Victor_koly Feb 17 2019 at 18:53

Несколько слов о физических теориях как приближениях реального мира

12 min

6.6K

Предисловие

Решил написать небольшую статью, рассматривающую современный уровень развития некоторых физических теорий (в моём уровне понимания) в контексте сравнения с теориями, названными классической нерелятивистской физикой.

В первую очередь хочу указать, что классической нерелятивистской физикой я называю часть теоретической физики, которая была создана в второй половине XVIII — первой половине XIX века Лагранжем, Гамильтоном и позже расширены другими физиками в течении XIX века (я тут не упоминаю имена этих физиков, которые могли способствовать приведению теории и её мат. аппарата к современному виду, включая уроженцев Российской империи).

Классическая нерелятивистская механика и теория гравитации

Основы классической механики были заложены И. Ньютоном, сформулировавшим свои «3 закона» в труде «Математические начала натуральной философии» (год издания — 1687), хотя следует упомянуть принцип относительности, сформулированный Г. Галилеем в 1632 году (тоже использую год издания).

В самом простейшем случае можно сказать, что механика Ньютона (как и Лагранжа, и Гамильтона) может быть сформулирована в виде:

$\frac{dp}{dt} = F,$

где p — это импульс, в общем случае — так называемый «обобщенный импульс», а F — сила. В отсутствии магнитного поля (а слабое или сильное взаимодействие я здесь тем более не упоминаю) эта сила может быть консервативной. Консервативной называется такая сила, работа которой на любой траектории не зависит от формы траектории и скорости движения (это в том числе отсылка к релятивистской динамике, фактически получается, что в СТО не существует понятия «консервативная сила»).

Для консервативных сил упомянутый выше закон может быть переписан в виде

$\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial U(x)}{\partial x},$

где x — обобщенная координата, а p — соответствующий ей обобщенный импульс.

Подобная формулировка «2 закона Ньютона» является более общей, т. к. она получается при записи уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона. Уравнения Лагранжа и Гамильтона выводятся из принципа наименьшего действия. Действие — интеграл, который имеет размерность Дж *с и берется между 2 конфигурациями системы, то есть наборами координат и импульсов (x,p). В общем случае он выражается разными способами для разных подходов к классической механике.

Если говорить о классической теории гравитации, то она формулируется в виде закона гравитации Ньютона (через силу, а можно и записать через потенциальную энергию)

$F =G\frac{mM}{r^2},$

где сила действует в направлении притягивающего тела (этим сила гравитации отличается от электрической силы, которая создает отталкивание для одинаковых зарядов).

Формулировка закона гравитации через потенциальную энергию может быть выражена простейшей фразой:

Сумма кинетической энергии T(v) и потенциальной энергии U(r) остается постоянной все время движения частицы (системы частиц) вдоль их траектории.
Из этого закона можно получить простейшее уравнение:

${\frac{m}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2} + U(r) = E$

В том случае, если мы смогли свести задачу к 1-мерной координате r (расстояние между центрами масс этих 2 тел) — мы можем записать решение задачи через интеграл:

${\left(\frac{dr}{dt}\right)^2} = {\frac{m}{2}}(E - U(r))$

Дальнейший метод решения — взять корень и дальше получаем простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Тут возникает 2 проблемы:

В общем случае произвольного потенциала U(r) мы можем вообще не суметь взять этот интеграл.
Вместо привычного решения задачи r = r(t) мы получаем решение t = t(r).

В окончании этого раздела хочу добавить, что до создания А. Эйнштейном своей формы теории относительности во второй половине XIX века Дж. Максвелл обобщил законы для электрического и магнитного поля (которые начали формулировать за 35 лет до этого, но по отдельности). До этого были записаны такие теор. формулы, как формула силы Лоренца.

Роль Хевисайда в создании самого понятия '4 уравнения Максвелла'

Хевисайд упростил для использования учёными оригинальные результаты Максвелла. Эта новая формулировка дала четыре векторных уравнения, известных теперь как уравнения Максвелла. Хевисайд ввёл так называемую функцию Хевисайда, используемую для моделирования электрического тока в цепи. Хевисайд разработал понятие вектора и векторный анализ. Хевисайд создал операторный метод для линейных дифференциальных уравнений.

