Mathematics
Comments 75
+1
Я не математик, но статью воспринял, как «число 1 формально соответствует определению простого числа, кроме того оно имеет еще ряд дополнительных интересных „свойств“».
Не знаю, как по мне, наличие каких-то дополнительных опций не повод исключать число из простых.
Это как сказать: смартфон — это не телефон, у него конечно есть опция разговора, но ведь он еще умеет фотографировать, а в классическом понимании у всех телефонов есть только опция разговора.
+5
В поисках глубинных причин, мне кажется, автор забыл упомянуть одну сугубо практическую: если единицу не исключить из числа простых, то для нее придется делать исключение не только в основной теореме арифметики, но и во многих других местах, где простые числа используются
+5
Складывается ощущение, что практическая причина, как раз единственная и есть
+6
Проще отрефакторить в одном месте, чем потом плодить if-ы в сотне методов. Логично.
+4
Наоборот. Исправление в одном месте — это более удобная абстракция. А исправления во многих местах — костыли.
+1
«число 1 формально соответствует определению простого числа, кроме того оно имеет еще ряд дополнительных интересных „свойств“»

Соответствует или нет — зависит только от определения. Если в каких-то случаях (пример в статье про множества с бесконечным количеством обратимых элементов) удобнее считать простыми только необратимые элементы, а во всех остальных это не играет роли, то почему бы не использовать одинаковое определение везде? Собственно, я так понимаю, что современное определение простого числа как раз учитывает эту особенность и единица из множества простых исключается.
Ну да, можно сказать что причина практическая, но ведь в этом и есть суть определения — им должно быть удобно пользоваться.
0
Математика все-таки не субъективная наука, не округляем же мы Пи до 3.0 что бы удобнее пользоваться было. Потому мне собственно и не понравился подход.
Да я примерно понял все за и против в статье, но было бы неплохо все таки формализировать понятия и определения.
+2
Определения — это не что-то отлитое в граните, всякое определение кто-то однажды придумал для того, чтобы им воспользоваться. Здесь и возникает вопрос удобства. Если можно использовать другое определение без существенной потери смысла, но при этом новое определение удобнее — почему нет?

Пи — это просто обозначение (не определение), оно здесь ни при чём. Хотя и утверждение про «мы же не округляем» тоже неверно само по себе, потому что во многих случаях всё-таки округляем.
0
потому что во многих случаях всё-таки округляем.
А в каких не округляем?
+1
Ну в алгебре-то понятно, что ничего не округляют. Но такие равенства ведь не численно получены.
+5
Кстати, насчёт биологии и пи…
Читал на просторах интернета:

(Приписывается этому товарищу: vk.com/kknop
типа копирайт соблюдён)

В незапамятные времена участвовал в конкурсах работ МАН (Малой Академии Наук). Сам по математике, но однажды оказался зрителем на докладе в секции биологии. Работа была посвящена изумительному наблюдению, подкреплённому большим числом замеров: окружность любого муравейника примерно втрое длиннее его диаметра.
0
Никто не запрещает иметь определение множества, включающего и простые числа и 1, но на него не будут распространяться некоторые свойства множества простых чисел, а также будут распространяться некоторые другие.

В этом плане нет субъективности, названия определений придуманы людьми, математических противоречий они не создают.
+1
Складывается ощущение, что практическая причина, как раз единственная и есть

А разве нужны ещё какие-то причины? В математике очень многое делается просто для удобства и для консистентности рассуждений.


Если хочется с кем-то похоливарить, можно, например, вспомнить споры насчёт того, чему равно 0ⁿ при n=0. :) И таких примеров достаточно много.

+1
А в чём холивар? Это вполне явно запрещённая операция в стандартной аксиоматике действительных чисел.
0

Процессоры с вами не согласны. :)


А вообще, потому в математике и не используют обычно, так как единственного удобного обобщения нет, как в случае, например, с возведением чисел в дробную степень.

0
Вообще да, я сначала ляпнул не подумав, а потом задумался. Действительно, это не связано напрямую с аксиоматикой, скорее с разрывностью функции в этой точке.
0
чему равно 0ⁿ при n=0
Вероятно, чаще это можно определить как равное нулю, а x^0 = 1 при х = 0 (ну почти -_-).
Остаётся решить, к чему относится 0^0 (или запретить такое совсем).
0
Смартфоны как раз формально были телефонами, а вот то что сейчас на рынке — ранее именовалось комуникаторами.
+1
Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя.


