифференцируемых один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени имеет место равенство: предел при t -> 1 интеграла от 0 до t от L-бесконечности нормы завихрения по пространству (объему) стремиться к бесконечности. Более того, такое решение устойчиво.
И еще как часть результата важно следствие: в классе решений, которые измеримы, интегрируемы по Лебегу в квадрате модуля, и дифференцируемы один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени, трехмерных уравнений Эйлера невозможно усилить критерий Била-Като-Майды в размере Lp пространств. В частности, для каждого p, меньшего бесконечности, существует классическое решение трехмерного уравнения Эйлера, для которого супремум Lp норм завихрения при фиксированных t из [0, T) меньше бесконечности пока предел при t -> T интеграла от 0 до T от L-бесконечности нормы завихрения по пространству (объему) стремиться к бесконечности.
И еще как часть результата важно следствие: в классе решений, которые измеримы, интегрируемы по Лебегу в квадрате модуля, и дифференцируемы один раз по пространственной переменной (или лучше сказать переменным) и a раз по времени, трехмерных уравнений Эйлера невозможно усилить критерий Била-Като-Майды в размере Lp пространств. В частности, для каждого p, меньшего бесконечности, существует классическое решение трехмерного уравнения Эйлера, для которого супремум Lp норм завихрения при фиксированных t из [0, T) меньше бесконечности пока предел при t -> T интеграла от 0 до T от L-бесконечности нормы завихрения по пространству (объему) стремиться к бесконечности.
Всю эту информацию вы извлекли из текста приведенной выше статьи? 8[]
arxiv.org/abs/1910.14071 — октябрьская работа Тарек Элгинди, про которую эта публикация.
Ещё и при какой-то хитрой норме, как я вижу.
Ага. Самое интересное, что по Lp норма все хорошо (следствие), даже по супремуму таких норм тоже. А вот супремум интегралов L-бесконечность норм уже плох. Вот вообще, интересно, являются ли те супремумы нормами (что-то мне подсказывает что нет, т. к. это функциональный анализ и надо esssup брать, а не sup).
Простите, я функан не учил. Интересный выходит вариант с «существественным супренумом».
L-бесконечность это и есть существенный супремум. Если эта норма равна бесконечности, то это надо читать как "Множество, на котором функция принимает значения больше любого заранее заданного числа, не является множеством меры нуль." Например, x^(-1/2p) на отрезке [0;1] имеет конечную Lp-норму и бесконечную L-бесконечность норму.
не совсем. Он взял двумерную систему и упрощёнными численными методами начал считать…
Написано путано, но проблема уравнения Эйлера в том, что было неизвестно всегда ли в трехмерном случае решение уравнения будет гладким, то есть без сингулярностей.
Хотя найденная ситуация связана с большим увеличением скорости, что явно выводит уравнение за рамки классического подхода без учета релятивистских эффектов.
1. Дело скорее не в релятивистских эффектах. Однако по своему вы правы. Уравнения Эйлера подразумевают закон Паскаля в том смысле, что взаимодействия в жидкости распространяются мгновенно. Это значит, что скорость звука считается бесконечной.
Поэтому «релятивистские эффекты» возникают, когда появляются скорости, становятся сравнимы со скоростью звука, а не света.
2. Ну и второй момент. Какой бы идеальной ни была бы жидкость при больших скоростях вязкость нельзя отбрасывать. В общем большой привет Навье со Стоксом.
Поэтому «релятивистские эффекты» возникают, когда появляются скорости, становятся сравнимы со скоростью звука, а не света.
2. Ну и второй момент. Какой бы идеальной ни была бы жидкость при больших скоростях вязкость нельзя отбрасывать. В общем большой привет Навье со Стоксом.
Детский сад какой-то. Любая формула — это приближенная модель реального мира. Уравнение состояния идеального газа тоже плохо применимо к реальным газам, но достаточно хорошо описывает разреженные газы. Механика Ньютона тоже работает только в ограниченных условиях.
Механика Ньютона тоже работает только в ограниченных условиях.
Позвольте поинтересоваться, в каких условиях только работает? Исключая скорости, близкие к световым.
Еще не работает в случае размеров, близких к атомным. В случае очень сильных гравитационных полей, насколько помню, тоже не работает.
В любых квантовых системах не работает, например.
Исключая скорости, близкие к световым.
А это что, не «ограниченные условия»?