Сила Лоренца (деленная на электрический заряд частицы) тут интересна тем, что является по сути приближением для понятия «напряженность электрического поля E в системе отсчета частицы, движущейся со скоростью v» для скоростей v, много меньших скорости света.

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности (СТО) была создана в 1892-1905 годах трудами Х. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Описывает инерциальные системы отсчета (ИСО), строго говоря её постулаты нарушаются сразу, как только система отсчета перестает быть инерциальной (характер движения системы перестает быть равномерным и прямолинейным). В квантовой теории поля (по моему скромному пониманию) работает такой «закон», что после нахождения СО в состоянии неинерциального движения первый из упомянутых ниже постулатов перестает выполняться вообще, даже на время будущего равномерного и прямолинейного движения.
Наверное все помнят постулаты СТО, из которых выводятся преобразования Лоренца, но я сформулирую их следующим образом:

Формулировка всех законов физики не зависит от того, находится система в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Инвариантность фазы электромагнитной волны относительно перехода в другую ИСО, также известная как сохранение квадрата интервала между двумя событиями.

Из необходимых для дальнейшего рассмотрения формул упомяну следующую:

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \:\:\: (1)$

Она описывает связь между энергией частицы, импульсом и массой покоя.

Одно из следствий СТО — частица с массой покоя выше 0 не может достигнуть скорости света, хотя ещё энергия может расти выше «классического» предела

$E = {\frac{mc^2}{2}}$

Данное утверждение согласуется с тем фактом, что элементарная частица может иметь кинетическую энергию, которая существенно больше этой величины.

И конечно следует упомянуть метрику Лоренца, также известную, как метрика Минковского:

$display$

Через эту метрику можно ввести понятие «длина 4-вектора», к 4-векторам относятся:

$4-координата \: (t, r),\: 4-скорость \:({\Gamma}, v {\Gamma}),\: 4-импульс \:(E, p)$

В этом случае я применил систему обозначений, при которой время измеряется в метрах, а скорость света равна единице. То есть, «хорошая» запись 4-вектора требует, чтобы он состоял из 4 величин одинаковой размерности.

Важное свойство любого 4-вектора — его значение при переходе в другую систему отсчета преобразуется так же, как соответствующие компоненты 4-координаты.

В электродинамике существует такая величина, как 4-мерная плотность тока. Вектор 4-тока может быть записан в виде:

$J^ \mu = (c \rho, j)$

$J_ \mu = (c \rho, -j)$

Также следует упомянуть, что существуют ковариантные (как первая запись 4-тока) и контравариантные (как вторая запись) вектора. Переход между этими векторами осуществляется по формуле:

$J_ \mu = g_{\mu \nu}J^\nu,$

здесь применено соглашение Эйнштейна, которое означает, что в этой записи подразумевается суммирование по паре одинаковых индексов, расположенных в верху и внизу.

И так как статья о приближениях, конечно упомяну, как можно показать приближение СТО к механике Ньютона и как можно использовать. Из формулы (1) можно выразить энергию через импульс:

$E = ((mc^2)^2 + (pc)^2)^{\frac{1}{2}} = mc^2 * \left(1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}} \approx mc^2 \left(1+ \frac{1}{2} \left(\frac{p}{mc}\right)^2 - \frac{3}{8} \left(\frac{p}{mc}\right)^4\right)$

Кинетическую энергию можно выразить как разницу между полной энергией E и энергией покоя:

$T = E - mc^2 \approx mc^2 * \left(\frac{1}{2} \left(\frac{p}{mc}\right)^2 - \frac{3}{8} \left(\frac{p}{mc}\right)^4\right) \:\:\: (2)$

И в приближении p << mc получаем одну функцию для записи кинетической энергии через импульс:

$T = \frac{p^2}{2m}$

Без учета каких либо полей (электрических, магнитных, гравитационных и т.д.), создающих потенциальную энергию, эта формула может быть записана как частный случай функции Гамильтона (см. выше упоминание про механику Лагранжа и механику Гамильтона):

$H = \frac{p^2}{2m},$

при более общем случае

$H = \frac{p^2}{2m} + U(r)$

Не обойтись в теории относительности и без тензора энергии-импульса (тензор может быть записан в виде матрицы размерностью 4 на 4). Я запишу определение этого тензора:
Тензор энергии-импульса — симметричный тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи.