Сами определение выдумали? Википедия, конечно, не самый авторитетный источник, но все же:

A prime number (or a prime) is a natural number greater than 1 that cannot be formed by multiplying two smaller natural numbers

Просто́е число́ — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя[

math.wikia:
Просто́е число́ — это натуральное число, больше единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя


Кажется, вы взяли за основу неверное определение и на его основе начали что-то выдумывать…
+2

Это проблема курицы и яйца — естественно, сейчас в Википедии и других современных источниках определение, исключающее единицу из числа простых

0

"… каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1594827×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это"


А тогда произведением каких простых чисел записать любое простое число?
2, 3, 11, 29?

+1
Произведение из одного элемента: самого простого числа. Примерно как SUM(1)=1 в SQL.
+2

Да, вполне себе практикуется, когда надо перемножить произвольное число членов. С суммой аналогично, например, сумма квадратов чисел от 1 до n:



Тут вполне разумно считать, что для n=1 эта сумма равна своему единственному члену

0
Сумма все же несколько другое, она представляет собой сложение всех элементов. А можно ссылку, где применяется произведение из одного числа, без указания множителя? Т.к. произведение подразумевает «взять некое число N раз».
0

Почему сумма — это другое? Сумма и произведение отличаются только операцией, которая «расставляется» между значениями.

0

А степень подразумевает «умножить некое число N раз». Тем не менее, думаю вы не будете спорить, что дробные или отрицательные степени очень даже практикуются в математике

+2
То есть сумма/произведение принимают в качестве аргумента список.
Если он пуст, возвращают "нейтральный элемент" этой операции.
Это, кстати, отвечает на вопрос, произведением каких простых чисел является единица: никаких (пустой список).
+1
Думаю, все пошло от некорректного (или устаревшего в связи с признанием 1 непростым) определения. В английском варианте основная теорема арифметики имеет как раз уточнение, отвечающее на ваш вопрос (wiki):
every integer greater than 1 either is a prime number itself or can be represented as the product of prime numbers

+1

Попробуем определить простые числа так:


Простые числа это натуральные числа которые не делятся на другие простые числа.


Единица как минимальное натуральное не делится на другие числа, значит оно простое, а дальше, раз все другие числа делятся на единицу, то других простых чисел, кроме единицы, нет. Приехали.


Наша попытка дать определение провалилась. Ведь это не определение, а свойство простого числа. Если взять второе свойство — не быть единицей, то определение будет в том, что у простого числа два представленных свойства. И тогда все нормально. 2, 3, 5, 7, ...


То есть, свойство простого числа не быть единицей обязательно.

-1

Просто нужно ввести 2 типажа:


  • trait Prime {} и
  • trait One : Prime {}.

Или даже 3:


  • trait PrimeBase {}
  • trait One : PrimeBase {}
  • trait Prime : PrimeBase {} — для определений, которые к единице неприменимы. В общем-то сейчас так и сделали, просто почему-то не сказали об этой явно, и в разных контекстах возможно под словосочетанием "простое число" имеют ввиду один из этих 3-х типов.
0
в разных контекстах возможно под словосочетанием «простое число» имеют ввиду один из этих 3-х типов.
Насколько мне известно, нет. Честно говоря, я не могу сходу придумать естественных примеров, когда включение единицы в простые числа сделает что-то проще. Ну, кроме определения простых чисел.
0
Насколько мне известно, среди математиков-специалистов споров нет. Я могу, конечно, ошибаться, я так и не стал настоящим математиком, и в мир труъ-науки заглядываю одним глазком. Но все споры на эту тему, которые слышал лично я, происходили с участием людей, не изучавших математику дальше школьной и того странного предмета, который называется «Высшей математикой» в вузах.
0
Да какой там «странный предмет»? Просто даётся сперва семестр линейной алгебры, а потом три семестра мат.анализа. А в зачётку все четыре семестра пишут одно и то же, не иначе, чтобы не заморачиваться. Ну и кафедра называется «Высшей математики» — понятия не имею, зачем в тех. ВУЗе отдельные кафедры высшей и элементарной математики (нам элементарную не читали).
0
А что за «элементарная математика»?
У нас была вышка и прикладная.
На прикладной что-то про системы массового обслуживания рассказывали, стохастические системы и матстатистику.
0
Значит я что-то путаю. По крайней мере были преподы по элементарной математике. Я с таковыми общался, они так себя называли, но нам они не читали ничего.
0
У нас (на мехмате) был курс по преподаванию элементарной математики. По сути — учили вести математический кружок для школьников.
0
А вот что меняется от того является ли единица простым числом или нет? То есть какой практический толк от спора?
+1

Какие-то теоремы чуть проще формулировать, если единицу простым числом не считать. Например, основная теорема арифметики, которая упоминается в статье.


Какие-то теоремы про простые числа тогда также хорошо обобщаются на более общие структуры вроде целых чисел (а не натуральных) и гауссовых целых чисел. Получаем одно общее определение — удобнее работать.