Как указали ниже, механика Ньютона (Лагранжа, Гамильтона) является приближением квантовой механики. Один из критериев, когда можно использовать механику Ньютона — действие на траектории много больше h/2/pi. Это никак не выполняется при попытке описать любой электрон на стационарном уровне в атоме, но можно попробовать создать состояние с главным квантовым числом n = 100 и каким-то значением орбитального числа l, которое будет похоже на класс. механику.
После слов «Эти уравнения представляют собой идеализированное математическое описание движения жидкости. В границах определённых предположений они моделируют распространение волн на пруду или просачивание патоки из банки.» приводится уравнение без члена, отвечающего за вязкость (т.н. уравнение сухой жидкости). Т.е. просачивание патоки из банки такое уравнение не описывает. Может в этом и причина существования сингулярных решений?
Почему-то сразу приходит на ум моделирование столкновения «чёрных дыр» или нейтронных звёзд. Слово «сингулярность» — оно такое…
Им нельзя вращаться вокруг оси z.
В этом и весь фокус. Элгинди рассматривает 2D воду. В 3D будет решение в виде вихрей вдоль «запрещённой» оси. Они будут «квантовыми», их появление (место и количество) будет описываться некоей квантовой теорией, которой ещё нет.
Т.е. для и так идеально сухой воды создали ещё и идеально необычные, невозможные условия?
Опять ученый изнасиловал всех вокруг. «А давайте ограничим задачу, уменьшив количество измерений и возможные процессы в среде и напишем статью с желтым заголовком». Меня на прошлой работе в НИИ коллеги засмеяли бы за такое. Плюс если рассматривать чистого Эйлера без сжимаемости и Навье-Стокса, то в таких экстремальных условиях как центральное сжатие вполне естественно получить бесконечные значения: вспомните работу имплозивного ядерного заряда, насколько сильно центральный взрыв сжимает ядро при том, что все законы физики «включены»
Прежде чем ставить крест на уравнениях Эйлера, стоит проверить, не образуется ли в таких условиях настоящая чёрная дыра.
Взять уравнения, применить их для случая, для которого они изначально не применялись, еще и в краевых условиях и сказать, что они опровергнуты — ну такое. Ладно, спишу еще на «перевод», оригинал, возможно, совсем не об этом. Но вообще к матмоделированию надо крайне аккуратно подходить, а уж тем более — к трактовке полученного результата.
Что значит что уравнение «сломалось»?
Жидкость — сложная система. У нее есть турбулетность, а это хаотичность. Если есть сингулярности — значит это правдивое уравнение. А если трения нет — то вполне логично.
И таких точек с нулевой мерой можно достаточно легко найти, сколько угодно
Жидкость — сложная система. У нее есть турбулетность, а это хаотичность. Если есть сингулярности — значит это правдивое уравнение. А если трения нет — то вполне логично.
И таких точек с нулевой мерой можно достаточно легко найти, сколько угодно
Просто типичный пользователь нашёл баг в Матрице, не покрытый интеграционными тестами. Еще одно доказательство что Вачовски не врали!
Вот таки недостаточно воды в статье про сломанные об колено уравнения жидкости! Я хочу прочитать про то, как ломатель уравнений на выходных звонил другу в Сан-Диего и они обсуждали важность проблемы, пил вино в мексиканском ресторане на 6й Авеню и испытывал мучения из-за плохих уравнений, забирал детей из школы Спрингфилда и обувь дочери поднимала волны в луже по которой шла, как похрустывала пицца на его зубах и масло из пиццы стекало на его язык, как мать его жены в Айдахо взращивает газон около дома и вода разбрызгивается из сприклера на этот газон… Содержание всего этого это первейшая необходимость таких статьей.
А тут, на тебе. Взял и сломал уравнения.
А тут, на тебе. Взял и сломал уравнения.
«Приходится слишком много всего отслеживать», — сказал Элгинди.
Выше уже неоднократно правильно высказались, но, пожалуй, соберу все в кучу и добавлю пару своих мыслей:
1. Любое уравнение (модель) описывает какое-то явление лишь приближенно, в рамках тех предположений, в которых это уравнение строится. Соответственно, когда мы применяем это уравнение в условиях, когда описанные предположения нарушаются, то да, следует ожидать, что результат будет ерундой.
1а. Каюсь, грешен, его статью с ArXiv-а посмотрел по-диагонали, но заметил, что он берет сферическую систему координат, а там уже неизбежно заложена сингулярность (страшное слово, привлекает внимание)
1б. Помимо несовершенства самой модели важно также заметить, что методы решения уравнений тоже могут иметь свои особенности. В данном случае статья по математике, поэтому он там исследовал все честно, но видосик в начале статьи получился именно в результате численных расчетов. И описанного эффекта я там не заметил.