Есть формулы для компонент этого тензора самых разных веществ и полей, например — покоящейся жидкости или электромагнитного поля (то есть СТО оперирует электромагнитным полем как полем, обладающим плотностью энергии, потоком энергии и импульса). В последнем случае тензор энергии-импульса может быть записан через тензор электромагнитного поля F:

$T^{\mu \nu} = -\frac{1}{\mu _0}(F^{\mu \alpha}F_{\alpha }^{\nu} + \frac{1}{4}{\eta}^{\mu \nu}F_ {\alpha \beta}F^{\alpha \beta} )$

Как окончание этого раздела упомяну о понятии лоренц-инвариантности, точнее — случай применения к физическим величинам. Данное свойство определяют следующим образом:
Лоренц-инвариантностью называют свойство какой-нибудь величины сохраняться при преобразованиях Лоренца (обычно имеется в виду скалярная величина, однако встречается и применение этого термина к 4-векторам или тензорам, имея в виду не их конкретное представление, а «сами геометрические объекты»).

Величины, обладающие упомянутым свойством, называют инвариантами. Здесь упомянуто множество инвариантов СТО, некоторый интерес среди них представляет инвариантная масса.

Общая теория относительности

Сразу предупреждаю, что я не являюсь специалистом в этой части физики, так что напишу о том, про что слегка помню из курса физтеха и из разных источников, вроде Википедии.

В первую очередь следует упомянуть принцип общей ковариантности. Он является модификацией первого из упомянутых мною постулатов СТО и может быть сформулирован в следующем виде:

Математические уравнения, описывающие законы природы, должны не изменять своего вида и быть справедливыми при преобразованиях к любым координатным системам, то есть быть ковариантными относительно любых преобразований координат.

Отличие ОТО от СТО я хотел бы начать с того, что метрический тензор в ОТО получает отличие от вида тензора Минковского, при этом сохраняет как минимум одно его свойства:

$g_{ij} = g_{ji}^*$

где символ ^* я тут применил в смысле комплексного сопряжения. Конечно по определению не очень хорошо вводить метрику с комплексными элементами тензора, но физика не всегда оперирует действительными величинами, так что оставлю выражение в таком виде. В общем случае можно попробовать подставить в уравнения вообще любой (то есть не действительный) вид метрики, но Вы тогда можете получить комплексный тензор энергии-импульса. Все компоненты метрического тензора могут зависеть от координат, но при этом эти зависимости должны оставаться достаточно гладкими, так как тензор является решением дифференциального уравнения.

Понятие кривизны пространства-времени вводится в ОТО через такие понятия, как символы Кристоффеля и ковариантную производную (в необходимом мне смысле ковариантная производная записана здесь).

Тензор кривизны впервые введен немецким математиком Бернхардом Риманом в работе «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» ([1]), впервые опубликованной уже после смерти Римана. С помощью упомянутых выше символов этот тензор четвертого ранга можно записать в таком виде:

$R^\iota_{\sigma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^{\iota}_{\nu \sigma} - \partial_\nu \Gamma^{\iota}_{\mu \sigma} + \Gamma^{\iota}_{\mu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma} - \Gamma^{\iota}_{\nu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma}$

И достаточным условием того, что все компоненты тензора кривизны будут равны нулю, будет равенство нулю всех символов Кристоффеля:

$\Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma} = 0$

Тривиальным условием для выполнения этого будет диагональность матрицы g и условие для любой перестановки индексов

$\frac{\partial g_{\nu \sigma}}{\partial x_\lambda} = 0$

Теперь перейду к тому, как получить пространство-время с нулевым тензором кривизны, а точнее — тензором Риччи. Тензором Риччи называют свертку тензора кривизны по первому и последнему индексу:

$R_{\sigma \mu} = R^\nu_{\sigma \mu \nu}$

Забегая вперед скажу, что согласно уравнению Эйнштейна нулевой тензор Риччи может быть только в пустом пространстве (когда все компоненты тензора энергии-импульса равны нулю). В таком пространстве мы не получим гравитации по теории Ньютона. Желающие могут попробовать найти такую метрику, которая отличная от метрики Минковского, но сохраняет нулевой тензор Риччи. Возможно, что Вы откроете гравитационные волны.

