Mathematics
Popular science
Physics
Comments 24
+13
Автору заслуженный плюс. Но, нередко, хорошая, но сложная статья получает мало комментариев — на самом деле трудно что-то добавить тем (многим), для кого материал нов. Спасибо!
+3
Смутное чувство что при описании мозаик Пенроуза перепутаны понятия повторяемость и периодичность.
+1
А готовые сайты с возможностью интерактивно поиграться и помасштабировать такие замощения вам не попадались? Ещё здорово было бы наладить выпуск таких плиток для замощения пола IRL. Но. думается мне. уже кто-то подсуетился.
+8
Клинический профессор математики
— норм должность.
+2
А существует ли прикладное применение мозаик Пенроуза в криптографии?
0
Спасибо! Очень интересно! Сказать спасибо по-другому кармы не хватает, увы.
0
Спасибо за статью. Совмещение визуализации с изложением математической сути — вот чего мне всегда не хватало при изучении математики. В графическом виде некоторые математические курьезы, интересные явления и абстракции завораживают гораздо больше, чем в численном.
Люди, равнодушные к математике, глухие к ней, всегда казались мне калеками! Они беднее на целый мир — такой мир! Они даже не догадываются, что он существует! Математическое построение — это безмерность, оно ведёт, куда хочет, человек будто создаёт его, а в сущности лишь открывает ниспосланную неведомо откуда платоновскую идею, восторг и бездну, ибо чаще всего она ведёт в никуда…

Станислав Лем
«Формула Лимфатера»
0
У меня у одного возникло желание иметь такую кафельную плитку в доме?
+2
Не знаю на счёт кафеля, но в нескольких местах такая плитка есть на полу. Например, в Оксфорде (на улице, перд входом в «Andrew Wiles Building») и в University of Western Australia, на полу.
+2
Спасибо! Теперь буду знать применение пятиосевой симметрии. Очень познавательно. Паркет из таких плиток станет золотым в силу своих пропорций ;)
Жаль, что карма не позволяет плюсануть.
+1
Мне нужен математик. Вопросы:
1) Каждая фигура имеет уникальный угол поворота?
2) Получается, эти узоры не что иное как графическое представление метода Кантора?
3) Самый важный вопрос. Насколько это дело формализуется и вычисляется? Если у меня есть некая плитка, как можно получить другую плитку на расстоянии n шагов. От чего зависит результат, только от одной плитки или от соседних тоже.
У меня давно зреют идеи иррациональных вычислений. Только сейчас подумал, что можно использовать Пенроуза
+1
1) Углы поворота кратны 36 градусам.
В статье «Тридцать шесть градусов красоты» представлена вся математика десятиугольной симметрии, принцип построения мозаики, все её виды, и текст готовой к запуску JS-программы. А в комментариях ссылки на интерактивные демонстрационные файлы.

3) Мозаика пенроуза повторяет принципы комбинации на различных уровнях масштаба. Причем, переход вниз, на более частный уровень однозначный, а при переходе вверх, на более общий уровень, существуют варианты, связанные с тем, что некоторые локальные комбинации могут входить в различные глобальные.
На удалении положения плиток зависит от того, как они входят в плитку на общем уровне, при последовательном определении каждого общего уровня могут быть варианты.

2) Мозаику пенроуза можно построить симметрично, и центр построить как «левый» центр, или как «правый» центр. В общем смысле это как выбрать число, цифры которого будут выбирать какой вариант построения выбран при расширении. «Правый» и «левый» это как «все цифры после запятой нули» и «все цифры после запятой девятки». Но существуют и промежуточные варианты, и их столько же, сколько самих чисел. И все они не могут быть наложены друг на друга потому, что как любые два различных числа имеют первую цифру с которой они различаются, так и различные мозаики начиная с некоторого уровня масштабирования перестают совпадать.
0
Только начал интересоваться, поэтому туплю. Короче, в этих мозаиках непериодические уровни, несмотря на то, что отдельные элементы имеют трансляционную симметрию, правильно я понял? Или вся мозаика в целом непериодична, то есть имеется абсолютная точка отсчета — центр, так? Просто мне трудно понять в чем именно заключается непериодичность.
Еще немного бреда: можно ли перевести мозаику в некую формальную систему? Начальное расположение — аксиомы. Тайлы — правила вывода. А всё что получается — теоремы.
Меня чет понесло в дебри, жаль не учился на математика :)
0
Всё вместе непериодично, но попадаются небольшие одинаковые куски.
Вот очень упрощённый пример: ABCDABEFGHI, кусочек AB повторился, но весь текст не периодичен.
0
Хм, нет, я показал небольшой кусочек последовательности, а вы её просто повторили. Продолжение же моей последовательности не такое. К примеру, пусть будет ABCDABEFGHIJKLMNZ.

Если на этом примере не понятно, то вот другой. Число пи — иррациональное, с этим, полагаю, вопросов нет. В числе пи последовательность не повторяется и не имеет патерна (иначе бы пи было дробным, а не иррациональным). Но, тем не менее, в числе пи можно найти одинаковые куски. Вот пример:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
44592307816406286208998628034825342117067982148086513282306
64709384460955058223172535940812848111745028410270…
Патерн «59» тут можно найти 3 раза. Можно поискать более длинные повторения и они найдутся. Но пи всё равно остаётся иррациональным, «непериодическим».
Надеюсь, с таким примером понятнее.
0
А вот тупой вопрос — можно ли, используя факт наличия повторяющихся кусков, замкнуть мозаику Пенроуза на торе например?
+1
Нет (если она таки не имеет периода), поскольку если есть способ замкнуть мозаику Пенроуза на торе, то можно развернуть поверхность тора в периодически замощенную плоскость, что противоречит имеющейся информации об отсутствии периода у мозаики Пенроуза. Хотя если строить именно периодические структуры (ромбы из «змеев» и «дротиков» и ими мостить тор), то можно, но это уже не мозаика Пенроуза.
0
Думаю, можно, но придётся потрудиться. Идея такова: мозайка не имеет периода и повторений (глобально), но локально одинаковые куски можно найти. Значит вероятно можно найти что-то похожее на прямоугольник (с ломаной линией вместо прямых отрезков). Прямоугольник нужен такой чтобы его противоположные отрезки друк к другу подходили.
А тор — это прямоугольник свёрнутый в рубочку, которую потом опять свернули. Не уверен, что без рисунка идея ясна, но как-то так.

Это всё, если тор не бесконечный, конечно.
0
Условно говоря можно взять одну плитку, ромб, и раскатать по тору, но при чём ту мозаика пенроуза, которая в принципе не имеет периода повторения
?
0
Мозайка не при делах, да. Речь о том, что можно такой (немного кривой) подходящий ромб можно по идее найти в этой самой бесконечной мозайке.
0
Целые числа имеют ограниченное количество цифр. Дробные числа могут иметь бесконечность цифр. Место в мозаике описывается некоторым числом. Оно дробное, но мы привыкли, что чем дальше цифра в дроби, тем меньше она влияет, а здесь наоборот: чем дальше цифра (означающее выбор варианта группировки элементов при масштабировании), тем на большем масштабе её влияние. И хорошо, что существуют границы восприятия масштаба и мы можем на некотором этапе остановиться, и изобразить мозаику. При этом совершенно без понятия где находится центр, положением относительно которого должно было бы быть задано место изображаемого фрагмента. Но всё же, положение задано числом, с приемлемой точностью.
Only those users with full accounts are able to leave comments. , please.