0
Несколько не по теме: о формуле простых чисел. Многие серьезные математики (и не только) занимались этой проблемой, но до сих пор — вопрос открытый. Запомнилась одна из последних попыток (автора не помню): 6i — 1, 6i + 1, где i = 1,2,3….
Дело, казалось бы, за малым: убрать из ряда квазипростые числа — произведение простых чисел. Например, 5 * 7 = 35 — не простое число.
Интересно, будет в ближайшее время найдена формула простых чисел? Какие прогнозы?
0

Определить "формулу" мы можем либо очень узко (вроде "можно использовать только арифметические операции", тогда там вообще ничего разумного не сделать), либо так, что получается выражать произвольные алгоритмы. А написать программу для вычисления простых чисел, конечно же, можно. Про это есть прекрасный ответ на английском от Alon Amit на Quora.


Например, вот формула, которая выдаёт 1, если число простое, и 0 иначе (взята из ответа выше):



Как работает: надо проверить, что для каждого числа от 2 до n-1 выражение n%d не равно нулю. Другими словами, все выражения вида d-(n%d) равны нулю. А деление на d с округлением вниз — это как раз такой "if". То есть внутренняя сумма — это количество делителей числа n от 2 до n-1.


Если захотим выразить простое число под номером n, это тоже легко делается через P(n):



Тут мы просто нашли минимальное m такое, что от 2 до m встречается ровно n простых чисел.


Каким-то аналогичным образом можно, например, закодировать любой алгоритм в виде многочлена, в том числе для простых чисел.

0
Каким-то аналогичным образом можно, например, закодировать любой алгоритм в виде многочлена, в том числе для простых чисел.

Понятно — любое простое число можно записать с помощью полинома. На сегодня — это полином, содержащий 26(!) переменных и имеющий степень 25(!).
А есть уверенность в том, что с увеличением вычислительных возможностей компьютеров не придется, например, добавлять в полином 27-ю переменную?
0

Какое отношение свойства физических объектов ("вычислительные возможности компьютеров") имеют отношение к абстрактным объектам из математики (тот самый полином Матиясевича)?

0
Полином Матиясевича — habr.com/ru/news/t/406485/#comment_18361061.
Разные теоремы, например, теорема Ферма помогают отсеять множество псевдопростых чисел.
Тест на простоту
Я не о полиномах и тестах на простоту, которые, кстати, носят вероятностный характер.
В той же Википедии встречается мысль, что ряд простых чисел нельзя отобразить формулой с одной переменной. Если это доказано, то кем и когда?
0

Есть и детерминированный (не вероятностный) тест на простоту.


В той же Википедии встречается мысль, что ряд простых чисел нельзя отобразить формулой с одной переменной. Если это доказано, то кем и когда?

Там не про формулы сказано, а про очень специфичное существование многочленов: не существует неконстантного многочлена (т.е. принимающего хотя бы два различных значения) от одной переменной, который при всех целых значениях своего аргумента выдаёт только простые числа.


Доказательство есть в английской Википедии: пусть есть многочлен P(x), который принимает только простые значения. Тогда, в частности, P(1) простое, обозначим его p. Тогда P(1) сравнимо с 0 по модулю p. Однако тогда для произвольного целого k P(1+kp) тоже сравнимо с 0 по модулю p, то есть тоже делится на p. Но если P(1+kp) простое, что P(1+k*p)=p. То есть многочлен в бесконечном количестве точек равен p, следовательно, многочлен — константа.

0
То есть многочлен в бесконечном количестве точек равен p, следовательно, многочлен — константа.

На практике такое «доказательство» проверить невозможно, поскольку проверка бесконечного количества точек требует бесконечного количества времени.
+1
Если честно, мне кажется, вы написали какую-то херню. Но возможно, она имеет смысл в контексте некоторой теории, о которой вы забыли рассказать собеседникам.

Что для вас значит «проверить доказательство»? Для меня это может означать, допустим, «перевести его на язык формальной логики, а затем, последовательно применяя правило обобщения и modus ponens, свести его к некоторому подмножеству принятой нами аксиоматики». Очевидно, у вас какое-то другое понимание этого. Пожалуйста, поделитесь им.
0
С моей стороны было бы глупо ставить под сомнение публикацию в Википедии. Конечно, математика там корректна!
Но, повторюсь, на практике от такого доказательства — ни холодно, ни жарко. Это определение простого числа не дает ответа ни на одну из многочисленных открытых проблем по теории чисел, которые перечислены там же.
Успехов!
0
Минутку, а где здесь было дано _определение_ простого числа? Было показано, что определённый способ их _нахождения_ невозможен (и это, как минимум, сразу помогает перенести внимание на другие подходы).
0
Минутку, а где здесь было дано _определение_ простого числа?