Проведя свертку тензора Риччи по оставшимся 2 индексам мы получим скалярную кривизну:

$R = R^\nu_{\nu}$

Теперь перейду к самому уравнению Эйнштейна, также известному как уравнение Эйнштейна-Гильберта.

Кратко о роли Гильберта в создании уравнения Эйнштейна

Цитата из Википедии:

Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна. В ходе завершающей правки Гильберт вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна, добавил замечание о том, что уравнения поля можно представить и в ином виде (далее он выписал классическую формулу Эйнштейна, но без доказательства)...

При выводе уравнения гравитационного поля ученые применили 2 принципа:

принцип общей ковариантности
предположение о том, что в приближении слабого гравитационного потенциала уравнения механики должны сводиться к механике СТО с ньютоновской гравитацией

С учетом этого было получено, что действие гравитационного поля может быть функцией только 2 величин — скалярной кривизны R (в отсутствии гравитирующих масс и прочих энергий кривизна должна быть равна нулю) и определителя метрического тензора g (для метрики Минковского g = -1).

Эти утверждения я считаю доказанными учеными. Другие ученые могли вводить модификацию действия Эйнштейна, наиболее известный пример — теория Бранса-Дикке. Достаточных доказательств этих теорий в наблюдениях пока не получено. Желающие изучить саму теорию могут почитать например здесь.
С учетом введенных выше обозначений уравнение Эйнштейна можно записать в следующем виде:

$R^{\mu \nu} - \frac{1}{2}g^{\mu \nu} R + 8 \pi G T^{\mu \nu} = 0,$

где G — гравитационная постоянная. Краткий смысл уравнения можно сформулировать так:

Источником искривления пространства-времени является тензор энергии-импульса всей материи и энергии в этом пространстве.

В данном случае я не упоминаю темную энергию (космологическую постоянную), хотя и считаю её наличие в глобальных масштабах следующим из астрономических наблюдений.

Квантовая механика

Квантовая механика была создана физиками для описания микроскопических систем. Одним из первых достижений квантовой теории, подтверждавшейся в наблюдаемых данных, была полуклассическая модель атома Н. Бора, созданная в 1913 году. Я применю для записи уравнений квантовой механики такую вольность — обозначу приведенную постоянную Планка буквой h (вместо символа "h с чертой"). Постулат теории Бора, имеющий минимальное отношение к настоящей квантовой механике, это постулат о квантовании момента импульса электрона массы m на «орбитах» в атоме:

$display$

где n — натуральное число (в настоящей квантовой механике момент импульсам может быть 0, но это число n, называемое «главное квантовое число», является натуральным).

Дальнейшим этапом развития квантовой механики было формулирование Э. Шрёдингером уравнения, названного позднее его именем. Это уравнение записывается через особый оператор, называемый «гамильтониан». Оператор получатся из функции Гамильтона путем замены классического импульса на оператор импульса:

$p_x = ih \frac{\partial }{\partial x} ,$

где x — обобщенная координата, соответствующая классическому обобщенному импульсу p_x.

В общем случае уравнение Шрёдингера записывается для волновой функции (обозначается греческой буквой «пси») как нестационарное:

$ih \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left(- \frac{h^2}{2m} \nabla ^2 + U(x,t)\right) \Psi,$

здесь применен частный случай, когда в функции Гамильтона классической системы обобщенный импульс имеет вид обычного классического импульса. А для случая консервативных систем уравнение Шрёдингера может быть записано в стационарной форме, которая может рассматриваться как уравнение для нахождения собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона:

$\left(- \frac{h^2}{2m} \nabla ^2 + U(x,t)\right) \Psi = {E \Psi},$

где E — соответствующее собственное значение оператора.

