Mathematics
Popular science
Physics
Comments 28
+3
Спасибо за перевод! В комментариях к оригинальной статье (опубликована 13 ноября) указывают, что эта формула была известна ранее. Авторы (Дентон, Парк, Чжан, Тао) выложили на архив 2 декабря обновленную версию статьи. В ней, в частности, добавлен ряд источников, в которых приводится эта формула, и построен граф цитирований между ними.
+2
Формула известна настолько давно, что мы на кафедре Динамики и прочности машин используем равно столько, сколько существует сама кафедра.
Например, вот архив моей переписки за 2017-й год с тогда ещё студентом Сергеем Перекрасовым:

+1
Ещё коммент от меня: собственные частоты (в любом виде: в радианах, в герцах или в квадратах этих величин) вещь не нормируемая. А вот вектора — ещё как нормируемая вещица. Т.е., существует бесконечное количество ненормированных собственных векторов и ограниченное количество нормированных. Принцип нормировки выбирает сотрудник/экспериментатор/математик/etc.
0
Если мы говорим именно про матрицу как оператор, тогда значит вектору можно придумать легко норму. Потом уже сказать:
we can find an orthonormal basis of eigenvectors

То есть, в качестве нормы явно берется кв. корень из скалярного произведения:
||v|| = sqrt(v,v),
требуется нормировка
if (i = j) (vi,vj) = 1, else
(vi,vj) = 0.
0

Как выпускник ДПМ при прочтении предположил, что собственные формы и вектора это примерно одно и то же. Вы подтвердили. Теперь, значит, во всех Ансисах должно появиться ) И ваше замечание по нормированию весьма ценное.

+1
Как бы строить по собственным числам собственные векторы — задача совсем тривиальная, и уж тем более фича имеется в любом построцессоре МКЭшных комплексов, которые есть на слуху. Поэтому я и удивился восторгам авторов статьи.
При этом, ага, извиняюсь, ступил с «формула известна». Надо поднимать теорию колебаний и МКЭ-шные книги для анализа существующих аналогов. Но алгоритм получения собственных векторов я привёл абсолютно правильный и, надо отметить, простой.
+5
Не жалею, что учился на физика. Хоть и не работал никогда по специальности, зато могу относительно легко читать и понимать такие статьи.
+26
«Оставляем её получение в качестве самостоятельного упражнения для читателей.»
-6
Осталось переписать драйвера и GPGPU вычисления унесут нас в мир быстрого и счастливого будущего с Raytrace и предсказуемым ИИ в мобильнике?
0
«собственные векторы», сложные для подсчёта величины, описывавшие в их случае то, как нейтрино распространяются в материи, приравниваются к комбинации членов, известных, как «собственные числа», вычислять которые гораздо проще.


В простейшем случае из линейной алгебры действительно проще найти собственные числа, а не векторы. Если конечно это не матрица «5 на 5» или больше, у которой скорее всего не выйдет найти решения для чисел.
0

А разве есть простой метод определения собственных чисел в матрицах 3х3 и 4х4 без привлечения комплексных чисел или итерационных процедур типа метода Ньютона? Есть глючный МКЭ-софт, в котором хотелось бы написать скрипты для работы с главными напряжениями и деформациями в постпро, но в скриптах не поддерживаются комплексные переменные.

0
Не знаю я никаких методов. Есть методы, как из матрицы получить характеристический многочлен. А потом да, методы нахождения его корней. Если искать действительные корни — это Ньютона знаю и 2 разные вариации после метода «перебрать все точки с шагом 1/n и определить точку смены знака».
+5
Заглянул в статью, ее название несколько вводит в заблуждение. Формула связывает квадрат модуля собственного вектора с собственными числами матрицы и ее миноров. То есть, она всё же не позволяет, зная собственные числа, легко вычислить собственный вектор целиком.
+2

Всё же в статье написано про возможность выразить квадрат модуля j-ой компоненты i-го единичного собственного вектора через другие собственные числа и миноры матрицы.


То есть это позволяет просто перебрать 2^n вариантов i-го собственного вектора.

+1
Да, я неправильно написал про квадрат модуля собственного вектора (сама по себе это бессмысленная величина, поскольку собственный вектор определяется с точностью до скалярного множителя), там действительно квадрат модуля компоненты. Но, насколько я понимаю, в общем случае у эрмитовой матрицы собственные векторы не обязательно вещественные, поэтому, зная квадраты модулей компонент, перебором 2^n вариантов сам вектор не восстановить.
0

Да, тут вы правы.


Я почему-то воспринял вот эту фразу как указание на то, что они работают в вещественных числах, а тут речь идёт только о собственных числах: "If A is an n×n Hermitian matrix, we denote its n real eigenvalues by λ1(A),..., λn(A)."

0
Это свойство эрмитовой матрицы:
У эрмитовой матрицы все собственные значения вещественны

И, заодно, жорданова форма диагональна, т.к., как я понимаю, должна оставаться эрмитовой.
+1

Кажется, значение результата сильно преувеличивают. Плюс автор оригинальной статьи явно лукавит — то ему не нужна оригинальная матрица, чтобы найти собственные вектора (это в общем случае являлось бы явной ложью), то уже вдруг матрица должна быть эрмитовой и нужно знать собственные числа минорных матриц, а это значения, явно зависящие от самой матрицы, не только от её собственных чисел.
Как уже было сказано в предыдущих комментариях, многое в статье вводит в заблуждение. Грустно, при большей внимательности к математическим деталям могла бы получиться действительно интересная статья, но вышла, увы, обычная жёлтая пресса.

0

Я правильно понимаю, что если у матрицы есть одинаковые собственные значения, то знаменатель формулы в 0 обращается?

0
Тогда нужно глянуть формулу 3.6 и понять, может ли дискриминант стать нулевым.
+1
Эти осцилляции описывает чрезвычайно сложная матрица размера 3х3.

Это сарказм? Или пытались сказать что-то иное?
0
Может там каждый из 9 элементов матрицы — «трехэтажная» формула?
0
Не понял в чем новизна формулы? Это же древняя элементарная вещь.
Only those users with full accounts are able to leave comments.  , please.