Извините, ошибка.
+1
Интересно, будет в ближайшее время найдена формула простых чисел? Какие прогнозы?
У Джона Дербишира есть неплохая книга на эту тему — «Простая одержимость»
0
У Джона Дербишира есть неплохая книга на эту тему — «Простая одержимость»

Спасибо! Ваша ссылка — подтверждение моей смутной догадки, что проблема поиска закономерности простых чисел на сегодня не закрыта.
А многотысячные призы за очередное новое простое число от разных фирм и фондов — это еще один аргумент: проблема есть!
+1
Я бы не сказал, что это какая-то отдельная проблема.

Когда я был юн, я, как любой нормальный ребёнок, пытался найти формулу простых чисел. Потому что школьная математика приучила меня: для всего есть простые формулы.

Затем я окунулся в дебри высшей математики. Я познакомился с невычислимыми функциями, неберущимися интегралами, нерешаемыми в квадратурах диффурами и прочим. И я обнаружил удивительную вещь: отсутствие явной, «школьной» формулы — это, в общем-то, норма. Настоящая математика полна т.н. «специальных функций», которыми пользуются как обычными. И простые числа — просто очередная специальная функция из ℕ в ℕ. Может, у них есть какая-то «формула», которая вас устроит. Скорее всего, её нет. И в этом не будет совершенно ничего необычного.

Сами по себе простые числа математике, разумеется, интересны. И если бы «формула» была, это было бы круто. Но надежда на её наличие следует лишь из интуиции школьника, переобученной на нерепрезентативной выборке.
0
И простые числа — просто очередная специальная функция из ℕ в ℕ. Может, у них есть какая-то «формула», которая вас устроит. Скорее всего, её нет. И в этом не будет совершенно ничего необычного.

Вы упрощаете мое понимание задачи.
Моя позиция заключается в том, что данная задача будет решена тогда, когда это признает научное сообщество. И неважно — это будет зависимость с одной переменной, полином или что-то принципиально другое. Решение этой задачи даст ответы на многие частные вопросы. Например, конечное или бесконечное множество простых чисел?
И, наконец, приведу историческую аналогию:
Большая теорема Ферма, сформулированная в средневековье, была доказана лишь в конце прошлого века.
Я оптимист и верю, что рано или поздно это событие состоится и в теории простых чисел.
Успехов!
+2
Например, конечное или бесконечное множество простых чисел?
Батенька, бесконечность множества простых чисел доказал Евклид ещё до рождества Христова. И это доказательство понятно даже детям, его в седьмом, кажется, классе в школе проходят.

Я не упрощаю ваше понимание задачи, я в нём сомневаюсь.
0
С таким трудом продвигается поиск новых простых чисел, поэтому подумалось — проблема конечности-бесконечности не решена.
Ошибался.
0
Больше скажу — есть асимптотические оценки на их частоту появления: если ничего не путаю, среди n первых натуральных чисел будет примерно n/ln n простых.
0
это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя
Если честно, никогда не слышал определения простого числа без упоминания «больше единицы».
+1
Ноль делится и на другие числа.
А на себя он делится «на грани фола» (получается любое число, поэтому это обычно запрещено).
0
Ноль делится и на другие числа.

Позор мне! Попытался пошутить про деление на ноль и так прокололся. :(

+1
KISS.
«Everything Should Be Made as Simple as Possible, But Not Simpler.»
Простые числа имеют ровно 2 делителя: 1 и само число — это просто.
1 имеет только один делитель — это слишком просто, поэтому оно не простое.
0

Два делителя простого числа имеют разные определения:


  1. точно определенная константа: "1"
  2. самореференция: "само число"

Делители 1-цы тоже два и соответствуют этим определениям:


  1. точно определенная константа "1"
  2. само число: "1"

То что эти два делителя совпадают несущественная случайность, так как они выведены из разных независимых определениях.


Если хотим исключить 1-ца из простых, то эти две определения надо усложнять и делать зависимыми. Например "2. само число, но не 1-ца". Для этого надо иметь очень веские основания.


Кстати, мне кажется, что "проблемы" с основной теоремой арифметики иллюзорны и устраняются простым уточнением определения.

0
Начиная читать статью, думал, что ответ будет представлять собой что-то вроде этого:
Тождество Эйлера для дзета-функции представляет собой произведение, берущееся по всем простым числам. Единица в это произведение не входит, следовательно…
0

Какой-то математик, считающий, что 1 — простое, легко может в своей монографии записать тождество с припиской p > 1. Так что такой аргумент не очень подходит.


Но то, что отсутствие единицы среди простых делает многие подобные формулировки проще — это аргумент.

Only those users with full accounts are able to leave comments. , please.