Для рассмотрения перехода от квантовой механики к классической рассмотрим замену волновой функции в уравнении Шрёдингера на следующую переменную:

$\Psi = A exp \left(\frac{i}{h} S(x,t)\right)$

Уравнение Шрёдингера можно решать путем разложения функции S (имеющей размерность действия) по степеням постоянной Планка:

$display$

После подстановки функции S в уравнение получает следующий вид:

$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S }{\partial x}\right)^2 + U(x) - \frac{i h}{2m} \nabla ^2 S = 0,$

где константа A была сокращена.

Для получения уравнения классической механики (известного как уравнение Гамильтона-Якоби) нам следует указать, что величина действия S на любой классической траектории имеет величину много больше, чем постоянная Планка. После этого последний член уравнения может быть откинут.

При необходимости более точного решения уравнения применяется упомянутое выше разложение действия по степеням h. Функция S₁ находится как решение уравнения Гамильтона-Якоби, после чего подставляется в систему уравнений, полученную путем разложения уравнения по степеням h (то есть что левая и правая часть должна совпасть или при переносе в одну сторону коэффициенты условного полинома должны стать равны нулю).

Идеология приближенного решения уравнения Шрёдингера (точнее — нахождения поправок к уровням энергии) может быть сформулирована так:
Используя волновые функции невозмущенного гамильтониана H₀ и величину возмущения H₁ (равную H — H₀) путем нескольких итераций можно найти новые уровни энергии E.

Гамильтониан физической системы представляется в виде:

$display$

где… подразумевают, что в разных случаях нам требуется учесть разное число поправок, которые, как правило, имеют разный порядок малости. Эти поправки к гамильтониану называются возмущениями, а волновые функции гамильтониана H₁ должны быть точно известны. Соответствующая теория решения уравнения называется "теория возмущений".
Если нам известны волновые функции гамильтониана H₁, то они образуют базис линейного пространства (ЕМНИП). Это означает, что вообще любая волновая функция может быть представлена в виде линейной комбинации волновых функций невозмущенного гамильтониана. С учетом этого можно показать, что первый порядок теории возмущений приводит к изменению энергии уровня под номером n на величину

$dE_n = < \Psi_n |H_2| \Psi_n>$

Данное выражение называется матричным элементом оператора H₂ по волновым функциям, соответствующим состояниям с номерами n и n.

Самое первое (по времени открытия) и (ЕМНИП) самое большое по величине отклонение уровней энергии атома водорода от предсказания нерелятивистской квантовой механики может быть получено при условии подстановки в виде возмущения гамильтониана системы оператора кинетической энергии в форме формулы (2):

$dE_n = < \Psi_n |mc^2 * \left( - \frac{3}{8} \left(\frac{p}{mc}\right)^4\right)| \Psi_n>$

Вы могли увидеть, что эта величина отрицательна. Тут есть 2 замечания. Во первых, оператор импульса здесь соответствует релятивистскому импульсу, который может превысить mc — значит в релятивистском случае растет и первый член в разложении кинетической энергии. Во вторых, к тому моменту, как формула 2 начинает падать с ростом импульса, Вы точно знаете, что должны были учесть:

следующий член разложения;
следующий порядок теории возмущений;
множество поправок к физической модели (размер и форму ядра, магнитный момент электрона и ядра, приведенную массу электрона).

По моим весьма условным прикидкам такой метод усложнения модели может работать для расчета энергии уровня энергии 1s на ряде химических элементов от водорода до лантана (включительно), а для более высоких уровней энергии — и дальше (с учетом поправки на то, что в расчете например второго порядка теории возмущений используется значение этого самого уровня, то есть уже идет погрешность). Для этих атомов уже требуется учитывать уравнение Дирака, а для наиболее точного (на современном уровне развития) отображения реального мира необходимо учитывать квантовую теорию (электромагнитного) поля.

Вместо послесловия

На этом я заканчиваю свой обзор, так как он приблизился к границам моей области знаний. Но наука не стоит на месте. За 100 лет после формулировки ОТО были открыты гравитационные волны, а за 100 лет после формулировки постулатов Бора был открыт целый набор элементарных частиц и, фактически, 3 новых фундаментальных взаимодействия. СТО и квантовая механика уже нашли применение в практических устройствах (речь идет не только про экспериментальные научные установки, но и про множество оптических устройств).

Список упомянутых источников:
1. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867

Tags:

Hubs:

Physics