1в. И да, не забываем про уравнение Навье-Стокса, в которое зашита вязкость (уравнение второго порядка, а Эйлера — первого), поэтому она все сингулярности нейтрализует. Плюс, в численных расчетах есть т.н. эффект «численной вязкости», поэтому сингулярности могут и не образоваться.
2. В статье написано: «запретил создавать вихри вокруг оси z». А зачем? Может, в этом-то и дело?
3. В статье рассмотрен крайне идеализированный случай, когда сталкиваются два кольца. Можно задаться вопросом: где это реализуется в природе, поэтому с какой целью была поставлена задача? Скорее всего, внятного ответа получено не будет, но на то это и фундаментальная наука, чтобы слепо искать какие-то новые интересные фичи.
4. Фактически, получилась просто абстрактная математическая задача, в которой решается два уравнения: уравнение движения (то самое уравнение Эйлера, которое ломается) и уравнение неразрывности. Однако, обычно в физике вместе с ними еще и уравнение сохранения энергии пишут. То есть, попросту говоря, часть энергии при столкновении должна перейти в нагрев/высветиться/привести к ионизации и т.д.
5. Как математик он рассмотрел сплошную среду, независимо от масштабов события. Фактически, если мы столкнем два микроскопических кольца и два кольца астрономических масштабов, результаты в лучшем случае сойдутся в качественном описании.
P.S. встроенный редактор не умеет в вложенные списки
1. Любое уравнение (модель) описывает какое-то явление лишь приближенно, в рамках тех предположений, в которых это уравнение строится. Соответственно, когда мы применяем это уравнение в условиях, когда описанные предположения нарушаются, то да, следует ожидать, что результат будет ерундой.
1а. Каюсь, грешен, его статью с ArXiv-а посмотрел по-диагонали, но заметил, что он берет сферическую систему координат, а там уже неизбежно заложена сингулярность (страшное слово, привлекает внимание)
1б. Помимо несовершенства самой модели важно также заметить, что методы решения уравнений тоже могут иметь свои особенности. В данном случае статья по математике, поэтому он там исследовал все честно, но видосик в начале статьи получился именно в результате численных расчетов. И описанного эффекта я там не заметил.
1в. И да, не забываем про уравнение Навье-Стокса, в которое зашита вязкость (уравнение второго порядка, а Эйлера — первого), поэтому она все сингулярности нейтрализует. Плюс, в численных расчетах есть т.н. эффект «численной вязкости», поэтому сингулярности могут и не образоваться.
2. В статье написано: «запретил создавать вихри вокруг оси z». А зачем? Может, в этом-то и дело?
3. В статье рассмотрен крайне идеализированный случай, когда сталкиваются два кольца. Можно задаться вопросом: где это реализуется в природе, поэтому с какой целью была поставлена задача? Скорее всего, внятного ответа получено не будет, но на то это и фундаментальная наука, чтобы слепо искать какие-то новые интересные фичи.
4. Фактически, получилась просто абстрактная математическая задача, в которой решается два уравнения: уравнение движения (то самое уравнение Эйлера, которое ломается) и уравнение неразрывности. Однако, обычно в физике вместе с ними еще и уравнение сохранения энергии пишут. То есть, попросту говоря, часть энергии при столкновении должна перейти в нагрев/высветиться/привести к ионизации и т.д.
5. Как математик он рассмотрел сплошную среду, независимо от масштабов события. Фактически, если мы столкнем два микроскопических кольца и два кольца астрономических масштабов, результаты в лучшем случае сойдутся в качественном описании.
P.S. встроенный редактор не умеет в вложенные списки
Также предполагается несжимаемость жидкостей, то есть, по правилам уравнений Эйлера нельзя сжать жидкость, уместив её в пространство меньшего объёма, чем она уже занимает.
Это частный случай. Но можно считать, что сжимаемость большинства жидкостей намного меньше, чем у газов.
Это усиление будет настолько сильным, что за конечное время скорость или завихрённость точки станет бесконечной.
Значит нужно в изначальные формулы ввести СТО и получить что-то совсем сложное. Ещё может уравнение состояния P = P(V) придется модифицировать при другом виде свободной энергии Гельмгольца.
Sign up to leave a comment.
Знаменитые уравнения жидкости дали течь